射影幾何觀點(diǎn)下圓切線作法的理論研究與應(yīng)用

況周煒，趙臨龍

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 安康 725000)

1 問(wèn)題背景

射影幾何是研究二次曲線幾何性的重要方法，比如對(duì)二階曲線過(guò)其外一點(diǎn)作切線就可以通過(guò)極點(diǎn)與極線的關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)[1]。而對(duì)于二次曲線特殊的圓，歐氏幾何中也存在過(guò)其外一點(diǎn)作切線[2-4]，其作圖方法與射影幾何作圖法有所不同，兩者之間是否存在聯(lián)系值得討論。

2 二階曲線切線的射影幾何作圖

問(wèn)題1：已知二階曲線Γ及不在Γ上的一點(diǎn)P，求作點(diǎn)P關(guān)于二階曲線Γ的切線。

作法：如圖1。

圖1

①過(guò)點(diǎn)P作過(guò)二階曲線Γ的兩條割線與二階曲線Γ分別交于點(diǎn)A、B、C、D。

②連接AD、BC交于點(diǎn)Q。

③連接AC、BD交于點(diǎn)I。

④作過(guò)Q、I的直線交二階曲線Γ于點(diǎn)H、G。

⑤連接PH、PG，則PH、PG就為二階曲線Γ的切線。

證明：∵ABCD為完全四點(diǎn)形，而且PQI為完全四點(diǎn)形ABCD的對(duì)邊三點(diǎn)形，∴(AB,PE)=-1,(CD,PF)=-1，∴E、F為二階曲線Γ的調(diào)和共軛點(diǎn)，所以HQ為點(diǎn)P的極線，即PH、PG為二階曲線Γ的切線。

3 圓的歐氏幾何作圖

問(wèn)題2：已知圓與圓外任意一點(diǎn)P，作過(guò)點(diǎn)P關(guān)于圓的切線。

作法：如圖2。

圖2

①過(guò)點(diǎn)P作過(guò)圓的兩條割線與圓分別交于點(diǎn)A、B、C、D且割線PAB過(guò)圓心。

②連接AD、BC交于點(diǎn)I。

③連接AC、BD交于點(diǎn)R。

④作過(guò)R、I的直線交圓于點(diǎn)H、G。

⑤連接PG、PH，則PH、PG就是圓的切線。

證明：連接OP交HG于點(diǎn)E，連接OH、OG。

(1)

(2)

則(AO+OE)(PO-OB)=(OB-OE)(PO+OA)

∴(OH)2=(OG)2=OE·OP，∴PH、PG為圓的切線。

可見(jiàn)，過(guò)圓外任意一點(diǎn)P作其圓的切線都可以利用射影幾何方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于特殊的圓要用到圓的直徑，能夠?qū)A與二次曲線過(guò)其外任意一點(diǎn)P作其切線統(tǒng)一起來(lái)。

4 圓作切線的應(yīng)用

圖3

證明：連接OP、OA，OP與AB交于點(diǎn)G，作OH⊥CD，垂足為點(diǎn)H。設(shè)AB交PD于點(diǎn)E′，則∠OHP=∠OGA=90°，∴OGE′H四點(diǎn)共圓，∴PE′·PH=PG·PO

在命題1中，極點(diǎn)P與極線AB的調(diào)和共軛點(diǎn)關(guān)系為(CD,PE)=-1。

由此得到命題。

命題2是根據(jù)2001年TI杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題得到的新命題，從統(tǒng)一的作圖法可以看出，命題1的結(jié)論完全可以推廣到二次曲線，對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線都成立。

5 解題啟示

射影幾何作圖不僅可以解決歐式幾何的作圖問(wèn)題，還能將問(wèn)題由圓推廣到二次曲線，充分揭示圓與二次曲線的內(nèi)在關(guān)系，從宏觀角度給出問(wèn)題的本質(zhì)屬性。但射影幾何也不是萬(wàn)能的，只是通過(guò)討論幾何圖形的位置來(lái)給出相應(yīng)結(jié)果[7-10]。