小學數學行程問題的解題策略

羅珍芳

【摘 要】行程問題是關于“速度、時間、路程”三者之間關系的問題，是學生難以理解和掌握的知識之一。然而，不論是在“小升初”考試，還是在數學競賽中，行程問題往往是必考題。針對這一問題，本文提出使用運動軌跡圖輔助解題策略，幫助學生理解題意，理順速度、時間、路程三者的關系。從而幫助學生在較短的時間內解決較復雜的行程問題。

【關鍵詞】小學數學;行程問題;圖形;應用題

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0198-02

行程問題涉及速度、時間、路程三個變量，三個變量又有多種變化[1]。對沒有學過方程，抽象思維尚在形成中的學生來說，簡單的行程問題可以理解，較復雜的行程問題往往無從下手。然而，在“小升初”考試、數學競賽中，行程問題又是常見考題之一。如何幫助學生在較短的時間內尋找一種解決行程問題方法，提升學生思考問題、解決問題的能力？筆者在多年的教學中總結出了運動軌跡圖輔助解題策略，把物體行程軌跡用圖表示出來，讓抽象問題形象化、運動軌跡可視化，也就是讓學生先繪制運動軌跡圖，再通過軌跡圖去尋找速度、時間、路程三者之間的聯系，最終通過運動體之間的相互關系，列出解決問題的表達式。

1 ?正確理解速度、時間、路程之間的關系，是解決問題的基礎

在學生解決行程問題前，首先要讓學生從物理角度理解速度、時間、路程的概念以及關系。從物理學上說，物體的速度，是物體在單位時間里移動的距離，因此速度也是一個具有方向的物理量，米/秒是速度的常用單位;時間，是指物體在移動過程中用的時間，秒是時間的常用單位;路程，是物體從起點到終點整個移動過程的距離，米是路程的常用單位，路程沒有方向。速度、時間、路程這三者關系是：路程=速度×時間（S=vt）[2]。在學生學習行程問題時，教師要營造一種情境，讓學生身臨其境體會速度、時間、路程三者的相關關系，同時把物體的運動軌跡用簡單的圖來描述，協助學生理解路程、時間、路程的關系。

2 ? 用圖描述運動過程，是解決行程問題的有效途徑

小學數學中，用文字來描述行程問題的習題通常較復雜，學生理解起來困難。考試中的行程問題比較復雜，考的知識點也多，學生難以解決。對于復雜的行程問題，可借助線段圖來直觀展示整個行程過程，把物體縮小成點，把路程簡化成一條直線。在線段圖上，簡潔標注所求內容。教師要從簡單的圖入手，逐漸加深難度，在教學中啟發學生，列出每個物體的速度、時間、路程之間的表達式，再引導學生尋找運動物體之間的關系，從而找到解決問題的方法[3]。

2.1 ?行程問題運動圖的繪制方法

對于行程問題，由于有三個量在變化，如果單純憑空想象，解題不僅很困難，也容易出錯，尤其是解決那些多人相遇或追擊、多次相遇的問題，更不可想象。對此，教師在行程問題的教學中，要給學生畫出每道題的運動軌跡圖，同時指導每個學生學會繪制運動軌跡圖解題。用圖表述行程問題中的運動物體的軌跡，有助于理解運動量之間的關系，快速找到解決問題的方法。

2.2 ?行程問題運動圖的構成要素

行程問題的運動圖涉及速度、時間、路程三個量，其中速度有方向（實際上速度是矢量），因此一幅完整的行程問題圖應包含起始停點、運動物體、速度、時間、路程以及其他相關的數據、文字、注解、線段等。題中運動的物體，往往被濃縮成一個點代替;物體的運動速度用帶有箭頭的線段表示;路程和時間一般用標注的方法來描述。圖1是一張描述速度、時間和路程的關系圖。

2.3 ?行程問題圖的繪制原則和技巧

行程問題圖的繪制原則：先認真審題，審題是解答應用題的關鍵一步，從題干中的已知條件入手，一邊讀題，一邊在草稿紙上繪制行程軌跡圖，以“邊讀邊畫，兼顧協調”為原則，最后反復研究、修改和完善。一幅完整的行程運動軌跡圖，既要直觀反映整個運動過程，又要完整體現題中物體的速度、時間、路程之間的關系。

行程問題圖的繪制技巧：一是將速度、時間、路程的數據直接標在對應線段上，速度的方向用帶箭頭的線段表示;二是用不同顏色、粗細的線條等描述不同的運動狀態;三是用簡潔的語言補充用圖無法描述的東西[4]。

3 ? 線段輔助解題應用案例

3.1 ?應用案例一

學生甲從M地出發半小時后，學生乙從M地出發，按照學生甲所行路線去追趕甲。3小時后，他們相距8km（甲在前，乙在后）。此時，甲到達N點，并在N點休整了20分鐘后沿原路返回，學生乙繼續前行。半小時后，甲、乙二人在C地相遇，求M、N兩地間的路程。

解題思路：先根據題意，繪制如圖2所示的甲、乙運動軌跡圖（先讓學生繪制，教師再給予糾正）。

讓學生仔細觀察圖，以運動物體為分析對象，S=vt為理論依據，尋找速度、時間、路程之間的關系，最終列出表達式求解。從圖2中得出：

對甲來說：S = 3.5v甲。

對乙來說：S = 3v乙+8。

因此存在：3.5v甲= 3v乙+8 ? ? ? ? ? ? ?（1）

從N到C的距離：SNC = 0.5v甲。

對甲、乙來說：8 = v乙×+0.5v甲 ? （2）

由（1）（2）就能計算出兩人的速度。

3.2 ?應用案例二

在平行的軌道上，有兩列火車相向行使，兩車用時60秒完成從開始相遇到完全離開的過程。已知快車長180米，慢車長120米，若快車的速度是慢車的1.5倍，求兩車的速度各是多少。

解題思路：把火車用方框表示，先繪制火車運動軌跡圖（圖3）。

從開始到結束，分別對快車和慢車的運動狀況進行分析（在具體的分析中，以車尾這一點為分析對象）。

快車：S快=1.5v×60;慢車：S慢=v×60。

從圖3中得出，快車和慢車從開始位置到結束所行程的路程正好是：180+120=300米。

因此：1.5v×60+v×60=300，

v=20米/秒，

快車的速度 V快=1.5v=30米/秒。

總之，解答行程問題，先用圖的方式描述行程，再對圖中的每個運動對象進行分析，列出相應的表達式，然后尋找運動對象之間的相互關系，最后列出解決問題的等式，這種方式十分有效。借助物體運動軌跡圖來協助解決行程問題的方法形象且具體，經在學生中的對比實驗證明，解題效果非常好。

【參考文獻】

[1]包菊霞.微課在小學行程問題應用題中的應用[J].數學學習與研究，2020（5）.

[2]楊燕琴.小學數學行程問題教學方法探討[J].新課程研究，2019（6）.

[3]淺談小學數學應用題教學中的行程問題[J].數理化學習（教研版），2019（5）.

[4]殷麗娟.小學數學行程類應用題教學策略分析[J].中華少年，2020（5）.