含間隙3-CPaR&R1R2混聯(lián)機構(gòu)磨損特性分析

曹毅， 劉俊辰， 翟明浩， 王保興， 盛永健， 居勇健

(1.江南大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122； 2.江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

系統(tǒng)動力學(xué)模型是機械系統(tǒng)設(shè)計分析以及優(yōu)化和控制的重要工具，在傳統(tǒng)機械系統(tǒng)動力學(xué)分析中，各運動關(guān)節(jié)均認(rèn)作理想關(guān)節(jié)且不考慮關(guān)節(jié)間隙對于系統(tǒng)性能的影響[1-2]，但由于制造和裝配誤差及磨損現(xiàn)象等因素，關(guān)節(jié)間隙不可避免，同時關(guān)節(jié)間隙是確保各構(gòu)件相對運動的必要條件[3-5]。間隙的存在改變了間隙運動副關(guān)節(jié)元素間的自由度和受力狀態(tài)，且隨著關(guān)節(jié)元素的分離和接觸產(chǎn)生碰撞力和沖擊載荷，造成關(guān)節(jié)元素接觸點的磨損和變形并引起機械系統(tǒng)的振動和噪聲[6-7]。此外，隨著系統(tǒng)的不斷運行，非規(guī)則磨損間隙將進一步破壞系統(tǒng)動力學(xué)特性并加劇磨損現(xiàn)象，直至構(gòu)件損壞和失效[8]。

目前國內(nèi)外學(xué)者對含間隙機構(gòu)關(guān)節(jié)磨損預(yù)測進行了大量的研究，Tasora等[9]基于Reye′s hypothesis模型對一轉(zhuǎn)動副間隙磨損進行計算并通過與實驗結(jié)果相對比驗證了磨損計算的準(zhǔn)確性。Mukras等[8，10]提出了一種適用于多體系統(tǒng)動力學(xué)關(guān)節(jié)磨損分析的計算方法，并對彈性地基模型和接觸力模型進行對比，以分析其在磨損計算過程中磨損深度和輪廓的差異。Flores等[11]基于連續(xù)接觸模型和Archard磨損模型提出了一種轉(zhuǎn)動副間隙磨損現(xiàn)象的分析方法并對其進行量化。Li等[12]將間隙定義為無質(zhì)量桿，并基于彈性地基模型和Archard磨損模型提出了一種改進的轉(zhuǎn)動副間隙磨損預(yù)測實用模型，通過實驗數(shù)據(jù)對比驗證了該模型的有效性。王庚祥等[13]基于Archard磨損模型對一含柔性構(gòu)件平面五桿機構(gòu)進行磨損預(yù)測分析，并對比分析不同程度的轉(zhuǎn)動副磨損間隙對于機構(gòu)動力學(xué)性能的影響。

機械系統(tǒng)在實際使用中，通常采用潤滑劑以延長機體的使用壽命，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，目前已有大量文獻對潤滑條件下系統(tǒng)動力學(xué)進行了研究，Zhao等[14]對一含間隙曲柄搖桿機構(gòu)進行分析，運用有限元方法求解潤滑模型并通過拉格朗日方程建立含潤滑關(guān)節(jié)及復(fù)雜接觸力條件下系統(tǒng)動力學(xué)模型；Tian等[15]基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法建立了含柔性構(gòu)件及潤滑關(guān)節(jié)的系統(tǒng)動力學(xué)模型，并提出適用于該類問題的建模分析方法；Flores等[16]基于拉格朗日方程建立了含接觸力及潤滑力的系統(tǒng)動力學(xué)方程，并提出混合力模型以解決純擠壓油膜效應(yīng)在碰撞計算過程中關(guān)節(jié)力不連續(xù)的問題。

綜上所述不難發(fā)現(xiàn)，雖有大量文獻致力于間隙關(guān)節(jié)磨損及關(guān)節(jié)潤滑研究，但潤滑條件下間隙關(guān)節(jié)磨損研究相對較少，因此本文以3-CPaR&R1R2混聯(lián)機構(gòu)為研究對象并在轉(zhuǎn)動副中考慮間隙的存在，運用Flores接觸力模型及修正Coulomb摩擦模型分別建立關(guān)節(jié)元素間接觸點法向接觸力及切向接觸力模型，關(guān)節(jié)潤滑力則通過Sommerfeld潤滑條件下無限長軸頸-軸承的潤滑力模型建立，最終運用拉格朗日方程建立了考慮轉(zhuǎn)動副間隙及關(guān)節(jié)潤滑的動力學(xué)數(shù)值仿真模型，通過實例計算分析不同的物理參數(shù)對于含間隙關(guān)節(jié)磨損預(yù)測的影響，并對比研究有無潤滑條件下關(guān)節(jié)磨損特性。

1 轉(zhuǎn)動副建模

1.1 間隙轉(zhuǎn)動副建模

1.1.1 接觸力模型

在理想轉(zhuǎn)動副關(guān)節(jié)中，軸與軸套間只有一個轉(zhuǎn)動自由度，由于間隙的引入，軸與軸套分離且軸被約束在間隙范圍內(nèi)作不規(guī)則運動，隨著軸與軸套間的碰撞和相對滑動，產(chǎn)生碰撞力和摩擦力，即轉(zhuǎn)動副處的運動約束被力約束所替代。

鑒于含間隙關(guān)節(jié)元素間的不規(guī)則運動，接觸力模型應(yīng)滿足復(fù)雜接觸條件的計算且便于含間隙動力學(xué)方程的裝配。文獻[17]對Hetz接觸理論的發(fā)展歷程研究進行了系統(tǒng)的分析總結(jié)，討論了5種純彈性接觸力模型以及8種考慮能量損耗的接觸力模型，其中以Lankarani-Nikravesh接觸力模型和Flores接觸力模型應(yīng)用最為廣泛。Lankarani-Nikravesh接觸力模型充分考慮了碰撞過程中內(nèi)部阻尼做功導(dǎo)致的能量損失，但該模型受到恢復(fù)系數(shù)的限制僅適用于高恢復(fù)系數(shù)的接觸碰撞問題研究。相比而言，F(xiàn)lores接觸力模型(如圖1所示)更加精確并具有穩(wěn)定的數(shù)值解，且無明顯的限制條件，適用于一般的機械碰撞問題研究，此外，該模型能夠同時反映完全塑性接觸及彈性接觸，更適合用于磨損模型的相關(guān)計算，故本文采用Flores接觸力模型用于法向接觸力計算[18]:

圖1 含間隙轉(zhuǎn)動副關(guān)節(jié)模型Fig.1 Revolute joint model with clearance

(1)

(2)

(3)

式中：vk、Ek分別為關(guān)節(jié)元素的泊松比、彈性模量；下標(biāo)i、j分別表示軸套和軸。

Coulomb摩擦模型大量應(yīng)用于接觸碰撞過程中的摩擦行為計算，該摩擦模型結(jié)構(gòu)簡單且便于嵌入含間隙多體系統(tǒng)動力學(xué)方程，但Coulomb摩擦力模型在切向速度為零時容易發(fā)生切向速度方向突變，使動力學(xué)仿真計算不收斂。為此，本文采用AMBRSIO[19]提出的修正Coulomb摩擦力模型：

(4)

式中：ud為滑動摩擦系數(shù)；vt為切向速度；v0、v1為給定的速度界限。其摩擦系數(shù)為關(guān)節(jié)元素相對切向速度的函數(shù)，有效地解決了數(shù)值計算不穩(wěn)定的問題，提高了數(shù)值積分的穩(wěn)定性。基于式(1)、(4)，故無潤滑條件下軸對軸套的接觸力可表示為：

F=Fnn+Ftt=(fxfy)T

(5)

1.1.2 潤滑模型

大多數(shù)機械系統(tǒng)中，為減少磨損并延長機體的使用壽命，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在實際設(shè)計使用中通常采用潤滑劑。因此，為了準(zhǔn)確地分析含間隙機構(gòu)的動力學(xué)特性并提高磨損深度預(yù)測的有效性，建立含間隙轉(zhuǎn)動副中的潤滑模型極其重要。潤滑間隙轉(zhuǎn)動副的橫截面模型如圖2所示。

圖2 潤滑軸頸-軸承橫截面Fig.2 Cross section of a lubricated journal-bearing

潤滑模型是基于潤滑油膜效應(yīng)建立的，其包括純擠壓油膜效應(yīng)和楔形油膜效應(yīng)，其中純擠壓油膜效應(yīng)應(yīng)用于軸和軸套間的相對徑向速度遠(yuǎn)大于相對旋轉(zhuǎn)速度的場合，而后者應(yīng)用場合相反，假設(shè)該潤滑間隙轉(zhuǎn)動副油膜效應(yīng)為純擠壓油膜效應(yīng)。通常情況下，軸頸-軸承關(guān)節(jié)可以被視為無限長的軸頸-軸承模型(長度與直徑比大于2)，相應(yīng)的潤滑模型首先由Sommerfeld推導(dǎo)建立。根據(jù)文獻[20]，對于具有Sommerfeld潤滑條件的無限長軸頸-軸承模型其潤滑力可以表示為：

(6)

式中：ω為軸與軸套間的相對角速度；L為軸和軸套的長度；μ為潤滑油粘度；ε=e/c為偏心率，即軸和軸套的偏心距與間隙的比值；ex、ey為偏心距e在x、y方向上的分量。

在潤滑條件下，間隙轉(zhuǎn)動副關(guān)節(jié)經(jīng)過一段時間的運行，會出現(xiàn)油膜厚度極小和干碰撞情況。由式(6)可知，當(dāng)軸無限趨近于軸套表面時，ε趨近于1，導(dǎo)致潤滑力不收斂且求解過程出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。為解決上述問題，F(xiàn)lores等[16]提出了適用于從潤滑力轉(zhuǎn)換為干接觸力過程的混合力模型，即存在一定厚度不可壓縮的潤滑油膜，且在該厚度范圍內(nèi)為潤滑力和干接觸力共同作用，當(dāng)潤滑力模型切換到干接觸力模型時，該模型可確保潤滑力求解的連續(xù)性。含潤滑間隙轉(zhuǎn)動副的關(guān)節(jié)力表示為：

(7)

式中：Fdry為軸與軸套干碰撞時的接觸力；Fsqueeze為潤滑力；e0為給定的偏心距容差且該參數(shù)值的選擇取決于間隙尺寸及具體應(yīng)用場合。

1.2 含間隙轉(zhuǎn)動副磨損模型

機械系統(tǒng)中由于關(guān)節(jié)間隙的存在，關(guān)節(jié)元素間發(fā)生接觸碰撞及相對切向滑動，必然使接觸體表層材料逐漸損失從而造成磨損，目前磨損預(yù)測方法大多基于Archard的磨損模型。該模型將磨損量與接觸體的物理和幾何特性包括施加載荷、滑動距離、材料硬度等因素相關(guān)聯(lián)。此外，該模型已大量應(yīng)用于磨損深度預(yù)測研究，如球面副旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)部件[22]和斜齒輪[23]磨損分析。本文將采用Archard磨損模型對機械系統(tǒng)中含間隙轉(zhuǎn)動副進行磨損分析，其表達(dá)式為：

(8)

式中：V為磨損體積；s為相對滑移距離；k為無量綱磨損常數(shù)；H為接觸體中較軟材料的硬度；Fn為法向接觸力。

在對旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的磨損預(yù)測分析中，磨損深度相比于磨損量，可更加直觀地反映磨損對于部件尺寸及破壞程度的影響。為此，假設(shè)接觸體接觸表面為塑性變形且實際接觸面積與接觸力成正比，則式(8)可寫為：

(9)

式中Aa為實際接觸面積。則式(9)兩邊除以接觸面積，可推導(dǎo)為：

(10)

式中：h為磨損深度；P為法向接觸應(yīng)力。由該式表明，磨損深度與接觸應(yīng)力及相對滑移距離密切相關(guān)。在系統(tǒng)的運動過程中含間隙轉(zhuǎn)動副關(guān)節(jié)元素之間接觸應(yīng)力和滑移距離均不斷變化，且磨損計算過程中認(rèn)為在一個碰撞瞬間接觸條件保持不變，因此需將連續(xù)的接觸過程離散化，則該方程的微分形式可寫為：

(11)

當(dāng)關(guān)節(jié)元素間相互接觸碰撞，且完成接觸應(yīng)力和滑移距離的計算，即可基于Archard磨損模型計算磨損深度，其通過對時間離散化計算的累計深度為：

hi=hi-1+kPΔsi/H

(12)

式中：hi、Pi、Δsi分別為第i個計算周期的磨損深度、接觸應(yīng)力以及相對滑移距離；hi-1為前一周期磨損深度。由此可通過計算單個周期內(nèi)磨損深度而累計得到總磨損深度。

2 含間隙混聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模

混聯(lián)機構(gòu)系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖3所示，定坐標(biāo)系O-XYZ以及動坐標(biāo)系op-xyz分別設(shè)于定平臺支架處與動平臺幾何中心且其坐標(biāo)軸方向保持一致，串聯(lián)模塊在初始狀態(tài)下沿重力方向(Z軸方向)自然下垂。構(gòu)件AiBi、BiCi和CiDi的長度分別記為li1、li2、li3(i=1, 2, 3)，動平臺長寬高分別為lx、ly、lz，動平臺下方串聯(lián)模塊部分，記桿件A4B4、B4C4長度分別為l41、l42。并聯(lián)模塊各支鏈中，構(gòu)件A1B1、B1C1、A2B2、B2C2與平面XOY所成角度分別記為θ11、θ12、θ21、θ22，構(gòu)件A3B3、B3C3與平面YOZ所成角度分別記為θ31、θ32。選取系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為：并聯(lián)模塊3個支鏈上圓柱副的位移q1、q2、q3，串聯(lián)模塊中繞X軸轉(zhuǎn)動和繞Y軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動副的旋轉(zhuǎn)角度q4、q5。假設(shè)轉(zhuǎn)動副D3處含有間隙。

圖3 混聯(lián)機構(gòu)坐標(biāo)系Fig.3 The coordinate system of the hybrid mechanism

碰撞點及接觸力計算是進行磨損預(yù)測分析的首要條件，因此為研究含間隙及潤滑條件下關(guān)節(jié)磨損特性，本文基于拉格朗日方程對該潤滑條件下含間隙混聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)建模。

含間隙機構(gòu)中，由于理想運動約束被間隙關(guān)節(jié)元素間力約束所替代，其動力學(xué)方程由微分方程及運動約束方程組成，因此含間隙機構(gòu)動力學(xué)方程可表示為：

(13)

式中：M、C、Kg分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣；Φq為該機構(gòu)的Jacobian矩陣；矢量λ和F分別為拉格朗日乘子和廣義驅(qū)動力；fc為混合力模型所計算的接觸力及潤滑力相對于廣義坐標(biāo)系q的廣義力矩陣。

為了更加準(zhǔn)確地分析該機構(gòu)磨損特性，本文采用一種綜合計算方法，該計算方法可反映磨損過程和機構(gòu)動力學(xué)特性間的相互影響。在磨損計算過程中，磨損區(qū)域?qū)⒂奢S和軸承之間的碰撞點和滑移距離確定，運用Archard模型完成預(yù)測磨損深度計算后，根據(jù)磨損預(yù)測深度更新接觸體的接觸半徑，重構(gòu)接觸體幾何形狀，其非規(guī)則磨損間隙將進一步影響系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)并導(dǎo)致磨損區(qū)域的變化。此外為提高計算效率，接觸體表面被分為若干個扇區(qū)進行計算。該綜合計算方法的主要迭代過程如下：

1)定義系統(tǒng)的初始條件及間隙參數(shù)，給出碰撞力模型、摩擦模型、潤滑模型及磨損模型的各項物理屬性系數(shù)；

2)開始進行數(shù)值仿真，計算間隙副關(guān)節(jié)元素間的相對運動狀態(tài)并判定其是否接觸，若接觸則計算接觸面積并依據(jù)式(7)計算其接觸力，否則繼續(xù)基于式(13)進行仿真計算；

“這是誰都勉強不了的事情！”汪隊長拍拍頭，面露難色，“這也不是你我說了算的事情，也不是你那個陳班長一廂情愿的事情，關(guān)鍵是要讓李曉英心甘情愿才成！”

3)依據(jù)接觸力及接觸面積計算接觸體表面應(yīng)力分布，利用接觸應(yīng)力及相對滑移距離并基于式(11)、(12)計算當(dāng)前及累計磨損深度；

4)鑒于含間隙轉(zhuǎn)動副關(guān)節(jié)元素間的磨損將造成接觸體表面形貌改變，依據(jù)累計磨損深度對接觸體表面幾何形狀進行重構(gòu)；

5)更新間隙運動學(xué)模型、接觸力模型、摩擦模型及潤滑模型，并與磨損前的混聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型重新集成獲得磨損后的機構(gòu)動力學(xué)模型，并計算其各項動態(tài)輸出參數(shù)；

6)更新時間，使用全新的一組關(guān)節(jié)間隙參數(shù)繼續(xù)步驟2)，直至循環(huán)計算次數(shù)達(dá)到其預(yù)定的迭代周期。

3 數(shù)值分析

為驗證上述理論模型的正確性，分析不同的物理參數(shù)及有無潤滑條件對于含間隙關(guān)節(jié)磨損預(yù)測的影響，以下將進行實例計算，3-CPaR&R1R2混聯(lián)機構(gòu)的各項結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，含間隙混聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)仿真參數(shù)如表2所示。值得指出的是：在仿真計算過程中，假設(shè)軸的硬度大于軸承硬度，則只考慮軸承的磨損深度且軸始終保持其初始尺寸形狀，在40 ℃時潤滑油的黏度為400 cP。

表1 混聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of hybrid mechanism

表2 含關(guān)節(jié)間隙混聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)仿真參數(shù)Table 2 Dynamics simulation parameters of joint clearance

為便于計算，給定機構(gòu)各驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動規(guī)律：q1=0.354-0.005sin(ωt)，q2=0.409-0.005cos(ωt)，q3=0.415-0.005cos(ωt)，q4=0.1sin(ωt)，q5=0.2sin(ωt)。

3.1 無潤滑條件下關(guān)節(jié)磨損

驅(qū)動速度以及間隙尺寸是影響機構(gòu)動態(tài)性能以及磨損現(xiàn)象的重要因素，本文在4種驅(qū)動速度(ω=4π，8π，16π，32π)及4種間隙尺寸(c=0.15，0.25，0.35，0.45 mm)下進行數(shù)值仿真，對比分析不同驅(qū)動速度及間隙尺寸對該機構(gòu)間隙關(guān)節(jié)磨損的影響。

首先，依據(jù)表1、表2所列參數(shù)，并基于式(13)，在給定的間隙尺寸c=0.25 mm、驅(qū)動速度ω=4π，8π，16π，32π條件下對其進行數(shù)值仿真，圖4給出了不同驅(qū)動速度下混聯(lián)機構(gòu)中含間隙關(guān)節(jié)軸心軌跡圖，圖5是基于Archard磨損模型計算的軸承磨損深度，圖6為給定驅(qū)動速度及間隙尺寸條件下磨損深度隨運行時間變化對比圖。

圖4 不同驅(qū)動速度下軸心軌跡Fig.4 Shaft center trajectory of the clearance joint with different driving velocities

圖5 不同驅(qū)動速度下磨損深度Fig.5 Wear depth of the clearance joint with different driving velocities

由圖4軸心軌跡圖可知，在間隙尺寸為定值條件下，隨著驅(qū)動速度的增加，含間隙關(guān)節(jié)元素間沖擊碰撞現(xiàn)象減少，軸心軌跡逐漸變得較為規(guī)整且關(guān)節(jié)元素長時間處于連續(xù)接觸狀態(tài)，但其關(guān)節(jié)元素間侵入深度增加。由圖5磨損深度三維圖可知，磨損過程中其接觸表面的磨損深度并不是均勻磨損，且其磨損峰值區(qū)域與軌跡圖4中碰撞點分布區(qū)域相一致，此外，隨著驅(qū)動速度的增加雖然磨損相對變得均勻但磨損深度顯著加深；圖6為給定間隙尺寸c=0.25 mm及驅(qū)動速度ω=32π條件下，系統(tǒng)經(jīng)過20、40、80、160運行周期后間隙關(guān)節(jié)軸承磨損深度，由圖可知，隨著運行時間的增長，其磨損峰值區(qū)域與其他磨損區(qū)域差距進一步增大，對軸承表面形狀尺寸的破壞加劇，加速關(guān)節(jié)構(gòu)件失效。

圖6 磨損深度變化曲線(c=0.25 mm,ω=32π)Fig.6 Variation of wear depth (c=0.25 mm,ω=32π)

其次，令驅(qū)動速度為ω=30π，改變徑向間隙尺寸，依次取c=0.15，0.25，0.35，0.45 mm，參照前述仿真方法，所得相應(yīng)的磨損深度圖像如圖7、圖8所示。

圖7 不同間隙尺寸下磨損深度Fig.7 Wear depth of the clearance joint with different clearance sizes

圖8 磨損深度變化曲線(ω=30π,n=80)Fig.8 Variation of wear depth (ω=30π,n=80)

圖7為相同驅(qū)動速度及不同間隙尺寸下，磨損深度隨運行時長的變化圖像；圖8為給定驅(qū)動速度(ω=30π)及運行周期(n=80)條件下不同間隙尺寸磨損深度對比圖像。由圖7、圖8可知，隨著間隙尺寸的增加,磨損深度也逐漸增加,且磨損分布相對均勻，但間隙尺寸對于磨損深度的影響相對較小。

3.2 潤滑條件下關(guān)節(jié)磨損

大多數(shù)機械系統(tǒng)在實際使用中通常使用潤滑劑，因此為研究關(guān)節(jié)潤滑對于磨損深度的影響，本文對比分析了有無潤滑條件下關(guān)節(jié)磨損深度。對于給定的間隙尺寸(c=0.20 mm)及驅(qū)動速度(ω=7π)，圖9～11分別為有無潤滑條件下含間隙關(guān)節(jié)軸心軌跡圖及磨損深度。

圖9 軸心軌跡Fig.9 Shaft center trajectory

由圖9軸心軌跡可知，隨著關(guān)節(jié)潤滑的引入，間隙關(guān)節(jié)元素間沖擊現(xiàn)象顯著減輕且使侵入深度減小，軸心軌跡相對變得規(guī)整。由圖10、圖11可知，潤滑條件下軸承磨損深度顯著減小，但潤滑因素對于磨損區(qū)域的分布影響較小。

圖10 磨損深度Fig.10 Wear depth

圖11 磨損深度變化曲線Fig.11 Variation of wear depth

4 結(jié)論

1)通過對4種不同驅(qū)動速度以及4種間隙尺寸下該3-CPaR&R1R2混聯(lián)機構(gòu)關(guān)節(jié)磨損研究可知，較高的驅(qū)動速度可使磨損分布均勻但會使磨損深度顯著增加；間隙尺寸的增加會使磨損深度增加但其對磨損深度的影響相對較小。

2)通過對有無潤滑條件下含間隙關(guān)節(jié)磨損研究可知，含潤滑條件下間隙關(guān)節(jié)磨損深度顯著減小但其對于磨損區(qū)域的分布影響較小。

本文在考慮關(guān)節(jié)潤滑條件下對含間隙3-CPaR&R1R2混聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)建模及數(shù)值仿真，在后續(xù)的研究工作中將進行相應(yīng)的樣機實驗研究，并考慮多間隙及不同的間隙位置對于該系統(tǒng)動力學(xué)及磨損特性的影響。