“消元”為主線“轉化”是關鍵

李建華

方程（組）是刻畫現實世界有效的數學模型，作為“方程家族”中的一員，二元一次方程（組）延伸和拓展了一元一次方程所學過的知識，在現實生活中有著廣泛的應用，也是中考數學試題中的“常客”。在本章的學習過程中，我們不妨從中考的典型問題出發，抓住“消元”為主線，銘記“轉化”是關鍵，以不變應萬變，從而解決問題。接下來，就開始我們的探索之旅吧！

一、二元一次方程組的解法

例1 （2020·廣西玉林）解方程組：[x-3y=-2，2x+y=3。]

【分析】觀察方程組未知數的特征，不難發現兩種解題思路：（1）用代入消元法，注意方程組中第1個方程中未知數x的系數為1，可用含y的代數式表示x，代入第2個方程消去x，得到一個關于未知數y的一元一次方程，從而可解;（2）用加減消元法，在第2個方程的兩邊同時乘3，與第1個方程相加，可以消去未知數y，得到一個含有未知數x的一元一次方程，從而可解。

解：（解法1）[x-3y=-2，①2x+y=3。? ? ? ②]

由①，得x=3y-2，③

把③代入②，得2（3y-2）+y=3，

解這個一元一次方程，得y=1，

把y=1代入③，得x=1，

所以原方程組的解為[x=1，y=1。]

（解法2）[x-3y=-2，①2x+y=3。? ? ? ②]

①+②×3，得7x=7，

解得x=1，

把x=1代入①，得y=1，

所以原方程組的解為[x=1，y=1。]

【點評】本題考查了二元一次方程組的常見解法（代入消元法與加減消元法），兩種方法都可以達到“消元”的目的，轉化為一元一次方程求解。我們在解這類問題時，應仔細觀察，注意方程的特征，靈活運用所學方法消去未知數，以達到簡化運算的目的。

例2 （2020·江蘇南京）已知x、y滿足方程組[x+3y=-1，2x+y=3，]則x+y的值為 。

【分析】[x+3y=-1，①2x+y=3。? ? ? ②]? ①+②×2得5x+5y=5，兩邊同除以5即可求得x+y=1。故答案為1。

【點評】本題考查了二元一次方程組的解法。除了利用常規解法，我們還可以根據方程組的特點，利用“整體思想”來解決本題，這也恰是本題的考查目的。

二、用二元一次方程（組）解決問題

例3 （2020·湖北黃石）我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩;牛二、羊五，直金十六兩。問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子;2頭牛、5只羊，值16兩銀子。問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能。

【分析】（1）設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據“5頭牛、2只羊，值19兩銀子;2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論;

（2）可設購買a頭牛，b只羊，根據買牛和羊用19兩銀子（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），列出方程，再根據求二元一次方程的整數解即可求解。

解：（1）設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子。

根據題意，得[5x+2y=19，2x+5y=16，]解得[x=3，y=2。]

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子。

（2）設購買a頭牛，b只羊。

依題意有3a+2b=19，b=[19-3a2]。

因為a、b都是正整數，所以，商人有3種購買方法：①購買1頭牛，8只羊;②購買3頭牛，5只羊;③購買5頭牛，2只羊。

【點評】本題考查了二元一次方程（組）的應用，找出問題中的相等關系，正確列出二元一次方程（組）是解題的關鍵。本題源自數學名著《九章算術》，而在我國其他數學著作中也有很多關于二元一次方程（組）的應用問題，同學們可以查閱相關材料，了解我國古人對數學文化的貢獻。

三、一次方程組的綜合運用

例4 （2020·江蘇揚州）閱讀感悟：

有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：

已知實數x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值。

本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大。其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19。這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”。

解決問題：

（1）已知二元一次方程組[2x+y=7，x+2y=8，]則x-y=，x+y=;

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

（3）對于實數x、y，定義新運算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算。已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=。

【分析】（1）由[2x+y=7，①x+2y=8，②]利用①-②可得出x-y的值，利用（①+②）÷3可得出x+y的值;

（2）設鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，根據“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關于m，n，p的三元一次方程組，可得m+n+p的值，再乘5即可求出結論;

（3）根據新運算的定義可得出關于a，b，c的三元一次方程組，可得出a+b+c的值，即1*1的值。

解：（1）[2x+y=7，①x+2y=8，②]

由①-②，得x-y=-1，

由（①+②）÷3，得x+y=5。

故答案為-1，5。

（2）設鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，

根據題意，得[20m+3n+2p=32，①39m+5n+3p=58，②]

由2×①-②，可得m+n+p=6，

∴5m+5n+5p=5×6=30。

答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元。

（3）根據題意，得[3a+5b+c=15，①4a+7b+c=28，②]

由3×①-2×②，得a+b+c=-11，

即1*1=-11。

故答案為-11。

【點評】本題考查了一次方程組的綜合應用，解題的關鍵是運用“整體思想”求解。本題的第（3）問要利用新定義列出方程組，為解決問題增加了難度，但萬變不離其宗，同學們只要緊緊抓住問題的本質，選對解法，便能以不變應萬變。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校）