淺談數學史在高中數學教學中的作用與應用

劉莉莉

一門科學的歷史是那門科學中最寶貴的部分，科學只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧。數學史是研究數學科學發生發展及其規律的學科，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素。因此，數學史研究對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交叉性學科。數學教材是經過千錘百煉，是在科學性與教育要求相結合的原則指導下經過反復編寫的，是將歷史上的數學材料按照一定的邏輯結構和學習要求加以取舍編纂的知識體系，這樣就必然舍棄許多數學概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程以及導致其演化的各種因素，因此僅憑數學教材的學習，難以獲得數學的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現實科學或許有用的數學材料與方法，而彌補這方面不足的最好途徑就是學習數學史。同時，教材也容易使學生產生誤解，以為數學家獲得知識很輕松，這嚴重阻礙了學生創造力的發展。因此，在數學的教與學中存在著這種矛盾：教育者為了讓學生能夠更快更好的掌握數學知識，將知識系統化，然而，系統化的知識卻無法讓學生理解到知識大都是經過疑問、猜想、論證、檢驗、完善等，一步一步成熟起來的，這就極大地影響了學生準確理解數學思維方式的形成，這也正是數學史應用的價值和意義。

那么數學史對中學的教學到底有什么樣的影響呢？

第一：緩解數學恐懼，增加數學興趣。如果說談虎色變，那么對于很多中小學學生來講，一定是談數色變。提到數學就是自己的薄弱學科，是學習生涯中的噩夢。作為一門基礎學科，其實沒有那么可怕，也有人戲說，學數學沒有什么用，生活中買菜也用不著，確實，不學數學，我們也可以去買菜，但是學了數學，我們買菜的地方可能就會發生改變。人體中的數學，如在面部：從發際到下頦與眼外眥到下頦、從口裂到下頦與從鼻翼到下頦、面寬度與兩眼外眥間距、眼外眥到口裂與口裂和鼻底寬之間等，均是完美的黃金比率;人體軀干部也具有這種關系，如頭頂到肚臍，肚臍到腳底，頭頂至喉結節，喉結節至肚臍等距離間的比例，同樣符合黃金分割。黃金比率的符合，證明了人體是大自然完美與和諧的產物。而這個比值的發現是古希臘哲學、數學家畢達哥拉斯，由于偶然機遇，在試折木棒時，按不同的比例多次比較，發現短段與長段之比為1：1.618=0.618時最美，從而第一次將“數”與“美”聯系起來，后來古希臘美學家柏拉圖將此比例稱為黃金分割。聽到這個數字的起源學生們可能就會對所學內容產生興趣，增加審美意識，同時感覺到數字就在身邊，也減少內心的恐懼，而且數學家畢達哥拉斯發現這個數字過程，他們聽后一定對數學減少恐慌，原來有數學結論是在無意中發現的。還有很多關于數學概念的歇后語，如果在教學中應用上，不僅可以減少恐懼，增加興趣，還可以幫助學生對該概念的理解，我們舉幾個簡單的例子：小小的房子——區間;并駕齊驅——平行;大同小異——相似;一模一樣——全等......

第二：建立榜樣，給自己加油打氣。陶哲軒14歲讀大學，17歲赴美師從沃爾夫獎獲得者埃利亞斯·施泰因，21歲獲得博士學位，2006年31歲獲得菲爾茲獎，他的成就橫跨多個數學領域。華羅庚年幼時中途輟學，做了雜貨店的記賬員。但他并沒有放棄自己的數學研究的愛好。然而禍不單行，正在他發奮自學時，他染上了可怕的傷寒癥，醫生判定為無藥可救。然而，他卻奇跡般地活了下來，遺憾的是腿腳不便，變成了殘疾。憑著堅持不懈的努力，勤奮自學，于1930年，以《蘇家駒之代數五次方程式不能成立的理由》的論文，在中國數學界得到刮目相看。他親自組織和推廣的“優選法”、“統籌法”，使之在社會主義現代化建設中顯示出了巨大的威力。國外也有很多值得學習的數學家，比如：牛頓22歲發現二項式定理，23歲創立微積分學。高斯3歲時便能夠糾正他父親的借債賬目，9歲用很短的時間計算出了小學老師布置的任務，19歲解決正多邊形作圖的判定問題，20歲證明代數基本定理，24歲出版影響整個19世紀數論發展、至今仍相當重要的《算術研究》。

杰出數學家的故事對于許多學生來說，有著巨大的激勵作用。一是，有些數學家在成長過程中遭遇過挫折，他們在苦中求進的精神可以鼓舞學生，使得學生不輕易放棄，培養學生堅毅的品質。二是，也有著名數學家都犯過今天看來相當可笑的錯誤，知道大數學家是如何遭遇挫折和犯錯誤，不僅可以讓學生在數學方法上從反面獲得全新的體會，而且可以讓學生正確看待學習過程中遇到的困難、樹立學習數學的自信。

第三：增強民族自信心，培養愛國主義情懷。作為四大文明古國之一，中國有著悠久的歷史和燦爛的文化，為世界文明作出了不朽的貢獻。在世界數學史上，中國數學的發展和成就占有非常重要的地位。比如：十進位制記數法是我國古代勞動人民一項非常出色的創造。它比世界上其他一些文明發生較早的地區，如古巴比倫、古埃及和古希臘所用的計算方法要優越得很多，而且現在被世界普遍使用;圓周率的計算，祖沖之的杰出成就比西方早一千多年;另外，祖沖之還與他的兒子祖暅用巧妙的方法解決了球體體積的計算，這一新的發現也比西方早一千多年;楊輝三角是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中出現，在歐洲，帕斯卡發現這一規律，所以這個表后來又叫做帕斯卡三角，但是帕斯卡的發現比楊輝要遲393年。 丘成桐是公認的當代最具影響力的數學家之一。他的工作深刻變革并極大擴展了偏微分方程在微分幾何中的作用，影響遍及拓撲學、代數幾何、表示理論、廣義相對論等眾多數學和物理領域。1981年，32歲的他獲得了美國數學會的維布倫獎，這是世界微分幾何界的最高獎項之一;1983年，他被授予菲爾茲獎章，這是世界數學界的最高榮譽;1994年，他又榮獲了克勞福獎。 丘成桐已囊括菲爾茲獎、沃爾夫獎、克萊福特獎這三個世界頂級大獎，歷史上僅有兩位數學家囊括這三大獎項，另一位是比利時數學家德利涅。丘成桐得獎還為沃爾夫獎創造了另一佳話：他是繼自己的導師陳省身之后，第二位獲得沃爾夫數學獎的華人。中國人工智能之父吳文俊在數學上作出許多重大貢獻。拓撲學方面，在示性類、示嵌類等領域獲得一系列成果，還得到許多著名公式，指出了這些理論和方法的廣泛應用。他還在拓撲不變量、代數流形等問題上有創造性工作。1956年吳文俊因在拓撲學中的示性類和示嵌類方面的卓越成就獲中國自然科學獎一等獎。2010年5月4日，國際小行星中心先后發布公報通知國際社會，將國際永久編號第7683號小行星命名為“吳文俊星”。數學史和數學家的故事在教學中如果可以有機的滲透進去，無疑會觸動民族自信心，自尊心，培養愛國情懷。

既然數學史對教學有這么重要的影響，那教學中我們具體可以如何使之發揮其作用呢？下面我們以具體案例談一下數學史如何應用在教學中。

一、概念課堂自然引入，枯燥概念添生機。

圓是一個古老的課題，與生活和生產息息相關，課堂上講授概念其實是很無聊的課，一節課下來感覺就是在炒冷飯，沒有生機，死氣沉沉。如果把圓的歷史加入課堂，一定會收獲另外一個課堂。比如，課堂情景導入時，圓的最早概念是古代人從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個圓的呢？提出問題，讓學生腦袋運作起來。

導入圓的故事：18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再從另一面鉆。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉就可以鉆出一個圓的孔。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上制成。6000年前，半坡人就已經會造圓形的房頂了，古代人還發現圓的木頭滾著走比較省勁，后來他們在搬運重物時，就把幾段圓木墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省勁。大約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子：圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。然而這些都沒有給出圓的概念，會作圓并且真正了解圓的性質，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：“一中同長也。”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下定義要早100年。

通過講這些故事，讓學生領會到，數學中定義的得來并不像課本那樣系統、簡單，其由來，也是經歷了很多年，很多人不懈的努力才。

二、數學史事合理選，教學具有針對性。

數系的擴充其實也是一節無聊的概念課，如果把數學故事添加里面也會變得不一樣。無理數的出現，數學史上第一次數學危機。古希臘畢氏學派信封“萬物皆為數”，但是他們中的一個學員，西帕索斯卻發現邊長為1的正方形的對角線長不可以用已有的有理數來表示，這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希帕索斯受到百般折磨，最后競遭到沉舟身亡的懲處。這個故事雖然有點恐慌，其實也在告訴學生數系的擴充并不是一帆風順的，有些看起來荒誕的東西不一定是不存在的，只不過是跟我們的認知界限有關系，我們看起來感覺很荒謬，隨著我們認知的擴充，很多東西就會慢慢的被人們系統化的認識。所以數系擴充以后也存在平方為負數的數，這樣學生就會很自然的接受。虛數的概念最初由17世紀笛卡爾提出，從而數系擴充到復數，復數在現代數學的發展起到了至關重要的作用，然而它在剛提出時在科學界引起了很多爭議。復數的確很抽象，然而如果沒有它，現代的大部分代數、數論和物理學就不會存在。而且我們可能永遠不會發展出四元數、八元數等。

適當的選擇數學史料，可以增加學生學習的興趣，同時數學家的探索精神對學生的學習也有積極的榜樣作用。

歷史名題充分用，教學研究趣味增。

高二數學教學中涉及到數列的遞推公式，但是在我們的教材中對數列的遞推公式的介紹比較簡單，若在介紹“數列的遞推公式”內容時補充一些有名、有趣的數列，利用聯想與化歸的數學思想，來解決數學問題，使學生借助遞推思想，提高分析問題解決問題的能力，培養嚴密的思維習慣，促進個性品質良好發展。

十三世紀，意大利數學家倫納德提出下面一道有趣的問題：如果每對大兔每月生一對小兔，而每對小兔生長一個月就成為大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人養了初生的一對小兔，一年后 共有多少對兔子？想：第一個月初，有1對兔子;第二個月初，仍有一對兔子;第三個月初，有2對兔子;第四個月初，有3對兔子;第五個月初，有5對兔子：第六個月初，有8對....把對數順序排列起來，可得到下面的數列：1，1，2，3，5，8，13，觀察數列：從第三個月起，每月兔子的對數都等于前兩個月對數的和。根據這個規律，推算出第十三個月初的兔子對數，也就是一年后養兔人有兔子的總對數。

這是大名鼎鼎是斐波那契數列，數列的遞推式滿足如下關系式：

數列的通項公式是數列作為離散型函數的解析式，有了它無疑就抓住了數列的全貌，為我們計算數列的任意項和研究它的整體性質提供了一個關鍵的抓手.若在講授數列的新課導入時也使用數學名題，這對初學數列者來說，無疑感到數列好玩，并產生濃厚興趣.

傳說希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。他們研究過1，3，6，10，...由于這些數可以用如圖所示的三角形點陣表示，他們將其稱為三角形數，你能依次寫出后面的數字嗎？

這是古老的三角形數列，數列遞推關系式滿足：

利用累加法可得數列通項公式：

在教學中可以依此延伸探究如果數列滿足：可用累乘法，計算數列通項公式。增加課堂探究性，豐富課堂。

數學發展至今，課本內容對于授課者來說就是在炒冷飯，數學邏輯性強，很多同學學著學著可能對這門課失去信心，失去興趣。若老師在課堂上多用數學史也許可以緩解學生的焦慮，增加學生的興趣和自信。這是數學史融入教學基本的作用。另外，課堂上數學史的融入還應當更深層次的發揮其價值，促進學生獲得思維的發展。冷飯已備好，炒出什么味道，就靠各老師各顯神通。