基于平衡二進制序列對的四元序列研究

蔣昌松

摘 要：在密碼學中，具有良好自相關性質的序列有著廣泛的運用。本文提出通過周期為N≡1（mod4）的具有最佳互相關值的平衡二進制序列對構造四元序列。結合割圓和逆格雷映射的方法，通過計算機編程具體實現自相關函數值的求解，為理論分析提供一定的依據和參考。

關鍵詞：序列對；四元序列；自相關性；周期

在碼分多址（CMDA）、雷達等通信系統中，具有良好自相關性質的序列有著廣泛的運用。具有不同低相關性的序列集可以用于不同的通信系統，以達到消除干擾的目的，提高系統的性能。

1 構造平衡二進制序列對

采取割圓的方法構造平衡二進制序列對，本文中選取N=4f+1為周期，通過α4來生成乘法子群D0，其中α為整數剩余環ZN={0，1，…，N-1}的本原根。D0={α4k：0≤k

2 四元序列的構造研究

φ（a，b）定義為逆格雷映射，其中φ[1，1]=0，φ[1，-1]=1，φ[-1，-1]=2，φ[-1，-1]=3。通過公式S（t）=φ（u（t），v（t） ） 1≤t≤N可以得到長度為N的四元序列。

其中si-si-τ為四元域上的運算。如果一條序列滿足下列條件中的1個或2個，就稱該序列具有良好的自相關性質。（1）非平凡自相關函數值的最大值盡可能??；（2）非平凡自相關函數值出現最大值得次數盡可能小。當序列滿足條件（1），則稱為具有最優的自相關性幅度。更進一步，當滿足條件（2）時，稱s具有最優的自相關值。

3 應用舉例

1 取N=17=1+4·4，本原根α=3。將 分割為D0={1，4，13，16}，D1={3，5，12，14}，D2={2，8，9，15}，D3={6，7，10，11}。進而得到平衡二進制序列對。通過逆格雷映射后，得到序列

S={0，3，1，2，3，2，0，0，1，1，0，0，2，3，2，1，3}

通過四元序列的自相關函數，可以得到N=17時的序列自相關值。

2 令N=37=1+4·9，本原根取2，進行分割D0={1，7，9，10，12，16，26，33， 34}，D1={2，14，15，18，20，24，29，31，32}，

D2={3，4，11，21，25，27，28，30，36}，D3={5，6，8，13，17，19，22，23，35}

序列對u和v的特征集U=D0∪D1，V=D0∪D3。逆格雷映射后，得到四元序列S={0，3，2，1，1，0，0，3，0，3，3，1，3，0，2，2，3，0，2，0，2，1，0，0，2，1，3，1，1， 2，1，2，2，3，3， 0，1}。

通過不同移位τ得到的自相關值為：

={37，-1-2i，-1，-1+2i，-1+2i，-1，-1，-1-2i，-1，-1-2i，-1-2i，-1+2i，-1-2i，-1，-1，-1，-1-2i，-1，-1，-1，-1，-1+2i，-1，-1，-1，-1+2i，-1-2i，-1+2i，-1+2i，-1，-1+2i，-1，-1，-1-2i，-1-2i，-1，-1+2i}

我們可以得到 ，最大自相關值為 。我們知道，四元序列的自相關值為a+bi

對于周期為奇數的四元序列，其自相關值最優為1，即實數或者虛數為1。所以我們得到結論，當周期為

37時，自相關值最大為 ，具有低相關值。

4 總結

本文通過平衡二進制序列對提出構造四元序列的想法。首先通過割圓的方法確定平衡二進制序列對的特征集，進而構造出平衡二進制序列對。然后通過逆格雷映射，得到了四元序列。并對其自相關函數值進行了研究和分析。通過計算機編程，當選取周期N=4f+1時，得到的四元序列具有低相關值。為今后的理論研究提供參考依據。

參考文獻：

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