沖擊荷載下紅砂巖非線性黏彈性損傷本構研究*

趙 濤 王 磊 蘇宏明 陳世官 秦 越

(西安科技大學建筑與土木工程學院， 西安 710054， 中國)

0 引 言

我國西部白堊系地層多為富水砂巖，因其成巖相對較晚而表現出膠結弱、強度低、孔隙率大等力學性質(王渭明等， 2011； Wang et al.，2017； 孫利輝等， 2019)。人工凍結工程和寒區基礎設施建設過程中，爆破應力波對此類巖石造成的損傷破壞(伍法權， 2011； 閆長斌， 2017； 謝小帥等， 2019)，可利用室內SHPB沖擊試驗進行模擬研究，而建立合適的動態本構模型，是研究此類巖石動力學特性的關鍵，也為工程實際中的邊坡、節理巖體、地基等在動力荷載下的穩定性分析提供參考與依據(蘭恒星等， 2019； 周家文等， 2019)。

目前，有關巖石類材料動態本構關系的研究已取得了較多的成果，趙光明等(2013)、謝理想等(2013a，2013b)根據軟巖及混凝土材料在動載下的應力-應變曲線特點，采用損傷體代替朱王唐模型中的彈性元件，建立了一種損傷型黏彈性動態本構模型方程； 付玉凱等(2013)、解北京等(2019)運用彈塑性理論，結合煤、巖本構的研究成果和層疊模型原理，并充分考慮了組合煤巖體在動態破壞過程中的應變率相關性和損傷特性，構建了7參數組合煤巖層疊本構模型； 翟越等(2011)針對巖石類材料的動態力學特性，基于損傷演化和元件模型理論，建立考慮損傷的黏彈塑性動態本構模型，并推導出本構方程的微分表達式； 劉紅巖等(2014)采用考慮巖石細觀損傷的非線性元件、節理面閉合及剪切變形元件等3個基本元件的串聯來模擬靜態應力分量，采用黏性元件來模擬動態應力分量，建立了貫通節理巖體動態單軸壓縮損傷本構模型； 王恩元等(2019)基于巖石力學強度理論和統計損傷理論，建立了沖擊載荷下三軸煤體動態損傷本構模型，該模型綜合考慮了軸向靜載、圍壓和沖擊載荷等因素，明確地反映了3種因素對煤體動力學特征的影響； 周永強等(2017)在彈性模量上考慮了剛度的率效應和在D-P準則上考慮了強度的率效應，進而提出了考慮率效應的巖石材料次加載面動態本構模型； 王春等(2017)基于連續因子、應變等效原理及統計損傷理論定義巖石的損傷變量并推演損傷演化方程，采用組合模型法建立巖石的本構模型； 蔡燦等(2015)提出Maxwell體、Bingham體和損傷體的并聯模型，借助拉普拉斯變換，引入基于巖石孔隙、裂隙劣化的損傷變量，導出了中低應變率下的巖石動態損傷本構模型； 李夕兵等(2019)、宮鳳強等(2013)建立了基于Weibull分布的動態統計損傷模型，對花崗巖在循環沖擊荷載下的力學關系進行表征，并對其損傷演化過程進行了研究。可以看出，以上對于巖石類材料的本構模型研究大都是根據相應材料的力學性質，運用不同的強度準則、損傷演化以及元件組合等方法進行分析得到的，并在相應的材料中得到了很好的驗證，這對本文建立常溫及凍結紅砂巖在沖擊荷載下的本構模型具有一定的指導作用。

根據紅砂巖的動力學特征，提出以非線性體、Maxwell體和基于Weibull分布的損傷體并聯的黏彈性本構模型，對其進行了試驗驗證，并和以Lemaitre等效應變假設建立的損傷本構方程進行對比，對兩者的優缺點和適用性進行了比較與討論，并對其參數敏感性進行分析，為涉及此類巖石的西部地質工程在受到沖擊荷載下的動力響應分析提供理論依據。

1 朱王唐本構模型

朱王唐非線性黏彈性本構模型能夠較好地描述固體材料在黏彈性變形范圍內的力學性能，因而被廣泛地應用在研究混凝土、有機玻璃、巖石等材料在應變率10-4s-1～103s-1范圍內的力學性能。該模型由1個非線性彈簧體和2個Maxwell體組成(圖1)。

圖1 朱王唐模型

其本構方程為：

(1)

模型中的非線性彈簧用來描述平衡態應力狀況， 2個不同的Maxwell體分別描述不同應變率條件下的黏彈響應，其中低頻部分的φ1在10～102s-1之間響應，高頻部分的φ2在10-4～10-6s-1之間響應。

2 基于Weibull分布的損傷本構模型

為準確表達紅砂巖動力學本構關系，現對朱王唐本構模型各部分元件進行如下改進：(1)將方程中表示應變率無關的平衡態應力的多項式部分繼續保留，即為非線彈性彈簧； (2)根據文獻內容(Ma， 2017)，在沖擊荷載作用下的時間尺度是以1～102μs計量的，因而低頻Maxwell體沒有足夠的時間松弛，這里看成是彈性模量為E1的簡單彈簧； (3)紅砂巖為非均質類材料，其內容存在著大量的裂隙、孔隙和孔洞，當巖石受力產生形變即發生損傷，故對此模型增加損傷體D。據此可得改進后的本構模型如圖2所示。

圖2 改進后的本構模型

由圖2可知，改進后的本構模型由非線性體、Maxwell體和損傷體并聯組成，其應力關系為：

σ=σ1+σ2+σ3

(2)

其中：(i)非線性體的本構關系為：

σ1(t)=EΔε(t)+χε2(t)+κε3(t)

(3)

式中：EΔ=E0+E1。

(ii) Maxwell體元件為彈性元件和阻尼元件串聯而成，其應力-應變關系為：

σ2(t)=σ21(t)=σ22(t)

(4)

ε2(t)=ε21(t)+ε22(t)

(5)

σ21=E2ε21(t)

(6)

(7)

對式(5)進行求導，聯立式(4)、式(6)及式(7)得：

(8)

對式(8)進行Laplace變換后得：

(9)

(10)

其中：σ(0)=0，代入式(10)整理得：

(11)

對式(11)進行Laplace逆變換得：

(12)

(13)

(14)

(iii)現對模型中的損傷體作以下假設： 1)巖石內部連續且損傷均勻化，即原始缺陷均勻化； 2)巖石沖擊過程視為在恒應變率加載條件下完成的； 3)各微元體強度服從Weibull分布，其概率密度為：

(15)

式中：m和α為分布參數，大小與材料的性質和形狀有關。

試件損傷程度與各微元所包含缺陷的多少有關，損傷變量D是對材料損傷程度的度量，其與微元破壞的概率密度關系為：

(16)

積分后得：

(17)

由式(17)可得損傷體本構關系為：

(18)

因此，由式(2)可知紅砂巖基于Weibull損傷分布的動態本構方程為：

(19)

3 基于Lemaitre等效應變本構方程

根據紅砂巖在沖擊荷載下應力-應變曲線明顯的分段性，這里對朱王唐本構模型進行改進。首先，沖擊荷載下低頻Maxwell體沒有足夠的時間來松弛，因而用簡單彈簧代替。簡化后的本構模型如圖3所示，簡化后的模型本構關系為：

圖3 簡化后的本構模型

(20)

其次，對模型作如下假設：(1)紅砂巖存在應變閾值，當應變大于一定值時，試件出現損傷； (2)巖石內部微裂紋數量與變形量、應變率成正比； (3)將材料損傷演化過程看作為一個促進的熱激活過程。

根據Lemaitre應變等效原理，考慮損傷的巖石本構關系為：

σ=(1-D)Eε

(21)

當D=0時，材料無損傷； 當D=1時，表示材料完全喪失承載能力，將式(19)代入，則：

(22)

這里將D用式(21)呈現的率型損傷演化規律來表示：

(23)

則對(22)積分后得：

(24)

將式(23)代入式(21)可得出紅砂巖動態損傷本構方程：

(25)

4 試驗驗證與參數分析

4.1 試驗曲線擬合與驗證

為驗證上述新建本構關系的適用性，利用分離式Hopkinson壓桿裝置對不同溫度的(20 ℃、0 ℃、- 10 ℃)飽和紅砂巖試樣進行不同應變率下的沖擊試驗，并獲取相應的動態應力-應變曲線。

沖擊荷載作用下反應巖石類材料性質的應力-應變曲線可分為峰前部分和峰后部分，因此對上述兩種本構方程分別進行峰前應力曲線和整個應力-應變曲線的擬合驗證。

首先對基于Weibull分布的非線性黏彈性本構方程進行驗證，式(19)中共8個未知參數，首先根據20 ℃紅砂巖準動態應力-應變曲線擬合得到EΔ、E2、χ和κ，然后對高應變率下沖擊試驗的應力-應變曲線擬合，確定ED、η2、α和m。對20 ℃飽和紅砂巖在不同應變率下的應力-應變關系擬合結果見圖4。

圖4 基于Weibull分布本構方程20 ℃試驗驗證

根據試驗所得， 20 ℃、0 ℃、-10 ℃紅砂巖的閾值應變ε0分別為0.0018、0.0026和0.0045。對基于Lemaitre等效應變假設建立的損傷本構方程的試驗驗證時，式(24)中共9個未知參數，首先根據試件無損傷時的準動態應力-應變曲線確定E0、χ、κ、E1和E2，再對高應變率沖擊曲線進行擬合確定其他參數。對20 ℃紅砂巖在不同應變率沖擊荷載作用下的應力-應變關系擬合結果見圖5。

圖5 基于Lemaitre等效應變假設損傷本構方程20 ℃試驗驗證

結合圖4和圖5可以看出，(1)本構方程對紅砂巖在沖擊荷載下的峰前應力部分的擬合中，基于Weibull分布的本構方程和基于Lemaitre等效應變假設的本構方程的擬合曲線和試驗數據都保持著良好的一致性，擬合精度R2>0.97，但后者的擬合精度更高，R2>0.99； 從曲線形態上看，雖然前者的擬合精度略低于后者，但前者擬合曲線的塑性發展階段能更好地反映出實際的應力-應變關系，即應變硬化和塑性流動等特征，而后者雖擬合精度高，但其擬合曲線的塑性發展階段近似為直線，這與這類孔隙率大的非均質軟巖材料在沖擊荷載下的非線性特征是不相符的。(2)對整個應力-應變曲線的擬合中，基于Weibull分布的本構方程對試驗數據的擬合度較高，R2>0.96，而基于Lemaitre等效應變假設的本構方程的擬合精度較低，R2<0.9，其誤差大于巖土工程力學計算中5%的誤差范圍要求，因此不能作為紅砂巖動態力學性能的表征； 從曲線的形態上看，前者的擬合曲線表現出明顯的分段特征，能準確地反映出紅砂巖在沖擊荷載下的線彈性階段、塑性發展階段和應變軟化階段，可對紅砂巖動力學特性進行準確表征，但后者的擬合曲線只與紅砂巖應力曲線的峰后部分有較高的吻合度，無法反映峰前應力變化的非線性特征，本構方程擬合精度達不到規范要求而不適用于對此類紅砂巖動態全應力曲線的表征。

綜上所述，基于Weibull分布的本構方程更適合對紅砂巖在沖擊荷載下的峰前應力曲線和整個應力-應變曲線關系進行表征，而基于Lemaitre等效應變假設的本構方程只適合對此類砂巖的峰前應力曲線部分進行表征，無法對其動態全應力曲線的峰前部分進行準確表征。

現利用試驗所得0 ℃和- 10 ℃紅砂巖動態應力-應變關系對本文新建本構方程進行適用性驗證，如圖6～圖10所示。

圖10 基于Weibull分布本構方程各參數的影響性分析

圖6 基于Weibull分布本構方程0 ℃試驗驗證

從圖7a、圖7b、圖8a、圖8b中可以看出，基于Weibull分布本構方程的擬合曲線與試驗數據吻合度高，整體上對峰前應力的擬合精度高于整個應力曲線的擬合，但擬合精度R2均大于0.95，可以準確地反映- 10 ℃紅砂巖在沖擊荷載下的力學本構關系，這說明基于Weibull分布的非線性黏彈性本構方程適用于對常溫以及人工凍結下白堊系紅砂巖的動力響應解答，具有一定的實際推廣價值。

圖8 基于Weibull分布本構方程- 10 ℃試驗驗證

從圖7a、圖7b、圖9a、圖9b可以看出，基于Lemaitre等效應變假設的本構方程對- 10 ℃凍結紅砂巖進行擬合驗證時，峰前應力部分的擬合曲線與試驗數據吻合度高，擬合精度R2>0.96； 而對整個應力部分的擬合驗證中，與20 ℃的擬合結果相同，都無法準確表達紅砂巖峰前應力變化特征，故認為基于Lemaitre等效應變假設本構方程適用于紅砂巖峰前應力解答，對其全應力解答存在一定的局限性。

圖7 基于Lemaitre等效應變假設本構方程0 ℃試驗驗證

圖9 基于Lemaitre等效應變假設本構方程- 10 ℃試驗驗證

4.2 本構模型的參數分析

圖11 基于Lemaitre等效應變假設本構方程各參數的影響性分析

從圖10可以看出：(1)基于Weibull分布本構方程的5個參數中，峰值應力強度與本構方程各參數呈正相關的為E0、η和ED，呈負相關的為m和α； (2)參數η對本構曲線的形態無影響，本構方程擬合曲線只隨η值的改變而整體上下平移； (3)參數E0、ED、α和m對本構方程擬合曲線的塑性發展階段的斜率以及峰值應力強度產生影響，其中，E0的取值對擬合曲線形態影響較小，對本構曲線的敏感性較低，而α和m取值變化范圍很小時便會對本構曲線的形態產生較大的影響，具有較高的敏感性。

從圖11中可以看出：(1)基于Lemaitre等效應變本構方程的參數中，E0值的大小與擬合曲線的峰值應力強度呈正相關，參數KD、δ和η2則呈負相關； (2)參數E0、δ和KD對擬合曲線塑性發展階段的形態有影響，其中，E0對曲線影響范圍更廣，δ和KD對曲線的敏感性更強； (3)參數η2值的改變對本構曲線的形態無影響，主要是對初始彈性階段的長短以及峰值應力強度的大小產生影響。

綜上所述，在紅砂巖本構關系研究中，對峰前應力部分解答時上述兩種本構方程均可，對全應力解答時則只能使用基于Weibull分布的非線性黏彈性損傷本構方程，并可根據各參數對本構曲線的影響，確定出精確度較高的參數值，從而更好地指導工程實踐。

5 結 論

(1)根據飽和紅砂巖在靜載以及動載作用下的力學特征，對朱王唐本構模型進行改進，建立了非線性體、Maxwell體和微元強度服從于Weibull分布的損傷體并聯的動態本構模型，該模型能很好地對紅砂巖在常溫和人工凍結狀態下的動態本構關系進行表征。

(2)以朱王唐本構模型為基礎，對其進行簡化，建立了基于Lemaitre等效應變假設的損傷本構方程，該模型能很好地對紅砂巖峰前應力部分進行表征，但無法準確反映全應力曲線的峰前應力變化特征，對紅砂巖的動力學響應解答存在局限性。

(3)通過對本構方程各參數對擬合曲線的敏感性分析，可以準確地了解各參數對紅砂巖本構關系的影響，從而確定出精確度較高的參數值，更好地指導工程實踐。