三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器隔振特性分析

張贛波， 趙耀， 張曉東

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，湖北 武漢 430074； 2.海軍工程大學 艦船與海洋學院，湖北 武漢 430033)

在機械振動系統(tǒng)中，質量(或慣量)元件是一個單端點元件，而彈簧和阻尼都是雙端點元件。在“力-電流”第二類機電相似理論的統(tǒng)一框架下，機械振動系統(tǒng)也必然存在一種具有2個獨立、自由端點的，與電氣系統(tǒng)的電容嚴格相似的元件。具有這一性質的元件被定義為“慣容”[1]。目前已經探索出機械、液壓、液力、機電等類型的慣容結構[2-4]。

慣容結構的實現(xiàn)為超越傳統(tǒng)的質量、彈簧和阻尼3大振動元件的串并聯(lián)組合約束關系創(chuàng)造可行性。基于“彈簧-阻尼”并聯(lián)結構的傳統(tǒng)隔振器存在低頻和線譜隔振的技術瓶頸，這是彈簧元件“通低頻、阻高頻”的動力特性所決定的[5]。而慣容具有“通高頻、阻低頻”的特性，與彈簧元件并聯(lián)組合可以構建具有反共振特性的反共振隔振器[6-8]。以往關于慣容與彈簧的組合關系研究主要集中在這一并聯(lián)結構上。文獻[9]分析慣容對振動系統(tǒng)固有頻率的影響，理論推導證明在隔振器結構中并聯(lián)慣容降低原振動系統(tǒng)的固有頻率。文獻[10]針對“慣容-彈簧”單級并聯(lián)結構反共振隔振器的隔振特性進行分析。文獻[11]在“慣容-彈簧”單級并聯(lián)結構基礎上串聯(lián)第二級彈簧，可以改善原隔振器的隔振性能。

在“慣容-彈簧-阻尼”體系下構建反共振隔振器結構，應關注解決兩方面的問題：1)反共振隔振器結構的完備性，除“慣容-彈簧”并聯(lián)結構外，還存在串聯(lián)或混聯(lián)結構；2)線譜和寬帶隔振相統(tǒng)一，應在保持傳統(tǒng)隔振器寬帶隔振性能基礎上融合線譜隔振，而不是顧此失彼。本文基于“力-電流”第二類機電相似關系，類比電氣系統(tǒng)中“電感-電容”諧振發(fā)生條件，完備地構建出3型“慣容-彈簧”反共振隔振器基本型結構，包括1型二元件“慣容-彈簧”并聯(lián)結構和2型三元件“慣容-彈簧”混聯(lián)結構。重點針對三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器，從固有頻率、反共振、阻尼影響等方面分析其振動特性和隔振性能。根據力傳遞函數存在固定點的特征，采用動力調諧優(yōu)化方法進行隔振器動力參數匹配，推導出優(yōu)化動力參數計算式，并在最優(yōu)狀態(tài)下討論動力參數對隔振性能的影響規(guī)律，以指導實際設計。所構建的2型三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器結構，為尋求在被動系統(tǒng)上進行線譜和寬帶一體化隔振提供一種有效技術途徑。

1 “慣容-彈簧”反共振隔振器結構

將兩端點的慣容代替單端點的質量，機械系統(tǒng)與電氣系統(tǒng)完全嚴格相似。根據“力-電流”機電相似理論，機械系統(tǒng)的慣容、彈簧、阻尼分別與電氣系統(tǒng)的電容、電感、電阻相對應。在電氣系統(tǒng)中，電容和電感有串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種類型。由此推知，機械系統(tǒng)的慣容和彈簧也必然存在串聯(lián)和并聯(lián)兩種諧振類型，如圖1中Ⅰ、Ⅱ所示“b1//k1”、“b1-k1”，這里以“//”、“-”分別表示并聯(lián)和串聯(lián)關系(下同)。但慣容不具有彈簧的承載能力，一旦超過工作行程將發(fā)生類似電容的“擊穿”現(xiàn)象[3]，故在“慣容-彈簧”串聯(lián)結構中必須再并聯(lián)-保護彈簧，保護彈簧的位置有2種選擇，一是單獨與慣容并聯(lián)，二是與慣容和彈簧整體并聯(lián)，共2種排列方式，見圖1中Ⅱ1、Ⅱ2。因此，單慣容反共振隔振器共有3型結構。

圖1 反共振隔振器結構Fig.1 Architecture of anti-resonant isolator

上述3型反共振隔振器的固有頻率分別是：

(1)

(2)

(3)

隔振器Ⅱ1的固有頻率與彈簧k1無關，隔振器Ⅱ2的固有頻率決定于彈簧k1、k3的合成剛度。

以反共振隔振器進行隔振系統(tǒng)設計，力傳遞率以阻抗表示為：

(4)

式中Zm、Zi、Zf分別為振源、隔振器和基礎的阻抗。

式(4)表明，隔振系統(tǒng)的反共振特性決定于隔振器阻抗。由于隔振器的固有頻率是阻抗特征方程的根，故隔振器的固有頻率對應于隔振系統(tǒng)的反共振頻率。

2 反共振隔振系統(tǒng)固有頻率

在隔振器結構中引入慣容，使得隔振系統(tǒng)發(fā)生慣性耦合。隔振器Ⅰ中只有1個彈簧，而隔振器Ⅱ1、Ⅱ2中都有2個彈簧，但前者串聯(lián)，后者并聯(lián)，不同彈簧數量和組合關系也就決定隔振系統(tǒng)具有不同的固有振動特性。在剛性基礎條件下，將振源看作剛體，其質量為m，記隔振器Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2對應的隔振系統(tǒng)分別為隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2。

2.1 隔振系統(tǒng)Ⅰ

隔振系統(tǒng)Ⅰ的特征方程為：

-mω2-b1ω2+k1=0

(5)

令u=b1/m，γ=ω/ωr，求解得隔振系統(tǒng)Ⅰ的無量綱固有頻率為：

(6)

顯然，隔振系統(tǒng)Ⅰ的固有頻率小于隔振器Ⅰ的固有頻率。質量比u越大，兩固有頻率越接近。

2.2 隔振系統(tǒng)Ⅱ1

令λ=k2/k1，代入前述定義無量綱量，整理得無量綱特征方程為：

(7)

(8)

式(8)表明，第1階固有頻率的上限值決定于質量比u，并且第1階固有頻率小于反共振頻率，即第1階共振峰出現(xiàn)在反共振峰之前。

(9)

(10)

式(9)、(10)表明，第2階固有頻率的下限值主要決定于剛度比λ。顯然，第2階固有頻率大于反共振頻率，即第2階共振峰出現(xiàn)在反共振峰之后。

2.3 隔振系統(tǒng)Ⅱ2

令λ=k3/k1，代入前述定義無量綱量，整理得無量綱特征方程：

(11)

觀察式(11)和式(7)，2方程形式相同，僅質量比系數有所區(qū)別。在隔振器Ⅱ1、Ⅱ2三元件相同的條件下，隔振系統(tǒng)Ⅱ2相對于隔振系統(tǒng)Ⅱ1的等效質量比是u(λ+1)2。由此推知，隔振系統(tǒng)Ⅱ2的第1、2階固有頻率也是關于質量比u的增函數，并且大于隔振系統(tǒng) Ⅱ1的同階固有頻率。由于質量比u和剛度比λ存在耦合，隔振系統(tǒng) Ⅱ2的第1、2階固有頻率關于剛度比λ的變化規(guī)律不同于隔振系統(tǒng) Ⅱ1。

(12)

式(12)顯示，隔振系統(tǒng)Ⅱ2的第1階固有頻率是關于剛度比λ的增函數，不同于隔振系統(tǒng)Ⅱ1的減函數。

(13)

(14)

圖關于剛度比λ的變化曲線Fig.2 Curves of with respect to λ

3 反共振隔振系統(tǒng)隔振特性

3.1 反共振隔振特性

以力傳遞率作為表征隔振特性的特征量，隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2的無量綱力傳遞曲線如圖3所示。為與傳統(tǒng)隔振器比較，一并繪制出無慣容的傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)的力傳遞曲線。

從圖3看出，隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2都存在傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)不具有的反共振現(xiàn)象，在反共振頻率處，隔振系統(tǒng)具有極低的力傳遞率。當激勵頻率等于隔振器固有頻率時，隔振系統(tǒng)將發(fā)生反共振，激振力被大幅度隔離。這一反共振特性適用于線譜隔振。在反共振頻率之后，隔振器結構Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞特性表現(xiàn)出較明顯的差異性。隔振器Ⅰ在反共振頻率之后的力傳遞曲線上揚，逐漸接近一漸近值，而隔振器Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞曲線在第2階共振峰后以一定速率衰減，衰減速率與傳統(tǒng)隔振器相當，具有寬帶隔振特性。

圖3 隔振系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞曲線(u=0.3,λ=1)Fig.3 Force transmissibility curves of vibration isolation system Ⅰ,Ⅱ1,Ⅱ2(u=0.3,λ=1)

隔振器Ⅰ的反共振特性僅適用于線譜隔振，如同傳統(tǒng)隔振器，隔振性能都僅有單一性。而隔振器Ⅱ1、Ⅱ2的反共振特性表現(xiàn)出的隔振性能具有雙重性，在保有傳統(tǒng)隔振器寬帶隔振性能的同時，集成線譜隔振性能，實現(xiàn)線譜和寬帶一體化隔振。工程上純線譜激勵的激振源較少，在性質上大都是離散和連續(xù)的混合激勵，隔振器 Ⅱ1、Ⅱ2滿足工程應用要求。

3.2 阻尼影響

因未考慮阻尼，上述力傳遞率曲線共振峰和反共振峰都呈現(xiàn)尖銳、狹窄的特征。在隔振器Ⅱ1、Ⅱ2三元件基本型結構中增加阻尼元件，其位置有3種選擇，如圖4所示，包括c1、c2、c3、c1c2、c1c3、c2c3、c1c2c3共7種排列方式。因此，反共振隔振器Ⅱ1、Ⅱ2共有14種工程可行的拓撲結構。

圖4 阻尼排列方式Fig.4 Arrangement of damping

圖5 隔振器Ⅱ1不同阻尼排列方式對應的力傳遞曲線(u=0.3,λ=1,ζi=5%)Fig.5 Force transmissibility curves of isolator Ⅱ1 corresponding to different arrangement of damping(u=0.3,λ=1,ζi=5%)

對于隔振器Ⅱ1，阻尼c1、c2、c3都存在主影響區(qū)。綜合而言，阻尼c1是局部阻尼，僅控制第2階共振峰值，相應地也控制第2階共振峰之后的力傳遞率幅值，影響寬帶隔振效果；阻尼c3是區(qū)域阻尼，控制第1階共振峰值和反共振峰值；阻尼c2是全局阻尼，對第1、2階共振峰值和反共振峰值都有控制作用，主要影響線譜隔振效果。

圖6 隔振器Ⅱ2不同阻尼排列方式對應的力傳遞曲線(u=0.3,λ=1,ζi=5%)Fig.6 Force transmissibility curves of isolator Ⅱ2 corresponding to different arrangement of damping(u=0.3，λ=1，ζi=5%)

以上分析結果表明，不同位置阻尼對力傳遞曲線峰值的影響是相對解耦的。這為滿足不同隔振要求提供有效的調節(jié)途徑，如以線譜隔振為主要目標，應減小或不設阻尼c2，同時增大阻尼c1，以改善整體隔振效果。

3.3 參數優(yōu)化

由于阻尼c2是全局阻尼，在隔振器Ⅱ1、Ⅱ2三元件基礎型結構中引入阻尼c2，根據前述所定義的無量綱量，推導出隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的無量綱力傳遞函數分別為：

(15)

(16)

觀察式(15)、(16)，根據動力調諧優(yōu)化理論，隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞函數都存在不隨阻尼比ζ2變化的兩固定點。基于兩固定點對隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的動力參數進行優(yōu)化設計，基本步驟是：

1)尋求最優(yōu)剛度比λopt，使兩固定點幅值相等；

2)尋求最優(yōu)阻尼比ζ2opt，使兩固定點為最大值點。

以質量比u為自變量，計算得到隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的最優(yōu)剛度比分別為：

(17)

(18)

最優(yōu)阻尼比的解析解推導較繁復，采用最小二乘法擬合得到其數值解為：

(19)

(20)

在最優(yōu)狀態(tài)下，隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞函數關于質量比u的曲線簇如圖7所示。比較看出，隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2力傳遞曲線共振峰值和反共振峰值關于質量比u的變化規(guī)律相反。隔振系統(tǒng)Ⅱ1與質量比u負相關，提高隔振效果應減小質量比u，而隔振系統(tǒng)Ⅱ2與質量比u正相關，增大質量比u可改善隔振效果。

圖7 隔振系統(tǒng)Ⅱ1、Ⅱ2的力傳遞曲線簇Fig.7 Force transmissibility curves of vibration isolation system Ⅱ1, Ⅱ2

反共振峰值表征隔振效果，而共振峰值間距則反映隔振效果的穩(wěn)定性。對于隔振系統(tǒng)Ⅱ1，減小質量比u在降低反共振峰值的同時也增大共振峰值間距。而對于隔振系統(tǒng)Ⅱ2，增大質量比u，既降低反共振峰值，也增大共振峰值間距。因此，質量比u對隔振性能有決定性作用。

4 結論

1)“慣容-彈簧”串、并聯(lián)組合可構建3型反共振隔振器基本型結構，其中，1型二元件并聯(lián)結構和2型三元件混聯(lián)結構，反共振頻率對應于隔振器固有頻率；

2)三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器同時具有線譜和寬帶隔振性能，在基本型結構中匹配增加阻尼元件可針對共振峰值和反共振峰值實施獨立控制；

3)質量比是三元件“慣容-彈簧”反共振隔振器進行隔振設計的關鍵參數，最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比都是關于質量比的函數，對隔振性能有決定性作用。