關于概率統(tǒng)計教學中“概率定義”教學案例的探討與思考

何建營 周瑞芳

摘要：概率論與數理統(tǒng)計是理工科類專業(yè)必修科目之一。概率的定義是系統(tǒng)化知識體系——概率統(tǒng)計的基石，學習者對此概念的理解程度，決定了他以后在應用時的高度。同時，也會對數學其他概念理解和深入學習產生促進作用。本篇主要討論概率論中關于“概率”概念統(tǒng)計定義的教學。通過實例與數學軟件模擬結合，畫圖對比演示概率的統(tǒng)計學概念的本質含義，深入淺出地剖析概念中的問題、難點及解決辦法。

關鍵詞：概率論，統(tǒng)計學定義，極限，依概率收斂

引言

《概率論與數理統(tǒng)計》是大學理工類專業(yè)必修基礎課之一，在后期的專業(yè)學習、研究生課程學習及專業(yè)領域等研究中，有著廣泛的應用，它的理論與方法在諸如物理、化學、工程、生物、管理等眾多傳統(tǒng)學科中發(fā)揮著重要作用，同時又在一些新興學科有著重要作用，如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能、大數據、物聯網等。概率論與數理統(tǒng)計是目前最為活躍的數學學科之一，在理論與實踐教學中，也有著更豐富的素材和背景，是學生們較為感興趣的一門數學課程。

現狀：

概率論與數理統(tǒng)計畢竟是一門嚴謹的學科，有著數學學科的抽象性與嚴謹性，但同時，也有著自身的特點。概率論最大的特點就是研究對象的不確定性，是對事件發(fā)生的可能性的討論，從某種意義上說，是一對多的關系的研究，這一點上，與高中學習的函數這一概念有所區(qū)別，是數學中與映射關系對應的另一種數學關系。雖然高中學生們已經接觸過概率統(tǒng)計相關知識，鑒于高等數學的研究手段，大學階段，需要同學們先行修讀高等數學或數學分析的相關基礎課程，滿足學習的必備知識。

不過在學習了高等數學課程以后，同學們在進行概率課學習的過程中，對有些概念的理解容易混淆，或者是理解的似是而非。在概率統(tǒng)計這門課中，包含了很多同時也很抽象的知識點和定理。例如概率的公理化定義，依概率收斂，測度，中心極限定理，假設檢驗等等，這些概念以及定理在概率論學習中不容易理解，更加不容易理解精確和深刻。有些定義如隨機變量，多維隨機變量，隨機變量的分布和條件分布，數字特征，中心矩，原點矩等等，學生雖然能夠記住，但是掌握得并不好，在后期的應用上更加滿足不了所需所學。以至于在有些研究的后期階段用到概率有關知識時，經常鬧出笑話或者犯嚴重的概念錯誤。

大學數學課程培養(yǎng)學生的目標就有培養(yǎng)學生抽象思維能力，能夠舉一反三，真正學以致用。高等數學培養(yǎng)了學生從有些到無限的思維模式，培養(yǎng)了劃分、近似替代、求和、無限逼近極限的思維;那么概率論與數理統(tǒng)計培養(yǎng)的就是學生從確定性到隨機性不確定性轉變的思想。但是這種思維轉變需要由形象具體到抽象有一個過程轉變，需要對學生加以引導。

下面就概率統(tǒng)計教學中的案例給出探討，從而達到學生學習該定義理解的深入：

修讀或者講授過高等數學的人都十分清楚極限的定義，一種是對極限的描述性定義，

從上圖中，容易發(fā)現，在從某有限項開始以后，數列的值開始趨于穩(wěn)定，也就是說，擺動地或者超出某個范圍的可能為零，換句話說，都落在了某個穩(wěn)定值的附近。

對于概率的統(tǒng)計定義，很多同學就會想當然認為，概率不就是頻率的極限嗎？當，認為頻率。我們細想，真的是這樣的嗎？這其中是有著本質區(qū)別的。區(qū)別就是，頻率并非收嚴格收斂與，而是依概率收斂與。這里邊其實是有著區(qū)別的，但是在介紹依概率收斂的定義之前，同學們首先學習的是概率的統(tǒng)計定義，接著是公理化定義。于是乎，就想當然地認為，頻率的極限就是概率了。誠然，大數定律告訴我們這樣一個事實：隨著實驗次數的增加，頻率會越來越穩(wěn)定接近于某個常數。這一陳述沒有問題，問題出在了“越來越”三個字上，這一模糊的描述其實就蘊含了依概率收斂的意思，我們一拋硬幣實驗為例：顯然這是一個n重貝努力實驗類型，服從二項分布，隨著實驗次數的增加，最終我們發(fā)現，出現正面向上的頻率多數是接近1/2的，但我們就能說極限是1/2嗎？錯！顯然，我們實驗的次數對于極限無窮來說，還差很遠，事實上，完全有這種可能，實驗了很多次，恰好都是出現反面向上，或者只僅僅出現了1次，2次…這種可能雖然很低，但我們不能就此說沒有可能，只能說可能性幾乎為0，（彩票特等獎中獎率不就如此嗎）所以說，這里得從統(tǒng)計學出發(fā)的概率定義，并沒有用極限，實際上，是一種依概率收斂的定義。我們通過計算機多次模擬作圖證明，概率的定義與極限定義的不同之處：

從中可以發(fā)現，概率的收斂是有別于數列收斂的。所有說，概率并不能簡單的以頻率極限來定義。

當然，我們也能從中找到解釋這一現象的原因：理論上講，對應拋硬幣實驗，隨著實驗次數的增多，應該說出現正面向上的次數與總的次數之比，即頻率，應該接近0.5，關于這一點，大數定律可以保證。但是這是接近，只是說在多次重復過程中的統(tǒng)計結果的平均值，而不是多有的值。我們試想一下，完全存在不管做了多少次重復實驗，一直都是“正面”超上的結果，雖然說這種可能微乎其微，但不能據此否定這種可能性，或者出現1次，2次，3次……總之比較少的有限次數，只要不是接近一半的次數，這些都是有可能的，這跟買彩票中一等獎的情況很相似，可能性都很小，幾乎為零，但卻是存在的。以生活中的問題為例，例如小明同學想購買一種彩票，假如說中“頭獎”的可能性為10-10，雖然很低，幾乎可以認為是零。但是，我們不能就此說他一定不會中“頭獎”。因為有可能在他買第一次時，就可能中獎。這種可能性的度量方式，其實就是基于概率的統(tǒng)計學定義給出的。

那么問題出來了，既然概率不是頻率的極限，該如何定義概率呢？很多教材這樣給出了概率的文字描述定義，說隨著實驗次數的增加，頻率會越來越穩(wěn)定與某一穩(wěn)定的數，這一數值，即為對應的事情發(fā)生的概率（嚴格講是統(tǒng)計學意義下的概率）。這一描述，很相似于高數中數列極限的描述性定義，但有區(qū)別，我們仔細對比一下：高等數學數列極限定義會講，從某項開始以后，“所有的”數列的項會越來越接近某一數。而概率論呢，卻從不會說從某項以后開始，而是說越來越接近。也就是說不是所有的，那么顯然就有可能有溢出來的一部分情況了，只是說這種可能性較小罷了。

定義?在相同的條件下，進行了n 次試驗， 在這 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數 稱為事件 A 發(fā)生的頻數。?比值 稱為事件A 發(fā)生的頻率，并記成 。

顯然，頻率具有以下性質：

概率的統(tǒng)計定義：在相同條件下重復進行n次試驗，當試驗次數n充分大時，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)于某個常數附近，我們稱為事件發(fā)生的概率。

顯然，由頻率得到概率統(tǒng)計定義是有缺陷的，統(tǒng)計學概率取值依賴于具體實驗，我們不可能對每個事件都做大量的試驗，從而得到頻率的穩(wěn)定值。用這種定義很難計算事件的概率。

由于理論研究的需要，受頻率性質的啟發(fā)，于是1933年蘇聯數學家Kolmogrov提出了概率的公理化結 構，給出了概率的嚴格定義

概率的公理化定義：設E為隨機試驗，為其樣本空間，對于E的任一個?事件，都有一實數與之對應，稱為事件A的概率，如果集函數滿足：（1）非負性：對任意事件A，P（A）≥0;（2）規(guī)范性：P（Ω）=1;（3）可列可加性：設A1?，A2 ， ……是兩個互不相容的事件，則有：

顯然這一概念更加抽象和科學嚴謹。借助于實驗次數的局限，在有限次的樣本空間下，規(guī)定了等可能性的古典概型的頻率統(tǒng)計，也就基本等同于我們平時說的統(tǒng)計學概率了。即

下面就此我們給出一個例子：

例：某接待站在某一周曾接待過 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周一和周三進行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，個來訪者在一周的任一天中去接待是等可能的，那么一周內接待12次的來訪共有712種。而12次接待來訪者都在周一，周三的概率為：=212/712=0.0000003

人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）。現在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。

總結：概率論與數理統(tǒng)計的許多概念比較抽象。由于研究的隨機現象具有不確定，與學生之前學習的研究確定性現象的學科如幾何、代數、微積分等有極大的不同，在教、學過程中給學習者和講授者都帶來很大難度。應該本著仔細斟酌和聯系實踐的科學精神，認真領會該學科的奧妙，不足之處敬請指正。

中原工學院 理學院?何建營?周瑞芳