微積分教學中一般的二項式定理及其應用

宋 健 達朝究

([1]內蒙古工業大學理學院 內蒙古·呼和浩特 010051；[2]西北民族大學數學與計算機科學學院 甘肅·蘭州 730000)

目前在微積分教學中反映出很多學生在微積分知識學習時，常常面對復雜的數學問題，不能夠熟練地利用所學知識，對所給出的數學問題找出有效的方法解決這些復雜問題，特別在學習Taylor公式和Taylor展開這些較為復雜的內容時學生更加困難，往往不能把中學所學的數學知識與大學數學教學內容聯系起來。對于這一問題，亟待數學教師對微積分內容提高認識，在實際教學中要注重數學公式的教學，引導學生對公式更加深次的理解，盡可能多地為他們多提供一些用數學公式進行解題的范例，鼓勵學生多思考、多做題，從而提升學生對數學公式的認識，潛移默化地培養學生利用數學公式的習慣，讓學生真正地將數學公式作為解答與數學相關實際問題的工具來使用，有效減輕學生學習微積分的壓力，激發學生學習數學的熱情，使他們認識到微積分教學目的是為后繼學習專業知識提供強有力的數學工具。

另一方面，在對學生解答微積分問題過程中了解到，大多數學生之所以解題效率低下，往往都是將問題想得過于復雜，為了有效改善這一現狀，應注重加強引導，讓學生掌握基礎的公式定理及其它們的內涵，才能夠更好的幫助學生找出問題的解題思路，有效提高解題效率。

在微積分中Taylor公式是一個重要的公式，它不僅是分析理論的重要內容，而且在實際工程和計算數學等領域應用它的展開可以解決復雜的數學問題，如力學中的攝動方法、數學物理中的漸進方法都是Taylor展開的重要應用。由于大學低年級學習實數范圍的微積分時，對Taylor展開只是不加仔細推敲地概略討論了幾個初等函數的展開。本文應用Taylor展開將二項式定理推廣為一般的二項式定理，給出一般的二項式定理的證明及其在高次方根中應用。而Taylor展開在微積分教學中占據著非常重要的地位，針對該展開式的應用，將會幫助學生解決相當一部分數學難題。因此在實際教學過程中，教師還需要加強對Taylor展開教學分析，引導學生正確的使用Taylor展開進行解題，培養學生的解題技巧，最終達到降低高等數學學習難度，提升學生解題能力的教學目的。本文應用Taylor展開將二項式定理推廣為一般的二項式定理，給出一般的二項式定理的證明及其在高次方根中應用。

1 Taylor展開

1.1 Taylor展開

1.2 Taylor展開的條件

2 一般的二項式定理

二項式定理不僅是初等數學中有著廣泛的應用，而且在概率論與數理統計、微積分等有關高等數學的學習中占有重要的地位，特別是一般的二項定理應用更為廣泛，如在近似計算求高次方根、數值計算中的誤差估計、數值計算中判斷選取計算方法收斂性的證明等都會用到一般的二項定理，在理論物理和力學方面特別是流體力學中為了將復雜的方程進行通過無量綱化或尺度分析的方法將其化成的我們熟悉的方程，同時也要保留主要的物理量都要涉及到一般二項定理的應用，關于一般二項定理的應用還諸多領域這里我們不再一一列舉。但在微積分教學中關于它的推導和應用涉及的很少，為此我們應用Taylor展開給出其證明。

3 應用一般的二項式定理計算高次方根

從上述實例可以看出Taylor展開得到一般的二項式定理，可以簡單而且精確地計算高次方根的值，體現出Taylor展開在近似計算中具有重要的地位，為數值計算特別是攝動法提供了堅實的理論基礎。通過一般的二項定理說明Taylor展開是微積分教學的一個重要內容，不僅在理論分析方面有重要作用，應用也非常廣泛。但在微積分課程中沒有深入廣泛的展開討論，本文通過對二項定理的通過和例子也僅僅說明Taylor展開在高次方根近似的應用，還有很多其它方面的應用，以及多元函數的Taylor公式、Taylor展開及其應用等很多內容可以展開進一步的討論總結，從而對Taylor展開有一個全新的認識與了解，為學習復變函數與積分變換中的級數理論打下堅實的基礎。