基于短時(shí)傅里葉變換的跳頻信號(hào)頻譜感知性能分析

陳增茂， 程功， 孫志國(guó)， 孫溶辰

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

跳頻信號(hào)通信頻率受跳頻圖案控制，隨時(shí)間不斷改變，所以其具有出色的抗干擾性能和抗截獲性能，多數(shù)應(yīng)用在民用無人機(jī)上行數(shù)據(jù)鏈以及軍用通信數(shù)據(jù)鏈中，因此跳頻信號(hào)的頻譜感知在認(rèn)知無線電以及軍用偵察領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。然而多數(shù)研究集中于定頻信號(hào)的頻譜感知問題，對(duì)于跳頻信號(hào)的研究較少，所以跳頻信號(hào)感知模型的建立和理論分析是比較重要的問題。

自Mitola[1]提出認(rèn)知無線電的概念，作為其核心技術(shù)，頻譜感知能有效地識(shí)別授權(quán)用戶信號(hào)是否存在，為次級(jí)用戶接入提供先驗(yàn)信息，從而提高頻譜利用率。Urkowitz[2]基于能量檢測(cè)提出了確定性信號(hào)在高斯白噪聲下的感知方法，該方法不需要任何先驗(yàn)信息，計(jì)算簡(jiǎn)單但受噪聲影響較大，而且實(shí)際接收信號(hào)往往為不確定性信號(hào)，所以適用性并不強(qiáng)。Digham等[3]在上述研究基礎(chǔ)上探究了能量檢測(cè)在Rayleigh、Nakagami等多徑衰落信道的感知性能，并通過組合和分集等方式來提升感知性能，但該研究仍針對(duì)確定性信號(hào)。基于接收信號(hào)的隨機(jī)性與不確定性，Atapattu等[4]提出不確定性信號(hào)能量感知方法，在平坦衰落信道下得到了檢測(cè)概率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并推導(dǎo)了在低信噪比下的漸進(jìn)最優(yōu)門限。

基于上述問題，本文針對(duì)跳頻信號(hào)建立了感知數(shù)學(xué)模型，并利用了短時(shí)傅里葉變換方法，在不能同步跳頻圖案的情況下同時(shí)對(duì)跳點(diǎn)位置以及信號(hào)存在性進(jìn)行感知。此外，本文在AWGN、Rayleigh和Nakagami-m3種不同衰落信道下推導(dǎo)了檢測(cè)概率和虛警概率的理論閉環(huán)表達(dá)式，提供了跳頻信號(hào)在不同衰落信道下感知的理論基礎(chǔ)，并通過最小化誤差概率得到最優(yōu)門限，最終通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了其正確性。

1 跳頻信號(hào)頻譜感知數(shù)學(xué)模型

頻譜感知即一個(gè)二元假設(shè)問題，包含2個(gè)假設(shè)：假設(shè)H1為主用戶信號(hào)存在，假設(shè)H0為主用戶信號(hào)不存在。則接收信號(hào)y(n)的二元假設(shè)表示為：

(1)

(2)

若主用戶信號(hào)x(n)為跳頻信號(hào)，其離散形式數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

x(n)=d(n)·cos[2π(f0+f′)/fs+φn]

(3)

式中：d(n)為調(diào)制信號(hào)；f0為跳頻起始頻率；f′=[f1,f2,…，fN](N=1,2,3，…)為跳頻頻率集；fs為采樣率；φn為初始相位。

(4)

式中：Λ為某感知算法構(gòu)造的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量；λ為該算法的感知門限。因?yàn)槭录=j和事件Λ≥λ二者相互獨(dú)立，所以式(4)可以展開為：

P{(Λ≥λ)|(H,γ)}f(γ)dγ

(5)

在H0假設(shè)下，由于僅存在噪聲，所以信道衰落無影響，虛警概率Pf表示為：

Pf=P{(Λ≥λ)|H0}

(6)

2 基于短時(shí)傅里葉變換的跳頻信號(hào)頻譜感知方法

2.1 離散信號(hào)短時(shí)傅里葉變換原理

若給定信號(hào)x(t)∈L2(R)，則連續(xù)時(shí)間短時(shí)傅里葉變換定義為：

〈x(τ),g(τ-t)e-j2πft〉

(7)

式中：g(τ)為窗函數(shù)而且一般取對(duì)稱函數(shù)，且‖g(τ)‖=1。

對(duì)于離散信號(hào)，若對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣時(shí)間為Δt，則式(7)又可表示為：

(8)

令x(n)=x(nΔt),w=2πfΔt，則離散形式短時(shí)傅里葉變換表示為：

(9)

對(duì)式(9)等號(hào)兩端分別取平方，可得：

Sx(n,ω)

(10)

式中Sx(n,ω)稱為譜圖，表示信號(hào)能量的分布。

2.2 算法描述

根據(jù)式(1)中主用戶信號(hào)模型及式(9)短時(shí)傅里葉變換定義可得，在H0假設(shè)下，由于僅存在噪聲，所以接收信號(hào)y(n)的譜圖表示為：

(11)

在H1假設(shè)下，接收信號(hào)y(n)的短時(shí)傅里葉變換表示為：

(12)

根據(jù)時(shí)頻分布的能量性質(zhì)，信號(hào)在固定時(shí)頻區(qū)域內(nèi)的能量可以表示為：

(13)

式中：[ω1,ω2]為待感知跳點(diǎn)頻率區(qū)間；[n1,n2]為時(shí)間區(qū)間。由式(10)可知譜圖為短時(shí)傅里葉變換模值的平方，所以SH1(n,ω)>SH0(n,ω)恒成立，因此E|H1>E|H0也恒成立。則可利用信號(hào)在固定時(shí)頻區(qū)域的累積能量對(duì)跳點(diǎn)位置和存在性進(jìn)行檢測(cè)，其流程如圖1所示。

圖1 基于STFT的跳頻信號(hào)頻譜感知方法流程Fig.1 Diagram of spectrum sensing of frequency hopping signals based on STFT

首先對(duì)接收信號(hào)y(n)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，然后在固定時(shí)間區(qū)域[n1,n2],Δn=n2-n1內(nèi)，分別對(duì)個(gè)跳點(diǎn)所在頻率區(qū)域[ω2i-1,ω2i],Δω=ω2i-ω2i-1的譜圖求和，設(shè)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Λ=max(Ei)，并與檢測(cè)門限對(duì)比進(jìn)行存在性檢測(cè)，若確定信號(hào)存在，之后根據(jù)能量最大值所在頻率區(qū)域確定跳點(diǎn)。

注意，需滿足[ω2i-1,ω2i]∩[ω2i+1,ω2i+2]=?，這樣才能保證Ei和Ei+1之間相互獨(dú)立。

3 性能分析

3.1 AWGN信道下感知性能分析

在H0和H12種假設(shè)下，接收信號(hào)y(n)均服從獨(dú)立高斯分布，由于短時(shí)傅里葉變換為線性變換，所以其變換結(jié)果仍服從獨(dú)立高斯分布。

在H0假設(shè)下，STFTH0的數(shù)學(xué)期望和方差可分別表示為：

(14)

(15)

Pf=P{(Λ≥λ)|H0}=P{(max(Ei)≥λ)|H0}=

1-P{(max(Ei)<λ)|H0}=

(16)

(17)

在H1假設(shè)下，在非第j個(gè)跳點(diǎn)的時(shí)頻區(qū)域內(nèi)，均可視為假設(shè)，即只有第j個(gè)跳點(diǎn)所在時(shí)頻區(qū)域內(nèi)為H1假設(shè)。STFTH1的數(shù)學(xué)期望同式(14)可輕易求得為零，方差可表示為：

x(u)ω*(v)+ω(v)x*(u)+ω(u)ω*(v)]=

(18)

P1=P{(Λ≥λ)|H1}=

(19)

P2為感知出的跳點(diǎn)與真實(shí)跳點(diǎn)相符時(shí)的概率，在前文提出的算法下，其可以表述為：

PN-1{zi>0}

(20)

P2=PN-1{zi>0}=

(21)

在H1假設(shè)下，檢測(cè)概率由Pd=P1P2可求得。

3.2 衰落信道下感知性能分析

虛警概率Pf與AWGN信道下相同，見式(16)。

(22)

(23)

3.3 最優(yōu)門限選擇

頻譜感知往往通過誤差概率來評(píng)價(jià)誤差性能，誤差概率Pe(λ)定義為：

Pe(λ)=Pf(λ)+Pmd(λ)=1+Pf(λ)-Pd(λ)=

(24)

最優(yōu)門限λ*為誤差概率達(dá)到最小值時(shí)的門限：

(25)

(26)

(27)

由于門限λ恒大于零，舍掉負(fù)數(shù)解，最終得到最優(yōu)門限λ*表達(dá)式為：

(28)

由于假設(shè)γ?1，則式(28)化簡(jiǎn)為：

(29)

在Nakagami-m衰落信道下，同式(25)求偏導(dǎo)為零時(shí)的最優(yōu)門限，可得：

(30)

3.4 仿真分析

圖2為仿真信源FH-BPSK信號(hào)經(jīng)過短時(shí)傅里葉變換得到的譜圖。仿真條件為：跳點(diǎn)N=8，碼元速率Rb=200 bd，采樣率fs=18 kHz，跳速5 ms。

圖2 FH-BPSK信號(hào)的譜Fig.2 Spectrogram of FH-BPSK signals

圖3為AWGN信道下概率P1與虛警概率Pf在3種不同信噪比下的理論與仿真ROC曲線。仿真條件：檢測(cè)點(diǎn)數(shù)M=16，蒙特卡洛仿真次數(shù)5 000。其余條件上同。由圖可見理論曲線和仿真曲線較好地重合，證明了理論推導(dǎo)的正確性。隨著虛警概率Pf由0增長(zhǎng)到1，概率P1體現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì)。

圖3 AWGN信道下Pf與Pf的理論與仿真曲線Fig. 3 Curves of Pf and Pf of theory and simulations under AWGN channels

圖4為AWGN信道下跳點(diǎn)檢測(cè)概率P2與虛警概率Pf在不同檢測(cè)點(diǎn)數(shù)和跳點(diǎn)數(shù)下的關(guān)系曲線。跳點(diǎn)概率P2僅僅與信噪比有關(guān)，隨著信噪比的增大，概率N=8,M=32逐漸增長(zhǎng)到1。當(dāng)N=8,M=32時(shí)，信噪比取5 dB即可以0.98左右的概率水平確定跳點(diǎn)位置。當(dāng)檢測(cè)點(diǎn)數(shù)確定之后，跳點(diǎn)個(gè)數(shù)的提升也會(huì)明顯降低跳點(diǎn)位置檢測(cè)概率，但通過增加檢測(cè)點(diǎn)數(shù)可以有效地提升P2。例如當(dāng)信噪比仍取5 dB時(shí)，當(dāng)檢測(cè)點(diǎn)數(shù)為32時(shí)，跳點(diǎn)數(shù)為16點(diǎn)的概率與跳點(diǎn)數(shù)為8點(diǎn)的概率接近；而在檢測(cè)點(diǎn)數(shù)為16時(shí)二者卻相差0.15左右。

圖4 AWGN信道下Pd=P1·P2與SNR的關(guān)系曲線Fig.4 Curves of Pd=P1·P2 and SNR under AWGN Channels

圖5為AWGN信道下檢測(cè)概率Pd=P1P2與信噪比SNR的ROC曲線。檢測(cè)概率同時(shí)受2個(gè)概率的影響，最終隨信噪比的增大趨近于1。在信噪比小于0 dB時(shí)，相同的檢測(cè)點(diǎn)數(shù)下，檢測(cè)概率在虛警概率水平較低時(shí)明顯較低。但當(dāng)信噪比大于0 dB時(shí)檢測(cè)概率基本不受虛警概率影響。信噪比在0～10 dB時(shí)檢測(cè)概率仍受檢測(cè)點(diǎn)數(shù)增大而增大，在10 dB以上即處于較高信噪比水平時(shí)檢測(cè)概率最終均趨近于1。

圖5 AWGN信道下M=16與SNR的ROC曲線Fig.5 ROC curves of M=16 and SNR under AWGN channels

圖6為當(dāng)檢測(cè)點(diǎn)數(shù)M=16且虛警概率Pf=0.1時(shí)檢測(cè)概率與信噪比在3種衰落信道下的ROC曲線。在如圖所示的信噪比區(qū)間(-10 dB～15 dB)，檢測(cè)概率在AWGN信道的性能高于Nakgami-4衰落信道以及Rayleigh衰落信道，說明信道衰落會(huì)引起檢測(cè)性能的下降。當(dāng)信噪比取10 dB時(shí)，在AWGN信道下，雖然檢測(cè)點(diǎn)數(shù)較低，但檢測(cè)概率已逼近于1；在Nakagami-4衰落信道下，由于受到衰落影響，檢測(cè)概率在0.85左右；而Rayleigh作為較為嚴(yán)重的衰落，檢測(cè)概率在0.7左右，已經(jīng)明顯低于對(duì)于信號(hào)感知概率的標(biāo)準(zhǔn)。

圖6 衰落信道下M=1 000與SNR的ROC曲線Fig.6 ROC Curves of M=1 000 and SNR of under fading channels

圖7為當(dāng)檢測(cè)點(diǎn)數(shù)M=1 000且信噪比為-5 dB時(shí)誤差概率Pe與經(jīng)過檢測(cè)點(diǎn)數(shù)M歸一化后的門限λ的關(guān)系曲線。由圖可得，隨著歸一化門限由小到大增長(zhǎng)的過程，3種信道下的誤差概率都會(huì)逐漸降低，然后再升高，在某一門限取值上達(dá)到最優(yōu)的誤差概率。在Nakagami-4和Rayleigh衰落下，最優(yōu)歸一化門限均在1.2左右，而AWGN信道下該門限在1.3左右；前2種衰落引起的錯(cuò)誤概率均在0.8左右，后者引起的錯(cuò)誤概率在0.15左右，與式(30)驗(yàn)證結(jié)果基本相符。

圖7 衰落信道下Pe與歸一化門限λ的ROC曲線Fig.7 ROC Curves of Pe and the normalized threshold λ under fading channels

4 結(jié)論

1)在對(duì)實(shí)際無線信道環(huán)境建立的3種不同衰落信道模型下，本文通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了檢測(cè)概率和虛警概率的閉環(huán)表達(dá)式。

2)通過最小化誤差概率的方法得到了最優(yōu)門限求解公式，提供了跳頻信號(hào)在衰落信道下感知的理論依據(jù)。

3)通過Matlab仿真工具對(duì)3種衰落信道下的概率曲線進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了其檢測(cè)性能和理論正確性。