組合濾波與希爾伯特變換的短線交易擇時研究

馬瑞雪

摘要：股票市場的波動無處不在，宏觀上看是雜亂無章的，周期具有不確定性，是非周期的——想要抓住波動規律是困難的，因此也就無法利用具有確定性公式的周期分析來預測股價的漲跌。雖然無法對股票序列整體定量刻畫周期，但可以將其分解為趨勢項、短期波動項以及噪聲項。本文對股票時間序列信號先利用二階低通濾波過濾噪聲項，再利用差分去除趨勢項，最后通過希爾伯特變換構造同相正交空間，利用旋轉直觀展示短期波動項的周期波動。通過判斷價格所處的上升下降狀態，制定交易策略，進行實證回測。實測驗證結果表明該策略具有一定的盈利能力。

關鍵詞：低通濾波 希爾伯特變換 趨勢跟蹤 周期波動

一、研究背景

股票市場的波動無處不在，投資者所要做的就是抓住稍縱即逝的投資機會，但這卻是一件非常困難的事。一般而言，采用價值理論的投資風險性高，相對而言大多數投資者更加青睞于短線交易、頻繁交易。因此，設計可以保持一定穩定收益率的短線交易策略是必要的。相比于傾向于經驗主觀判斷的基本面分析，量化交易則是通過科學的方法認識市場波動，通過實證方法驗證投資假設，再通過組合優化進行交易，更為客觀理性。不僅可以有效地控制風險暴露，還可以高效覆蓋大量的投資機會，提高投資的效率。同時，量化投資是基于計算機技術實現的，不僅可以在海量的金融大數據基礎上高效快速地進行分析，還可以進行實時監控，決策復現度高，大大地解放了人工，同時也盡可能避免主觀人的經驗誤判。本文就是采用科學的方法，通過對金融數據構建相應指標判定交易信號的量化交易策略。

科學的方法是多樣的，采用金融學、統計學等理論都可以構建模型，本文則是立足于通信與信號處理角度，進行信號波的過濾去噪以及時頻分析。策略整體思想可理解為：將金融數據抽象為“信號”，設計模型——“系統”對信號進行濾波去噪，提取獲得有用信息進行希爾伯特變換，通過周期旋轉構建買賣信號進行交易。

二、濾波提取非周期中的周期波動

股票市場的價格總是在變化的，宏觀上看是雜亂無章、沒有規律的。波動無處不在，但是想要抓住波段很困難，因為波長——也就是周期具有不確定性，或者說金融時間序列是一個非周期信號。一個金融時間序列可以認為是由長期趨勢項、短線波動項以及噪聲項三部分疊加。短期波動項是對局部震蕩的刻畫，會在市場中重復出現，蘊含周期波動，但周期并不固定，因此金融時間序列并不是嚴格的周期信號，無法進行一般性的周期分析。短期波動是本文主要的研究內容。

在信號分析中，趨勢項一般指信號中周期大于記錄長度的成分，許多信號的趨勢項往往具有非常明確的物理含義。在股票分析中，本文使用的股價記錄的趨勢項對應于各個階段的平均股價，刻畫了股價在不同時期的平均水平，不具有周期波動，并不是本文關注的分析重點。因此，本文采用局部差分去除長期趨勢項，保留短線波動。

此外，任何實際的時間序列信號中都存在“毛刺”，可能來自個股自身的波動，也可能來自整個市場的波動影響，這就是噪聲項。本小節通過低通濾波過濾噪聲，再通過差分提取周期波動，在下一部分使用周期波動進行價格漲跌判斷。

（一）傳統均線系統

趨勢跟蹤技術是一種簡單有效的投資方式，同時也是對噪聲項的一種簡單過濾。跟蹤趨勢最簡單的一種方法就是采用移動平均線（Moving Average，MA），計算公式為：

其中，price一般采用收盤價。所謂移動平均線就是n日均線，常見的有五日均線、十日均線以及二十日均線等，是一種常見的交易策略。

MA指標可以很好地刻畫股票或是指數的價格趨勢，但會存在延時。隨著n值增大，局部波動顯著減小（平滑性更好），但是延時也在逐漸增大，很容易出現“跟不緊”甚至“跟不上”的情況，如圖1所示。

另一個均線指標——指數平均線（Exponential Moving Average，EMA），與MA指標類似，EMA指標也是對價格進行平均的趨勢系統，只是對靠近當前天數賦予更大權重，計算公式為：

其中，是一個介于0和1之間的一個參數，且。同MA指標一樣，EMA指標也存在一定的延遲。

本小節分析過程從信號與系統角度入手，基于低通濾波思想，克服上述均線指標延時特性，構建低時延的低通濾波器。

（二）構建濾波器

對于一個在時間軸上波動變化迅速的信號，在時域進行識別是困難的，此時可將信號轉換至頻域進行分析。在時域劇烈波動的信號，在頻域變化是緩慢的，易于識別分析;反之同理。在信號處理過程中，股票價格序列可認為長期趨勢項與短期波動項對應低頻部分，噪聲項對應高頻部分。趨勢跟蹤可以理解為，先將信號由時域轉換至頻域，過濾掉對信號中的高頻成分，保留低頻部分，再將信號從頻域變換回時域。本文需要提取周期的波動，主要對低頻部分進行分析。

從信號處理角度來看，均線系統是一個一階線性濾波器。相比于與MA指標的等權平均，EMA指標更貼近實際信號，本節從EMA指標入手構建低通濾波器。

首先，由于金融時間序列是離散的，可進行Z變換，將分析從時域轉換至頻域進行。Z變換是數字信號處理中一種常用的時頻變換方法，應用于離散信號。Z變換定義為：

其中Z定義于復頻域，是離散時間信號。

通過Z變換，定義傳輸函數，即為輸出函數Z變換與輸入函數Z變換的比值，它由系統本身性質決定，與輸入輸出信號無關。傳輸函數描述了信號在系統中的放大或衰減行為。對于EMA指標來講，利用Z變換相關性質計算其輸出函數

計算得到

若令，則Z變換可轉換為傅里葉變換，其中是采樣頻率，為采樣時間間隔。可以看出，時，，此時對應零頻率（最低頻），傳輸函數為1，信號完全輸出;時，，對應頻率最大值，傳輸函數為，取值較小高頻部分被最大程度削減。進一步整體觀察，可通過繪制EMA指標的頻率響應曲線。

觀察圖2，EMA指標可以看成是一個一階低通濾波器，此濾波器存在下述缺點：一是信號在低頻部分完全輸出，但在高頻部分信號有衰減并未完全抑制;二是一階濾波器在通帶和阻帶之間的過渡帶太長。因此，針對上述兩點對濾波器進行改進。同時，傳輸函數為1時，代表全頻通過，使用表示高通濾波器。

第一步：在一階低通濾波器中完全抑制高頻成分。

改進EMA指標，在EMA中加入前一交易日price值，與當前交易日price取算數平均

對應傳輸函數為

上式中，對應z=-1時，傳輸函數為0，高頻成分被完全過濾。這一點可以通過其頻率響應圖中可以看出。

按照上式構造一階高通濾波器，此時可保證完全去掉低頻成分，且高頻部分完全保留，此時濾波器的傳輸函數為：

第二步：選用合適的階數

實際使用的濾波器的頻率響應并不是在截止頻率處由1突變至0的，而是由通帶緩步衰減至阻帶，此段頻帶稱為過渡帶。一階濾波過渡帶太長，濾波效果相對較差。濾波器階數越高，傳輸函數在截止頻率附近衰減得越快，但通帶會變得不平，并且會對靠近截止頻率的信號進行些許放大，系統也更加復雜，折中考慮，本文采用的是二階低通濾波器。二階濾波器可以通過串聯兩個一階濾波器實現，信號通過兩次一階濾波，完成二階濾波過程。對應的二階高通濾波器的傳輸函數可以寫為兩個一階濾波器相乘

與的頻率響應如圖四所示。可以看出：與可以在保證對高頻信號完整輸出的同時，完全抑制低頻信號輸出，不同的是，的頻率響應曲線在通帶和阻帶之間衰減得更快，可以對高頻和低頻分量做出更有效的區分。

由于低頻分量與高頻分量是互補的，因此可以根據二階高通濾波器，構造對應的低通濾波器，即：

觀察圖5頻率響應曲線，相比改進EMA指標的傳輸函數，該低通濾波在截止頻率附近小幅放大（這是高階濾波的特點之一），但又未過分失真;同時，二階濾波后整體信號高于改進EMA指標，低頻輸出更顯著。

觀察圖6一階與二階低通濾波器相位響應可以看出：二階濾波器對應相位變化整體小于一階濾波器，延遲性更小。

三、利用希爾伯特變換構造周期模型

一個周期函數可以表示為：

其中為幅度，為角頻率，為相位，周期為。

對于一個周期函數，可以通過歐拉公式將信號在復數域內由幅度與相位間接表示，但股票數據并不能通過上述方式進行顯式定義，因為對于股票數據不同時刻的幅度與角頻率都是變化的，即表示為。換用一種簡單直觀的方式，一個周期函數在復平面旋轉360度的時候，就可以認為該周期函數經過一個周期。對于非周期函數，也可通過“旋轉”的方式實現“周期”的定義，通過相位象限位置判斷市場方向。

在信號處理中，經常會對一個信號進行正交分解，即分解為同相分量（I）與正交分量（Q），這兩部分信號是正交的，因此可構造出類似于復平面的二維平面——同相正交空間，在此空間下對非周期函數進行相量分析。

希爾伯特變換（hilbert transform）是一種在時域的積分變換[1]，在工程中常用于窄帶數字信號的處理，它僅向信號提供了的相位變化，并未影響幅頻響應，因而在信號處理領域得到廣泛的應用。

對于一個時域連續函數希爾伯特變換定義為

寫成積分形式

通過傅里葉變換至頻域，得到

由于

其中為符號函數，定義為

因此希爾伯特變換的傅里葉變換可以寫為：

也就是說，對于，希爾伯特變換在頻域中相當于對原信號正頻部分乘以，對負頻部分乘以，其余保持不變。由于，所以在頻域，正頻乘以相當于相位減少，負頻乘以i相當于相位增加，這也表明了希爾伯特變換的實質是提供的相位變化，而保持幅值不變。

同時由希爾伯特的定義不難證明，希爾伯特變換具有正交性，即

因此，我們可采用原信號作為同相分量，對應希爾伯特變換作為正交分量，構造同相正交空間，進行相位分析。

對于非周期窄帶信號，通過包絡相位表示法表示為：

其中和都是緩變隨機過程。在同相正交空間中構造解析函數

也可以寫成

與周期函數不同，此處的幅度和相位都是含時的，即

通過相位定義瞬時角頻率為：

由于相位是緩變的，定義市場“瞬時周期”為：

但仍是含時的，使用起來不太方便。更為直觀的可以通過“旋轉”在同相正交空間中對應相位的變化判斷市場周期。當繞過同相正交空間各個象限一周時，我們認為經歷了一個“周期”。

在實際應用中，由于金融市場的價格是以離散的時間序列形式給出的，無法通過連續的積分形式對其進行希爾伯特變換。希爾伯特變換應用于時間序列，需要將上述積分變換推廣到離散形式，利用Z變換進行分析。

同時在實際分析中，數據點是有限的，這相當于給輸入信號加了一個窗口，窗口長度為。

在對時間序列信號進行希爾伯特變換后，構造同相正交空間，位于第一、二象限的信號處于上升趨勢，位于第三、四象限的信號則處于下降趨勢，構建買賣信號。

構建交易策略：

當信號位于第一、二象限時，發出買入信號;

當信號位于第三、四象限時，發出賣出信號。

四、實證分析

基于以上交易策略思想，在聚寬平臺編寫策略代碼，并進行回測分析。回測數據選取2014年5月1日至2020年6月30日的平安銀行的日線收盤價。策略設置手續費買入時傭金萬分之三，賣出時傭金萬分之三加千分之一印花稅，每筆交易傭金最低扣5塊錢。基準標的設置為滬深300指數，設定初始資金為1，000，000元，按照策略交易，最終由初始資金1，000，000元，變為4，576，411.35元，累積收益率為357.64%，年化收益率為28.81%。

從累計收益率曲線來看，模型是有效的。在回測時間段內，除前期少部分時間段外，策略模型與指數基準較為貼合，大部分時間模型穩定超越指數基準。

此外，經多次測試，發現該交易策略是一個短線擇時模型，平均預測周期（即多、空頭的平均持倉時間）與大多數周期一致，約10天左右，判斷正確率大于60%，結合平均預測周期來看，該交易策略側重交易獲利。

為保證策略的有效性，本文還回測交易招商銀行股票對模型進行檢驗。為了進行有效比較，選擇的起止日期仍為2014年5月1日至2020年6月30日，其余條件也均相同。按策略交易，回測期內累積收益率為191.84%，對應年化收益率為19.51%。

從上述圖表的數據可以看出，策略應用于招商銀行的效果略遜于其對于平安銀行的預測，年化收益率從28.81%下降至19.51%，不過判斷正確率仍然大于60%，模型繼續有效并超越指數基準。

五、風險提示

本文策略編寫于聚寬平臺，采用歷史數據與平臺回測環境進行建模回測，具有較好的擇時結果。但由于市場具有不確定性，策略模型僅在統計意義下具有良好的收益回報，存在單次失效的風險。

此外，本股票策略模型中設定有多個超參數參數，由于個股時間序列特點各不相同，因此使用時需要基于不同時期的不同股票數據對各參數需要進行微調，文中并未詳細敘述參數調整過程。

同時由于本股票策略僅是對策略理論有效性進行分析驗證，并未設定風險控制模塊進行風險控制。如若進行后續實測分析或與其他策略組合使用可加入風險控制環節進行風控。

參考文獻：

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[7]丁鵬.（2012）.量化投資：策略與技術.電子工業出版社.

作者單位：北京郵電大學理學院