分段長初級雙邊直線感應電動機建模分析

張明遠 史黎明 郭科宇 楊澤宇 徐 飛

分段長初級雙邊直線感應電動機建模分析

張明遠1,2史黎明1郭科宇1,2楊澤宇1徐 飛1

（1. 中國科學院電力電子與電力驅動重點實驗室（中國科學院電工研究所） 北京 100190 2. 中國科學院大學 北京 100049）

分段長初級雙邊直線感應電動機（LP-DSLIM）系統由若干段單元電機串聯或并聯組成，為準確描述次級運動過程中單元電機的推力等狀態變化和過分段時的暫態過程，該文提出了一種新型單元電機數學模型及分段LP-DSLIM系統模型。首先，對分段LP-DSLIM系統的特點進行分析，通過引入虛擬次級板將每段單元電機耦合的次級延長至與初級等長，以使單元電機初級、次級之間始終保持全耦合；然后，結合耦合因數得到實際次級磁鏈和初級磁鏈，以此推導得到新型單元電機數學模型，并基于此建立串聯供電和并聯供電的分段LP-DSLIM系統模型；最后，有限元計算和實驗結果驗證了提出的新型單元電機數學模型和分段LP-DSLIM系統模型的正確性。

長初級雙邊直線感應電動機 單元電機 數學模型 虛擬次級 耦合因數

0 引言

長初級雙邊直線感應電動機（Long Primary Double-Sided Linear Induction Motor, LP-DSLIM）的次級一般為鋁板，質量較輕，且裝置的體積較小，結構簡單，可靠性高，在高速時邊端效應小，推力密度大，被廣泛應用在汽車碰撞、軌道交通和電磁加速領域[1-3]。已有文獻分別從電機特性[4]、邊端效應[5-8]、控制方法[9-12]及解析計算[13-16]等多個角度對LP-DSLIM進行了研究。

LP-DSLIM次級長度比初級長度短，電機漏感很大，電壓利用率低，在運行過程中會產生大量的無功功率。為提高電壓利用率和效率、節約電能并減小對電源容量的要求，在實際應用中常將初級分段，如圖1所示，并采用分段供電的驅動方式[17-18]。

圖1 分段LP-DSLIM系統示意圖

分段LP-DSLIM中每個分段都可以看作一段單元電機。隨著次級的直線運動，初級、次級之間的耦合狀況發生變化，由此導致各段單元電機參數變化。每段單元電機都會經歷次級進入—全耦合—離開的過程[19]，如圖2所示。每段電機的參數和狀態不僅隨次級位置時刻變化，還與上一段初級的狀態有關，其數學模型的建立非常困難。

圖2 分段LP-DSLIM系統次級與初級的三種耦合情況

分段LP-DSLIM系統是由若干段單元電機串聯或并聯組成，供電方式比較靈活，不同的供電方式系統模型有差別。為建立分段LP-DSLIM系統模型，并研究相應的控制策略，需要建立單元電機的數學模型。尤其是在分段并聯的LP-DSLIM系統中，每一段電機都相對獨立，無法像串聯供電情況下建立通電段整體的數學模型，因此建立單元電機的數學模型具有重要意義。

目前，國內外關于分段LP-DSLIM系統的建模文獻較少。文獻[20]對不分段的LP-DSLIM進行建模，將LP-DSLIM分為耦合次級的有效部分和不耦合次級的無效部分，并建立了等效電路。文獻[21]將覆蓋次級的初級段串聯供電，在次級運動過程中，次級覆蓋串聯通電定子段的長度始終不變，電機的參數和模型是固定不變的，由此建立了串聯通電段整體的數學模型，但未對單元電機建模。文獻[22]為了研究串聯供電時切換策略，分別建立了串聯供電段整體在切換過程中的正常模態、錯位模態和并聯模態的電機參數矩陣，也未對單元電機建模。文獻[23-24]研究了多段初級永磁直線同步電動機驅動系統整體建模并進行仿真。

文獻[25-26]借鑒文獻[20]的思想，將分段LP-DSLIM中每段單元電機分為耦合次級的有效部分和不耦合次級的無效部分，用耦合因數對等效參數修正分別建立了無效部分和有效部分的數學模型以描述次級運動對單元電機的影響。但文獻[20]中的耦合因數是恒定不變的，若直接將其應用在耦合因數變化的單元電機中，在次級高速運動時，單元電機的次級磁鏈和電磁推力的滯后現象較為明顯，與實際情況相差較大。

本文推導得到了分段LP-DSLIM單元電機新型數學模型，基于新型單元電機模型分別建立了串聯供電和并聯供電的分段LP-DSLIM系統模型；在Simulink中對新型單元電機模型和現有文獻中的單元電機模型的仿真結果進行對比分析；最后對提出的新型單元電機模型進行有限元分析和實驗驗證。

1 單元電機模型

將單元電機分為兩部分：與次級耦合的有效部分和不與次級耦合的無效部分。設每段初級長度為1，次級與第段單元電機初級耦合的長度為D，如圖3所示。

圖3 單元電機示意圖

定義第段單元電機的耦合因數α=D/1。當D=1時，α=1，單元電機為全耦合。對于一臺全耦合的單元電機，其等效參數分別為：初級電阻s，初級漏感ls，次級電阻r，次級漏感lr，勵磁電感m，極距為。初級自感s=m+ls，次級自感r=m+lr。

1.1 既有單元電機模型分析

既有單元電機模型[25-26]借鑒文獻[20]中不分段LP-DSLIM的思想，將分段LP-DSLIM中每段單元電機分為耦合次級的有效部分和不耦合次級的無效部分，用耦合因數對單元電機全耦合時的參數進行修正，分別建立了無效部分和有效部分的數學模型，以描述次級運動對單元電機的影響，并將兩部分相加得到單元電機模型，等效電路如圖4所示。

圖4 既有單元電機模型等效電路

在靜止兩相αβ坐標系中，既有單元電機的數學模型為

式中，sn、sn和sn分別為第段單元電機初級電壓矢量、電流矢量和磁鏈矢量；rn和rn分別為第段單元電機次級電流矢量和磁鏈矢量；r=π/，為次級速度，為微分算子。

第段單元電機產生的電磁推力為

式中，×表示向量積。

式（1）和式（2）共同構成了既有單元電機數學模型。

由式（1）可推導得到次級磁鏈和次級電流與初級電流的關系

式中，r=r/r。

由式（3）可知，次級磁鏈與αisn為一階慣性環節，因此在次級進入并離開一段初級的整個過程中次級磁鏈都滯后于耦合因數的變化。根據式（2），次級磁鏈的滯后會導致電磁推力的滯后。在次級完全離開這段初級后，次級磁鏈和電磁推力仍然會存在3r的時間才能衰減至完全離開時刻值的5%以下。而由式（4）可知，次級完全離開后，次級磁鏈不為0而α=0，次級電流為無窮大。根據以上分析結果可知，既有單元電機數學模型在動態情況下與實際情況相差較大。

1.2 新型單元電機模型理論推導

分析可知，LP-DSLIM次級感應板始終位于初級的勵磁磁場中，氣隙磁場以轉差頻率切割次級。在運動過程中，次級的進入端的表面磁場由空載氣隙值減小到合成氣隙值，次級滑出端是從氣隙合成值增大到空載氣隙值，LP-DSLIM邊端效應比較小[5]，本文暫不考慮。

分段LP-DSLIM系統中各單元電機共用一塊次級板，因此各單元電機的次級速度和次級時間常數均相同，各段初級的設計參數也保持一致。在現有分段長初級直線感應電機的文獻中[17-18]，大多通過晶閘管換步控制實現覆蓋次級的各初級串聯供電，各段初級電流可視為完全相等。

為建立分段LP-DSLIM系統單元電機數學模型，做出如下假設：①不計磁路飽和；②鋁的磁導率與空氣相同；③不計長初級直線感應電機邊端效應；④各段初級電流相等；⑤單元電機次級參數與初級耦合次級的長度成正比。

引入一段等高等寬的虛擬次級板，將每段單元電機耦合的次級延長至與初級等長，如圖5所示。

圖5 虛擬次級示意圖

直線感應電動機次級為鋁板，鋁的磁導率與空氣基本相同，因此虛擬次級板的引入不會改變單元電機內無效部分磁路的磁導率，也不會改變單元電機的初級參數。

式中，j為虛數單位；1為初級電流密度幅值；為初級電流角速度；為轉差率；為坐標軸；s為次級表面電導率；0為真空磁導率；e為氣隙寬度；為品質因數。

由式（5）可知，次級板上的電流密度分布與次級長度無關，而電流矢量與電流密度相對應，因此得到如下結論：次級電流矢量僅與初級電流激勵有關，與耦合的次級長度無關。為證明上述理論的正確性，分別將次級置于一段初級的不同位置，如圖6所示，并施加相同的初級電流激勵進行時諧渦流場分析。以初級為參考坐標系，在時諧渦流場分析結果中，次級電流密度沿軸上的基波分量如圖7所示。

圖6 次級位置示意圖

圖7 次級電流密度分布

不同長度次級上的次級電流密度2n沿軸分布的表達式均為

式中，2n為次級電流密度的幅值；與電機參數和轉差率有關；0為某一時刻。

電流矢量與電流密度分布對應，由式（6）可得，不同長度次級的次級電流矢量表達式均為

式中，rn為次級電流矢量的幅值。

由此證明，次級電流矢量僅與初級電流激勵有關，與耦合的次級長度無關。因此在相同的初級電流激勵下，實際的次級電流矢量與虛擬延長次級至初級等長后的次級電流矢量相等。

在既有單元電機模型中，直接采用耦合因數對全耦合時的電機參數進行修正得到有效部分和無效部分來描述次級的運動，導致次級電流出現無窮大，電機模型明顯失準。因此為了得到準確的次級電流，通過虛擬延長次級板至與單元電機初級等長，使得單元電機始終處于全耦合狀態，單元電機的參數不再隨次級位置變化而變化，在這種情況下得到的次級電流矢量與實際次級電流矢量相等。在靜止兩相αβ坐標系中，可得到次級電流、次級磁鏈與初級電流的關系為

式（8）包含了分段LP-DSLIM系統中次級由第段單元電機進入第+1段單元電機過程中攜帶了由段單元電機激勵的次級渦流的特性。

式（8）中的次級電流矢量即為實際次級電流矢量。但需要注意的是，這里的r是第段單元電機計及實際次級和虛擬次級的總次級磁鏈。單元電機次級參數與初級耦合次級的長度成正比，因此將次級自感修正為αLr，將次級與初級線圈的互感修正為αLm，那么第段單元電機的實際次級磁鏈ro即為

實際次級產生的磁通才會交鏈到初級線圈，虛擬次級產生的磁通不會作用到初級。次級電流矢量通過修正后的互感αLm作用到初級線圈，因此第段單元電機初級磁鏈方程即為

第段單元電機初級電壓方程為

式（8）～式（11）共同構成了第段單元電機的電壓方程和磁鏈方程，即

第段單元電機產生的電磁推力為

式（12）和式（13）共同構成了新型單元電機數學模型。

選取初級電流sn和次級磁鏈rn為狀態變量，sn為輸入變量，第段單元電機的狀態方程為

其中

推力作為輸出量，第段單元電機的輸出方程為

2 基于新型單元電機模型的分段LP-DSLIM系統模型

分段LP-DSLIM系統通常有兩種供電方式：串聯供電和并聯供電。不同供電方式下，基于單元電機模型建立的分段LP-DSLIM系統模型也不同。

2.1 串聯供電系統模型

假設次級最多耦合段初級，當采用串聯供電方式時，通過晶閘管換步將耦合以及即將耦合次級的段單元電機串聯通電，此時段單元電機看成一臺電機，其等效參數為單元電機等效參數的倍。次級長度為2，則耦合因數始終為2/(1)。據此對式（12）和式（13）的參數進行修正即可得到串聯通電段整體的數學模型，即為

式中，s、s和s分別為串聯通電段整體初級的電壓、電流和磁鏈矢量；r和r分別為次級與串聯通電的初級等長時的次級電壓和次級磁鏈矢量；ro和r分別為實際次級的次級磁鏈和次級電流矢量。

為物理概念清晰，保留公式中分子分母上可以約分的。注意到串聯通電段整體的電壓和磁鏈方程的參數是固定不變的，此時等效為真正的LP-DSLIM，與文獻[20-21]中LP-DSLIM模型等效。

2.2 并聯供電系統模型

當采用并聯供電方式時，基于新型單元電機模型建立的分段并聯LP-DSLIM系統如圖8所示。圖中所有單元電機模型都基于式（14）～式（16）。

圖8 由新型單元電機模型建立的分段并聯 LP-DSLIM系統

所有單元電機的電磁推力共同作用到次級，次級運動模塊的方程為

式中，、和d分別為次級的加速度、速度和位移；為計及風阻、摩擦力等的總阻力。

各段單元電機的耦合因數根據次級位置計算得到。

串聯供電系統模型只能研究串聯通電段整體的電磁推力和次級磁鏈特性，無法研究各單元電機的特性，因此本文的仿真和驗證都是基于較為復雜的并聯供電系統模型。

3 仿真結果分析

表1 單元電機參數

Tab.1 The parameters of unit motor model

控制兩個系統中各段初級電流相等，采用恒電流轉差頻率控制，初級電流的有效值為3kA，轉差頻率取電機推力特性穩定區域的中間為slip=0.4Hz，次級速度從0開始加速，基于新型單元電機模型和既有單元電機模型的分段并聯LP-DSLIM系統的耦合因數、次級總推力及各單元電機推力、次級磁鏈、速度、電流和電壓波形分別如圖9和圖10所示。

在圖9中，隨次級的運動，新型單元電機模型次級磁鏈和電磁推力與其耦合因數成正比。只有與次級耦合的單元電機才會產生推力，總推力為所有與次級發生耦合的單元電機推力之和。

在圖10中，既有單元電機模型次級磁鏈和電磁推力均滯后于耦合因子，在次級離開后還能保持較長時間，此結果與1.1節中理論分析一致。單元電機產生的最大推力和次級磁鏈的最大值隨速度的增大而減小，如圖10b和圖10c所示。這是因為隨著次級速度增大，每段電機的定子電流αisn作用的時間減少，由式（3）中一階慣性環節可得此特性。次級離開一段初級后，次級磁鏈和電磁推力衰減的時間是一定的，為3r，因此同時產生電磁推力的單元電機數量隨速度的增大而增加。

當各段單元電機初級電流相等時，次級板表面磁場平均分布，各段單元電機的次級磁鏈與其耦合次級的長度成正比，即與耦合因數成正比，因此電磁推力與耦合因數成正比。文獻[17]對現有分段供電進行了綜述，均是將只與次級耦合的初級通電，其他初級不通電；在文獻[18, 22]中對分段LP-DSLIM串聯供電，研究了切換的過程并進行了實驗，沒有因為只給與次級耦合的初級通電導致推力損失和波動。按照既有單元電機模型分析，需要對同時產生推力的多段不耦合次級的初級也通電，若只對與初級耦合的單元電機通電，則必會導致推力的波動和損失，與現有研究結果差異較大。因此新型單元電機模型可以更準確地描述單元電機及分段LP-DSLIM系統。

4 有限元分析

為了進一步驗證新型單元電機模型及分段LP-DSLIM系統的正確性，本文利用Ansys公司的Maxwell仿真環境進行有限元分析。

在恒定初級電流有效值3kA條件下，單元電機全耦合時堵轉推力特性曲線如圖11所示。基于新型單元電機數學模型的Simulink仿真結果與有限元計算結果之間誤差較小。

圖11 單元電機推力特性曲線

圖12為在恒初級電流有效值3kA下單元電機堵轉電磁推力隨耦合因數的變化曲線。基于新型單元電機模型的Simulink仿真結果與有限元計算結果一致，不同轉差頻率下電磁推力均與耦合因數成正比。由電磁推力的生成機理分析可知，次級磁鏈也與耦合因數成正比。這個結果表明新型單元電機模型中引入虛擬次級和耦合因數的理論是正確的。

圖12 電磁推力隨耦合因數變化曲線

控制次級速度始終為20m/s，采用恒電流轉差頻率控制，電流的有效值為3kA，轉差頻率為slip=0.4Hz，次級運動過程總電磁推力曲線如圖13a所示。基于新型單元電機模型的分段并聯LP-DSLIM系統穩態推力基本等于有限元計算的推力中值。在有限元計算結果中推力波動是由于動態邊端效應引起的，頻率為0.8Hz，為轉差頻率0.4Hz的兩倍。為觀察各單元電機電磁推力變化，提取3～4s內次級耦合的各單元電機電磁推力曲線如圖13b所示，兩種結果的各單元電機電磁推力非常接近，均與耦合因數成正比。分段LP-DSLIM系統Simulink仿真結果與有限元結果吻合良好，證明了新型單元電機模型及基于其建立的分段LP-DSLIM系統的準確性。

5 實驗驗證

基于分段長初級直線感應電機樣機對新型單元電機模型理論進行驗證，實驗平臺如圖14所示。

圖14 分段LP-DSLIM實驗平臺

給一段初級通電，使次級與通電初級耦合不同的長度。在初級電流有效值10A、轉差頻率為5Hz下，單元電機堵轉電磁推力在不同耦合因數下的測試結果如圖15所示。不同耦合因數下電磁推力實驗結果與相應正比例擬合曲線的擬合優度2=0.993，實驗結果表明電磁推力與耦合因數成正比關系，驗證了新型單元電機模型理論的正確性。

圖15 電磁推力隨耦合因數變化的實驗結果

6 結論

本文通過引入虛擬次級并結合耦合因數推導得到了分段LP-DSLIM單元電機新型數學模型，基于新型單元電機模型分別建立了串聯供電和并聯供電的分段LP-DSLIM系統模型。有限元計算和實驗結果驗證了新型單元電機模型和分段LP-DSLIM系統模型的正確性。結論如下：

1）通過引入虛擬次級避免了次級側參數變化帶來的影響，能準確地描述次級磁鏈和次級電流。

2）單元電機的電磁推力和次級磁鏈均與耦合因數成正比。

3）新型單元電機模型能更準確地描述實際單元電機，以新型單元電機模型為模塊，可靈活建立在串聯和并聯供電方式下的分段LP-DSLIM系統模型。

新型單元電機數學模型及分段LP-DSLIM系統模型為該類大功率電機系統的控制提供了一種有效路徑。

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Modeling and Analysis of Segmented Long Primary Double-Sided Linear Induction Motor

Zhang Mingyuan1,2Shi Liming1Guo Keyu1,2Yang Zeyu1Xu Fei1

（1. Key Laboratory of Power Electronics and Electric Drive Institute of Electrical Engineering Chinese Academy of Sciences Beijing 100190 China 2. University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100049 China）

The segmented long primary double-sided linear induction motor (LP-DSLIM) system is composed of several segments of unit motors powered in series or in parallel. To accurately describe the state change of unit motor and the transient process when passing through segments during secondary motion, a new mathematical model of unit motor and a segmented LP-DSLIM system model are proposed in this paper. Firstly, the characteristics of the segmented LP-DSLIM system are analyzed. By introducing the virtual secondary board, the secondary coupling of each unit motor is extended to the same length as the primary, so that the primary and secondary of the unit motor are always fully coupled. Then, the actual secondary flux linkage and primary flux linkage are obtained by combining with the coupling factor. The new unit motor mathematical model is derived, and the segmented LP-DSLIM system model is established. Finally, the proposed new unit motor mathematic model and segmented LP-DSLIM system model are verified by FEM calculation and experiments.

Long primary double-sided linear induction motor, unit motor, mathematical model, virtual secondary board, coupling factor

TM359.4

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.201101

國家重點研發計劃資助項目（2016YFB1200602-19）。

2020-08-30

2020-12-12

張明遠 男，1995年生，博士研究生，研究方向為大功率電力電子變換技術與直線電機驅動控制。E-mail：myzhang@mail.iee.ac.cn

史黎明 男，1964年生，研究員，博士生導師，研究方向為特種電機和驅動控制、電能無線傳輸技術。E-mail：limings@mail.iee.ac.cn（通信作者）

（編輯 郭麗軍）