集中載荷作用下大撓度懸臂梁的計算機仿真

李銀山 謝晨 霍樹浩 馬國偉

摘要 建立了集中載荷作用下大撓度懸臂梁的數學模型，利用橢圓函數法推導給出了集中載荷作用下大撓度懸臂梁的轉角，撓度和水平位移的解析表達式。采用Maple編程求解了集中載荷作用下大撓度懸臂梁的非線性微分方程組。分析計算了自由端轉角，撓度和水平位移與載荷的力學特征，給出了相應的解析表達式。分別繪制了大撓度理論下自由端轉角、撓度和水平位移與載荷變化的關系曲線圖，并與小撓度理論的解進行了對比。對集中載荷作用下大撓度懸臂梁的撓曲線形狀進行了計算機仿真。列出了集中載荷作用下大撓度懸臂梁的自由端轉角，撓度和水平位移隨載荷變化的數值計算表。提供了集中載荷作用下大撓度懸臂梁的計算機仿真的Maple源程序代碼。

關 鍵 詞 集中載荷;懸臂梁;大撓度; Maple;計算機仿真

中圖分類號 O343.9;TP391.9? ? ?文獻標志碼 A

Abstract The mathematical model of large deflection cantilever beam under concentrated load is established. The analytical expressions of the angle， deflection and horizontal displacement of large deflection cantilever beam under concentrated load are derived by using elliptic function method. The nonlinear differential equations of large deflection cantilever beam under concentrated loads are solved by Maple programming. The mechanical characteristics of angle， deflection， horizontal displacement and load at the free end are analyzed and calculated， and the corresponding analytical expressions are given. The relationship curves of free end angle， deflection and horizontal displacement with load change under large deflection theory are drawn respectively， and compared with the solution of small deflection theory.The shape of the deflection curve of a cantilever beam with concentrated deflection under the concentrated load is simulated by computer. A numerical table for calculating the free-end angle， deflection and horizontal displacement of a large deflection cantilever beam under concentrated loads is presented. Maple source code for computer simulation of large deflection cantilever beam under concentrated load is provided.

Key words concentrated load; cantilever; large deflection; Maple; computer simulation

0 引言

在實際工程分析中，大部分實際工程受力部件都可以簡化為懸臂梁。然而，很多時候彎曲桿件往往不是小變形，按照小撓度假設設計桿件截面往往過大，為了保證設計經濟合理，采用梁的大撓度理論來設計計算。近年來，隨著現代工業的發展，越來越多的工程問題涉及到大變形的情形。快速發展的航空航天領域中越來越多地使用大型柔性構件，而且能在發生大變形時而不超出彈性極限的復合材料越來越廣泛地應用，懸臂梁結構大變形這一幾何非線性問題已成為力學、機械及航空航天等領域研究的熱點和難點問題之一。目前，解決大撓度梁彎曲和穩定問題已經有不少方法，例如推導精確微分方程并最后歸結為求解橢圓積分方程 [1-3]， 近似估計法[4]，編寫程序利用黎曼積分配合二分法迭代求解法[5]，利用變分原理求解微分方程近似解 [6，15]，利用微分求積法求解均布載荷下的穩定性問題[7]，Padé逼近法[8]，采用辛卜生數值積分法和微分方程打靶數值解法計算方法求解精確撓度 [9-10]，錢偉長等使用擬線性方法得到大撓度問題的攝動解 [11-13] ，廖世俊等采用同倫分析方法得到大撓度問題級數解[14]，以及采用有限元方法等[5]。 李銀山等采用Maple編程對細長柔韌壓桿彈性失穩后撓曲線形狀進行了計算機仿真[15-16]。

本文采用Maple編程對集中載荷作用下大撓度懸臂梁進行計算機仿真，并詳細研究自由端轉角，撓度和水平位移與載荷的力學特征。

在通常的材料力學教學中，所確定的梁之撓度是藉求解近似的微分方程：

式中：[dθds]代表梁的曲率，亦即[θ]（撓度曲線的旋轉角）的變化時[s]（沿曲線本身度量的距離）的變化之比率。當旋轉很小時，距離[s]就與距離[x]相同，其旋轉角與斜度[dvdx]相同;因此，[dθds]近似地等于[d2vdx2]。然而，對于大撓度，這種簡化是不能成立的，而必須求解方程式（2）。根據此方程所求得的彈性曲線的精確形狀稱為彈性線。

討論圖1中所示的懸臂梁[AB]。假設荷載[F]使梁產生大撓度，使梁自由端從[B]點移到[B′]點。以[θb]表示梁自由端的旋轉角，分別以[δh]和[δv]表示水平位移和豎直位移。撓度曲線的長度[AB′]等于原來的長度[L]，因為略去了由于直接拉伸所引起的長度軸向變化。由于該梁是靜定者，其彎矩[M]的表達式可以容易地求得，并代入式（2）。于是，在方程的大量操作之后，包括因變量的變換，以及應用適當的邊界條件，方可以得出以橢圓函數來表示的方程的解。根據這個解，得到求[θb]，[δv]和[δh]的方程。具體求解與計算機仿真討論如下。

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