多變量回歸方程在水泥28dd抗壓強度預測的應用

張大鵬，王軍龍，陶濤，王坤

眾所周知，水泥是一種重要的建筑材料，水泥的強度是評價水泥質量的重要指標。在GB 175《通用硅酸鹽水泥》標準中，水泥的強度等級是以28d抗壓強度來劃分的，可見水泥28d抗壓強度的重要性。在水泥生產過程中，如何預測和控制28d抗壓強度是水泥企業質量工作的重點。

在T/CBMF 17-2017《水泥生產企業質量管理規程》7.3.4中明確指出，出廠水泥強度指標應根據出廠水泥品種和強度等級，分別建立水泥早期強度和實物水泥3d和28d強度的關系式。大部分水泥生產企業采用JC/T 738附錄A中的《水泥28d抗壓強度預測公式的建立方法》來建立水泥28d抗壓強度預測的一元一次線性回歸方程，但在實際生產過程當中，往往有可能出現兩個或者更多個影響因素。我們可以嘗試用Excel中的數據分析功能，計算出多變量的多元回歸方程，對兩種預測方法的優劣進行比較，選擇適合本單位的方法。

1 原始數據選擇

表1為P·O42.5R出磨水泥部分檢驗數據。

2 一元一次回歸方程

2.1 用JC/T 738附錄A中的方法求出一元一次回歸方程（表2）

2.1.1 回歸方程公式

表1 我公司某月P·O42.5R出磨水泥部分檢驗數據

表2 用JC/T 738附錄A中的方法求出一元一次回歸方程

R28——預測28d抗壓強度，MPa

R3——水泥3d抗壓強度，MPa

R28實i——第i個樣品28天抗壓強度，MPa

R3i——第i個樣品3d抗壓強度，MPa

a、b——待定系數

n——試驗組數

r——相關系數

R30——新輸入的3d抗壓強度，MPa

R3i——確立預測常數時第i個水泥樣品3d抗壓強度值，MPa

SX——實驗標準偏差

S——剩余標準偏差

2.1.2預測公式的可靠性

通過式（4）計算出相關系數r=0.55，相關系數≮0.75，但JC/T 738附錄A中指出，單一強度時不作要求。同時，通過表2和式（5）計算標準偏差得出：S=1.23MPa，S28實=52.2MPa，S28實×7%=3.65MPa，即剩余標準偏差S不大于全部水泥樣品實測28d抗壓強度平均值的7.0%，說明了R28=0.78×R3+28.68預測公式的可靠性。

2.1.3預測結果的精度

設定某樣品3d抗壓強度為33.0MPa，代入式（1），預測R28預=54.42。按式（6）計算試驗標準偏差SX=1.32MPa，則28d水泥強度預測結果有95%的概率在[（54.42-2×1.32）～（54.42+2×1.32）]，即[51.79～57.05]。

2.2 用Excel中的數據分析功能求出多元一次回歸方程

2.2.1 多變量回歸方程

首先在Excel中打開表1中的原始數據，選擇數據→數據分析→分析工具→回歸→確定，然后在Y值輸入區域選擇28d抗壓強度的所有實驗數據；在X值輸入區域選擇燒失量、CaO、比表面積、3d抗壓強度四項中的所有試驗數據；選擇標志、置信度選擇95%。該組數據的回歸統計見表3，回歸分析見表4，回歸系數見表5。

表3 回歸統計

（1）X對Y的擬合程度

由表3可知，Multiple R（線性回歸的系數）為0.756 936 666，線性回歸系數的平方，即R Square（擬合系數）為0.572 953 116，當擬合系數R Square越接近1時，表明回歸模型擬合情況越好。但當自變量多于一個時，我們更應關注Adjusted R Square（調整后的擬合系數），Adjusted R Square在回歸模型中可抵消樣本數量對R Square的影響。Adjusted R Square值越接近1，回歸模型擬合情況越好，表3中Adjusted R Square為0.504 625 614，說明擬合程度一般。

（2）統計學概率

由表4可知，Significance F為0.000 196 217，考慮到原假設和備責假設，原假設：四個X和Y之間都沒有關系；備責假設：四個X和Y之間至少有一個和Y是有關系的；這個判斷按P<0.05為依據。0.000 196 217<0.05，說明X對Y的影響很顯著。

表4 回歸分析

（3）X與Y值相關的概率

P值即概率，在Excel數據分析里用P-value表示，一般以P<0.05為有統計學差異。由表5可知：

表5 回歸系數

燒失量的P-value為0.018 941 6，＜0.05

CaO的P-value為0.615 996 54，>0.05

比表面積的P-value為0.227 942 58，>0.05

3d抗壓強度的P-value為0.000 555 62，＜0.05

在以上四個變量中，燒失量和3d抗壓強度的P-value＜0.05，雖然該組數據的擬合程度和統計學概率相關性不錯，但在單獨變量對Y值的相關概率中，CaO和比表面積的P-value>0.05，說明只有燒失量和3d抗壓強度X對Y有顯著性的影響。

2.2.2 兩變量回歸方程

為保證變量系數之間的相互影響，我們舍棄CaO和比表面積后，重新進行兩個變量的回歸統計，回歸統計、回歸分析、回歸系數分別見表6，表7、表8。

（1）X對Y的擬合程度

由表6可知，Multiple R（線性回歸的系數）為0.722 73，R Square（擬合系數）為0.522 34，Adjusted R Square為0.486 96，擬合程度一般。

表6 回歸統計

（2）統計學概率

由表7可知，Significance F為4.656 68E-05，這個判斷依據仍為P<0.05。4.656 68E-05＜0.05，說明X對Y的影響很顯著。

表7 回歸分析

（3）X與Y值相關的概率

P-value表示P值，一般以P<0.05為有統計學差異。由表8可知，燒失量的P值為0.001 645 54，3d抗壓強度的P值為0.001 577 83，兩個變量的P值均＜0.05，說明兩個變量X對Y有顯著性的影響。

（4）回歸方程

根據上述擬合程度和統計學概率相關性，表8中的Coefficients系數表達公式如下：

表8 回歸系數

3 回歸方程的偏差比較

由表9可知，式（1）預測值與實際28d抗壓強度檢測值差值的標準偏差為2.13MPa，式（8）的預測值與28d抗壓強度檢測值差值的標準偏差為2.08 MPa，2.08<2.13，說明式（8）預測的準確性要優于式（1），進而說明Excel數據分析功能預測28d抗壓強度的方法更為準確。

表9 對本公司某月出廠水泥數據進行兩個回歸方程的預測比較

4 結語

因各公司熟料成分、混合材品種及摻量的不同，檢驗誤差、檢驗水準α的選值不同，導致兩種方法計算的實際檢驗結果和預測值之間標準偏差的差值也不同，根據數理統計學理論，在檢驗水準α選值相同的情況下，多變量回歸方程的預測精準度優于單變量回歸方程預測的精準度。