考慮實心體渦流影響的籠型實心轉子電機起動工況導條電流分布的解析計算

鄭印釗 周理兵 王 晉

考慮實心體渦流影響的籠型實心轉子電機起動工況導條電流分布的解析計算

鄭印釗 周理兵 王 晉

（強電磁工程與新技術國家重點實驗室（華中科技大學電氣與電子工程學院） 武漢 430074）

籠型實心轉子感應電機實心體與導條感應電流相互耦合，尤其是兩極電機起動時，實心體渦流對導條電流分布產生很大影響，使導條電流密度由槽口至槽底呈現先減小后增大的不對稱U型分布。傳統計算方法會導致轉子參數計算誤差較大，嚴重影響電機設計的準確性。該文建立考慮磁場飽和效應的二維多層電磁場解析模型，求解兩極籠型實心轉子感應電機起動工況下的磁場分布。在此基礎上，計及轉子鐵心軛部感應電流影響，建立轉子導條電流解析計算模型，并求解電機在起動運行時籠型導條電流密度的分布。最后，通過與有限元仿真結果對比，驗證不同電壓下起動時，所求解的導條電流密度分布規律的準確性。結果表明所提出的計算方法適用于包括兩極電機在內的各種極數籠型實心轉子感應電機，為該類電機起動參數及性能的準確計算提供了參考。

籠型實心轉子 解析計算 起動 電流密度分布

0 引言

實心轉子感應電機的轉子采用導電導磁材料制成，具有機械強度高、起動性能好等優點[1]。為了改善電機在高速運行時功率因數和效率等性能指標，通常在轉子側加裝籠型導條，制成籠型實心轉子[2-3]。籠型感應電機高轉差運行時，特別是電機起動時，轉子籠型導條內感應電流的頻率與定子供電電源頻率相同，由于存在趨膚效應，使得導條截面上電流密度分布呈現由槽口向槽底逐漸減小的趨勢[4]。趨膚效應會使電機交流電阻大于直流電阻，同時還會影響導條的槽漏抗。對于籠型實心轉子感應電機，導條內的電流分布還會影響實心體與籠型導條間互漏抗的計算[5-6]。因此為了精確計算電機起動性能，必須精確計算電機起動時籠型導條內的電流分布。

由于籠型實心轉子感應電機轉子結構較為復雜，實心體與籠型導條間電磁場相互耦合，渦流分布復雜，特別是在電機起動時，電磁場分布尤為復雜。針對感應電機起動時轉子側感應電流的趨膚效應問題，國內外學者展開了大量研究工作，并很好地解決了感應電機起動時趨膚效應對電機運行性能的影響，主要包括修正系數法、電磁場解析法及有限元仿真分析。修正系數法是引入修正系數，用修正系數與導條的直流阻抗的乘積來計及趨膚效應對電機起動運行時轉子側交流阻抗參數的影響[7]；電磁場解析計算法是對轉子側磁路進行簡化，忽略鐵心飽和的影響，同時對導條進行分層處理，通過磁路法分別計算各層導條的阻抗參數及導條各層之間的互漏感參數，進而求得導條電流的分布規律[8-9]；最為準確的方法是采用有限元仿真，能夠有效避免解析計算時采取的一系列簡化引入的誤差，精確計算導條電流的分布規律[10-11]，但是有限元仿真無法像解析計算一樣給出解析公式，所以不能較為明顯地揭示現象的物理規律以及電機參數與運行特性之間的關系。文獻[12]中發現，運用電磁場解析法求解兩極籠型實心轉子電機起動特性時，由于傳統計算方法沒有考慮實心體感應渦流對轉子導條的電流密度分布的影響，無法精確計算兩極籠型實心轉子感應電機起動時導條電流的分布規律，導致計算所得起動轉矩與起動電流與有限元仿真結果存在較大誤差。

為了解決兩極籠型實心轉子感應電機起動特性解析計算時，由于轉子實心體磁場飽和效應及實心體感應渦流對籠型導條電流分布的影響，本文提出一種改進的轉子導條電流解析計算方法。該方法考慮了電機起動時的趨膚效應、轉子齒部及軛部的飽和效應及實心體軛部感應電流對籠型導條電流分布的影響，能夠準確計算兩極籠型實心轉子感應電機起動時，籠型導條電流密度由導條槽口向槽底先減小后增大的不對稱U型分布規律，并通過有限元仿真結果表明解析算法在不同起動電壓下籠型導條電流分布計算的準確性，為籠型實心轉子感應電機起動時電機參數及性能的計算提供參考。

1 導條電流分布的有限元仿真分析

一臺2/6極變極籠型實心轉子感應電機的橫截面示意圖如圖1所示。通過有限元仿真，可以得到不同極數和不同轉子材料情況下穩態堵轉運行的導條電流密度分布情況。

圖1 籠型實心轉子感應電機橫截面示意圖

圖2a給出的是疊片轉子感應電機在定子繞組兩極接法下起動時，轉子導條內電流密度的分布，以及導條輔助線上電流密度的變化曲線。可以看出，常規籠型轉子感應電機在起動瞬間，由于趨膚效應，導條電流趨于轉子表面分布，電流密度由槽口至槽底呈現遞減趨勢[13]。圖2b和圖2c分別為籠型實心轉子感應電機在六極和兩極接法下起動時，轉子導條內電流密度的分布，以及導條輔助線上電流密度的變化曲線。可以看出，籠型實心轉子感應電機在六極接法下起動時，導條內部電流密度分布與疊片轉子電機非常相似。然而，籠型實心轉子感應電機在兩極接法下起動時，導條內部電流分布明顯不同，導條電流密度由槽口至槽底先減小后增大，呈現不對稱U型分布，如圖2c所示。

考慮改變轉子導條的尺寸和形狀，如圖3所示，對于導條采用梯形槽和圓形槽的情況，有限元仿真結果顯示，導條電流密度同樣呈現不對稱U型分布。

圖2 不同轉子結構的感應電機導條電流密度分布

圖3 不同轉子槽型的導條電流密度分布

為了探究兩極籠型實心轉子電機起動時籠型導條電流呈現不對稱U型分布的原因，通過有限元仿真，對比定子繞組兩極與六極接法情況下電機在起動時轉子鐵心的磁場分布與感應電流密度分布的特點。首先，在不同極對數籠型實心轉子感應電機定子側施加幅值與頻率相同的三相電壓起動，轉子實心體磁感應強度和電流密度分布云圖如圖4所示。可以看出，在六極情況下，轉子實心體的感應電流主要分布在外表面，齒頂部位的磁場最強，而鐵心內部磁場很小。然而，在兩極情況下，轉子齒部和軛部磁感應強度都很大，且均存在比較大的感應電流。

圖4 不同極對數籠型實心轉子感應電機起動時實心轉子的磁感應強度和電流密度分布云圖

為了進一步驗證實心體齒部與軛部感應電流對籠型導條感應電流分布的影響，分別將轉子齒部與軛部設置為不同導電性質的材料，進行有限元仿真分析。

首先將轉子齒部設置為導磁不導電材料，而軛部仍然為導磁導電材料，觀察實心體軛部感應電流對電機起動時籠型導條電流分布的影響；然后再將轉子軛部設置為導磁不導電材料，而將齒部設置為導磁導電材料，觀察實心體齒部感應電流對電機起動時籠型導條電流分布的影響，對應的有限元仿真結果如圖5所示。可以看出，當轉子軛部鐵心材料導電而齒部不導電時，導條電流密度隨槽深呈不對稱U型分布；反之，則與常規感應電機的情況一致。也就是說，籠型導條槽底部位電流密度增大的主要原因是由于轉子軛部存在較大的感應電流。

圖5 籠型導條起動電流密度分布曲線

2 解析計算模型

為了精確計算籠型導條內電流密度的分布，需要對導條周圍的電路與磁路進行分析計算，以考慮轉子實心體齒部與軛部的飽和程度、軛部磁場透入深度及實心體感應電流對導條電流分布的影響。

2.1 電機電磁場解析模型

由于籠型實心轉子電機的轉子鐵心采用導磁導電的特種鋼材料制成，轉子渦流分布復雜，各支路電流產生的磁場相互耦合，加大了電機解析計算的復雜性。針對實心體轉子感應電機電磁場解析計算，文獻[14]提出復合轉子感應電機二維多層電磁場解析計算模型，建立電機計算程序；文獻[15-16]分別采用二維多層電磁場理論推導了開槽實心轉子感應電機與籠型實心轉子屏蔽感應電機轉子側磁場的解析解并進行實驗驗證。本文結合前人的研究，根據兩極實心轉子感應電機起動運行的特點，提出改進的二維多層電磁場解析計算模型，對電機轉子側電磁場進行解析計算。

圖6為兩極籠型實心轉子感應電機起動時實心轉子的相對磁導率云圖，磁導率越低意味著飽和程度越高。可以看出，此時轉子齒部磁導率分布不均勻，齒頂嚴重飽和，轉子軛部透磁區域也出現明顯的飽和現象。所以，為了在計算導條電流分布時，考慮轉子實心體的磁場飽和效應和感應電流的影響，將電機轉子側按照各個部位磁導率與電阻率的不同，劃分為氣隙、轉子齒槽區域、轉子實心體軛部透磁區域與非透磁區域四部分，如圖7所示。轉子軛部非透磁區設置為平行磁場邊界條件，未在模型中畫出。然后將轉子齒槽區進行進一步細分，本文將其近似等效為三個磁導率不同的區域，以考慮起動時實心體齒部磁導率的不均勻分布。

圖6 起動時實心轉子的相對磁導率云圖

圖7 電機二維多層電磁場解析計算模型

對模型做如下假設：①模型求解域中電磁場量均為正弦量；②通過修正系數來修正定轉子展開成平面后所忽略的曲率效應；③定子側鐵心等效為磁導率無窮大的不導電面域；④矢量磁位只有軸方向的分量，定轉子的端部效應通過端部系數修正；⑤忽略導磁材料的磁滯效應。

根據上述模型建立復數矢量磁位方程，并且根據各層間的交界面上的矢量磁位與切向磁場強度的連續性等邊界條件，結合實心體感應電機設計方法的流程，可以求解各層媒質中的矢量磁位、磁感應密度、電場強度及相對磁導率等[16-17]。計算公式為

轉子軛部磁場的透入深度的計算公式為

2.2 導條電流分布計算模型

對比籠型導條底部與實心體軛部導磁區域感應電流的相位，所取電流區域如圖8所示。在導條底部取中心處一點的電流密度值，等效近似為槽底區域電流密度的平均值，在軛部對應位置也取相同個數的點，各個位置電流相位如圖9所示。從圖9中可以看出，軛部感應電流與導條底部電流相位差接近180°。

圖8 電流的相位所取的參考點

圖9 不同區域電流的相位分布

對于相鄰的帶電導電體，當兩導體通入相反相位的交流電流，兩者磁場相互作用，導體內部電流受到臨近效應的影響，作用結果類似于趨膚效應，使得導體交界面電流密度增大[18]。所以兩極電機起動時，由于磁力線發生強烈扭曲，導致轉子軛部感應大量與導條底部電流相位相反的渦流，二者感應電流產生的磁場相互作用，使得導條底部電流密度增大。

根據上文分析，忽略實心體齒部感應電流對籠型導條電流分布的影響，僅考慮位于導條正下方的實心體軛部透磁區域的感應電流對導條電流分布的影響，這是因為在同一極下，某一導條兩側的齒部區域感應電流方向相同，因此齒部感應電流在此導條中產生的磁場方向相反，相互抵消，所以可以近似忽略其影響來簡化計算。圖10為解析計算模型，將籠型導條分為層，假設每層電流分布均勻，轉子實心體齒部則分為三層，齒部與軛部的相對磁導率以及軛部透入深度通過2.1節解析計算方法可以求得。

圖10 導條電流密度分布解析計算模型

對模型做如下假設：①導條每層電阻率均取相同工作溫度75℃下的電阻率；②為了簡化計算，近似認為磁力線與導條的中心線垂直或平行，且經由實心體的磁通路徑緊貼導條與實心體的交界面。

根據上述模型，通過磁路法計算籠型導條各層之間電阻、漏感及互漏感矩陣，并且通過計算轉子軛部透磁區域的自感及其與導條的互感，來考慮軛部導電區域對籠型導條導電區域電流分布的影響，最后通過矩陣運算得出籠型導條電流的分布規律。

2.3 模型參數的求解

對于籠型導條，各層的電阻為

圖11 自漏感的計算模型

部中心為坐標軸原點。

根據安培環路定理及電感的計算公式可得

令

則

可得

同理可得軛部的自漏感與電阻，此處不再推導。

圖12 互漏感的計算模型

根據安培環路定理可得

第一部分互漏感對應的第層的磁通為

其中

一個周期內兩者對應的互感磁能平均值為

所以根據能量法，由總互感磁可以求出第一部分互漏感為

同理可得第二部分互漏感為

由此可得到+1階的阻抗矩陣為

其中

最后通過求解式（20）的矩陣方程得到電流矩陣，電流矩陣前行即是籠型導條電流密度的分布規律。

3 解析計算結果及誤差分析

本文提出的解析計算方法在計算籠型導條電流密度分布時，考慮了電機起動時轉子實心體齒部與軛部的磁場飽和現象及轉子軛部感應渦流對籠型導條電流分布的影響；而傳統的計算方法[9,12]在計算導條各層自漏抗和互漏抗時，忽略了磁路在轉子實心體處齒部與軛部的磁壓降，并且沒有考慮實心體軛部感應渦流的影響。

表1 電機轉子側各區域關鍵參數

Tab.1 The key parameters of the rotor side regions of the motor

將新的解析計算方法推導的籠型導條電流密度分布與有限元仿真結果及傳統解析計算方法的結果對比，電機定子側三相交流相電壓有效值為220V，頻率是50Hz。三者對比結果如圖13所示。三者均取有限元仿真結果的最小電流密度值作為基準值。可以看出，傳統解析計算方法在求解電機定子繞組兩極接法起動下籠型導條電流密度的分布規律時，誤差較大且變化規律與有限元結果相去甚遠。而采用本文所提出的解析計算方法則可以較為精確地求解導條電流分布，其結果與有限元仿真結果平均誤差為12.4%，而傳統計算方法誤差高達39.7%，并且無法精確計算電流密度的分布規律。

本文在電機電磁場解析計算時，將轉子齒部按

圖13 解析計算與有限元仿真分析所得導條電流密度對比圖

照磁場飽和程度的不同分為三層區域，下面對比轉子齒部不分層及齒部分為五層時，籠型導條電流密度分布規律的計算精度，結果如圖14所示。當齒部不考慮分層時，導條電流分布計算結果與有限元仿真結果平均誤差為13.64%；進一步將齒部細分為五層時，平均誤差減小到12.32%。

圖14 齒部不同分層數的解析計算結果對比圖

本文提出的解析計算方法與傳統方法的最大不同之處在于考慮了轉子實心體軛部透磁區域的感應渦流對籠型導條電流分布的影響。圖15給出齒部分為三層，不考慮軛部感應渦流影響時，籠型導條電流密度分布規律的計算精度。

圖15 忽略軛部感應電流的解析計算與有限元仿真所得電流密度對比圖

從上述計算結果可見，為求解籠型實心轉子感應電機定子繞組兩極接法起動時籠型導條電流密度的分布規律，最重要的是要考慮實心體軛部透磁區域產生的感應渦流對籠型導條電流分布的影響。如果忽略軛部感應渦流的影響，則無法精確計算導條電流密度由槽口至槽底呈現先減小后增大的不對稱U型分布規律。而通過對實心體齒部進行分層來考慮磁場的飽和效應則可以提高計算精度。傳統方法并沒有考慮軛部感應渦流的影響，因而無法準確計算電機在兩極起動時籠型導條電流密度的分布規律。

為了驗證計算模型的通用性，對比兩極籠型實心轉子感應電機降壓起動時，籠型導條電流的分布情況，電機定子側三相交流相電壓有效值為80V，頻率是50Hz，結果如圖16所示，平均誤差為7.53%，對于傳統解析計算方法，誤差則是25.9%。而對于六極的情況，解析計算結果與有限元仿真分析結果如圖17所示，平均誤差僅為0.39%，而傳統計算方法的誤差為1.16%。可見，本文的方法在計算非兩極電機起動下籠型導條電流密度的分布規律時的精度略有提高。

圖16 降壓起動時導條電流密度對比

圖17 六極電機導條的起動電流分布對比

綜上所述，傳統的解析計算方法在計算非兩極籠型實心轉子感應電機起動時，籠型導條電流密度的分布精度很高，但是無法準確計算兩極的情況。對于兩極電機，本文所提出的解析計算方法則能夠較為精確地計算電流密度分布，解析計算結果與有限元仿真結果相比，導條電流密度分布整體右移。由2.2節和2.3節解析模型的簡化與電感系數的推導可以看出，由于對磁路做出簡化導致磁路路徑減小，導條自感與互感計算值偏大。由矩陣計算可以看出自感增大會導致導條電流密度曲線整體右移，互感增大會導致曲線整體下移。

其他產生誤差的原因還包括：即使考慮了轉子實心體齒部與軛部的飽和效應，仍然是對磁路進行了簡化，認為每一層的相對磁導率是均勻的，兩極電機在起動時轉子齒部與軛部的磁場飽和現象非常明顯，所以轉子表面到軛部磁路的磁導率差異很大，如圖6所示；在考慮軛部電流對籠型導條電流的影響時，為了簡化計算，將軛部電流近似看成與槽底導條電流反相，而實際情況如圖9所示，并非完全反相；還有一個原因是忽略了轉子實心體齒槽區域感應電流對導條電流分布的影響，從而引入了誤差。

4 結論

本文結合籠型實心轉子感應電機在定子繞組兩極接法下起動運行時磁場分布的特點，建立了考慮電機起動時轉子實心體局部磁場飽和效應、實心體軛部感應電流對籠型導條感應電流的影響的解析計算模型，較為精確地計算籠型實心轉子感應電機在起動時的導條電流密度分布。所建立的解析模型適用于不同極對數的籠型實心轉子感應電機在不同電壓下起動時籠型導條電流密度分布的計算，特別是解決了傳統的計算方法無法精確計算籠型實心轉子感應電機在定子繞組兩極接法下起動時籠型導條電流密度的分布規律的問題，顯著提高了計算精度。對于電機在非兩極起動時，計算的準確度略有提高。

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Analytical Calculation of Rotor Bar Current Distribution in Starting Condition of Cage Solid-Rotor Machine Considering the Effect of Eddy Current in Solid-Rotor

Zheng Yinzhao Zhou Libing Wang Jin

（State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology School of Electrical and Electronic Engineering Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China）

The induced current of solid-rotor and rotor bar of cage solid-rotor induction machine coupled with each other. Especially during the start-up process of two-pole machine, the current density of rotor bar shows an asymmetric U-shaped distribution due to the current of solid-rotor, decreasing first and then increasing from the top to the bottom of the slot. The traditional calculation method leads to large calculation error, affecting the accuracy of machine design. In this paper, a two-dimensional multilayer electromagnetic field analysis model that considered the effects of magnetic field saturation is established to solve the magnetic field distribution under starting condition. On this basis, considering the influence of the induced current of the rotor core yoke, an analytical calculation model was established to solve the current density distribution of rotor bar during the starting operation. Finally, by comparing with the finite element simulation, the accuracy of the calculation of the current density distribution was verified when the machine was started at different voltages. The proposed analytical calculation method is applicable to cage solid-rotor induction machines with different pole-pairs and provides a reference for accurate calculation of starting parameters and performance of the machine.

Cage solid-rotor, analytical calculation, start-up, current density distribution

TM32

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200147

國家重點研發計劃資助項目（2018YFB0606001）。

2020-02-17

2020-06-18

鄭印釗 男，1994年生，碩士，研究方向為電機設計與電機電磁場計算。E-mail：yzzheng@hust.edu.cn

王 晉 男，1979年生，副教授，研究方向為大型與特種電機。E-mail：jinwang@hust.edu.cn（通信作者）

（編輯 赫蕾）