西學東漸與三角函數(shù)表在中國的傳入與調(diào)適*

李亮

明清之際，西洋傳教士來華及西學東漸，給中國帶來了大量的西方科學技術和思想，是近代中外文化交流的一個重要方面。然而，由于中西科學知識體系的不同，使得早期的交流與融合面臨著諸多困難。尤其對于中國歷算家來說，當時傳入的西學知識中，最難接受的便是三角學。一方面，是因為中國古代數(shù)學缺乏一般角的概念，以及球面三角學等知識，即“未有予立算數(shù)以盡勾股之變者”。(1)《自然辯證法通訊》雜志社編：《科學精英：求解斯芬克斯之謎的人們》，北京：世界圖書出版公司北京公司，2015年，第512頁。清代歷算家梅文鼎(1633—1721)曾指出傳統(tǒng)《授時歷》中存有弧矢割圓之術，其精華“剖析渾體，于無勾股中尋出勾股”，大體與西方球面直角三角學有著類似的功能。不過，有研究認為這與球面三角法依然有著根本上的區(qū)別。(2)郭書春主編：《中國科學技術史·數(shù)學卷》，北京：科學出版社，2010年，第 419頁。而這種差異也有著思想上的根源，如李約瑟就認為“中國人的數(shù)學思想與實踐一貫是代數(shù)學的，而不是幾何學的”。(3)[英]李約瑟：《中國與西方的科學與社會》，載潘吉星主編：《李約瑟文集》，沈陽：遼寧科學技術出版社，1986年，第71頁。

另一方面，中國傳統(tǒng)數(shù)學也缺乏與三角學相對應的計算表格。清代數(shù)學家安清翹(1756—1829)就曾指出“古勾股、弧矢之術，于理已盡，于法亦無不足，所少者未曾立表耳”，而當時很多著作因不能立表布算，導致這些書“既不能布算，是無用之書也”(4)[清]安清翹：《一線表用》，《數(shù)學五書》本。。雖然中國傳統(tǒng)數(shù)學已有勾股術和弧矢術，然而與勾股、弧矢相關的三角函數(shù)表卻是自明末由西方引入的。

在明末，徐光啟就曾強調(diào)三角函數(shù)表的重要性，并將其命名為“大測表”(后改稱“八線表”)，認為“其數(shù)之多，其用之廣，于測量百法中皆為第一，故名大測”(5)[明]徐光啟：《崇禎歷書·割圓八線表》，韓國首爾大學奎章閣圖書館藏。。清末數(shù)學家徐有壬(1800—1860)也稱其“萬算皆從此出，表之用大矣”(6)[清]徐有壬：《務民義齋算學·造各表簡法》，清光緒九年刊本。。

最早系統(tǒng)介紹三角函數(shù)和三角函數(shù)表的中文專著是德國耶穌會士鄧玉函(Johann Schreck，1576—1630)的《大測》，該書以德國數(shù)學家畢的斯克斯(Bartholomeo Pitiscus, 1516—1613)《三角法》的1612 年版本作為底本，并且參照了比利時數(shù)學家斯蒂文(Simon Stevin，1548—1620)的著作《數(shù)學記錄》，將西方三角學知識總結成“六宗”“三要”“二簡法”“四根法”。(7)董杰、陳建平：《中國第一部三角學譯著<大測>的底本與版本研究》，載《中國科技史雜志》2017年第2期，第173—185頁。不過，在《大測》出版之前，一些零散的三角學知識就已陸續(xù)傳入中國，其中就包括一份名為《同文算指別編》的著作。書中記載的八位數(shù)據(jù)弦表，則是近代西方三角學和三角函數(shù)表傳入中國之首。這份弦表主要用于黃道坐標、赤道坐標和地平坐標之間的換算，以及日出入時刻和晨昏時刻的推算等。只因該書當時并未出版，所以一直未引起學界的關注。

另外，雖然三角函數(shù)表在天文、航海和大地測量等領域有著廣泛的運用，但由于中西知識體系之間的隔閡，導致明末對三角函數(shù)表的編算和使用存有不小的爭議。甚至入清之后，有些爭議還一直存在。本文從三角函數(shù)表傳入和調(diào)適的角度，對《同文算指別編》進行介紹，分析和考證其內(nèi)容來源，并且對明末清初中國引入和會通西方三角函數(shù)表過程中，引起的問題以及引發(fā)的爭議進行分析和討論。

一、《同文算指別編》及其弦表

《同文算指》是意大利耶穌會士利瑪竇(RicciMatthieu，1552—1610)和李之藻(1565—1630)合作編譯的一部影響甚大的數(shù)學譯著。數(shù)學史家錢寶琮曾指出：“《同文算指》書在西學東漸史中與徐光啟所譯之《幾何原本》六卷皆為極重要之著述，而所收成效尤在《幾何原本》之上”(8)錢寶琮：《浙江疇人著述記》，載《錢寶琮科學史論文選集》，北京：科學出版社，1983年，第307頁。。該書分為《前編》《通編》和《別編》三部分，前兩部分于1614年左右出版，據(jù)李之藻《同文算指前編》序記載“薈輯所聞,厘為三種：《前編》舉要,則思已過半；《通編》稍演其例,以通俚俗,間取《九章》補綴,而卒不出原書之范圍；《別編》則測圜諸術,存之以俟同志”(9)[明]李之藻：《<同文算指前編>序》，載《中國科學技術典籍通匯·數(shù)學》卷4，開封：河南教育出版社，1993年，第79頁。。其中，《前編》介紹了自然數(shù)、小數(shù)的筆算加減乘除四則運算的方法；《通編》敘述了分數(shù)、比例、級數(shù)求和、盈不足、方程、開帶以平方等算法，為全書的核心。(10)鄒振環(huán)：《<同文算指>的譯述及其意義》，載《上海科技翻譯》1990年第2期，第45頁。這些內(nèi)容被認為是根據(jù)利瑪竇的老師克拉維斯(Christopher Clavius，1537—1612)在1583年出版的《實用算術概論》(EpitomeArithmeticaePracticae)一書編譯(11)錢寶琮：《中國數(shù)學史》，北京：科學出版社，1964年，第236頁。，此外，還參考了中國數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》(12)[日]武田楠雄：《<同文算指>の成立》，載《科學史研究》，1954(30)，第7—14頁。和周述學的《神道大編歷宗算會》(13)潘亦寧：《中西數(shù)學會通的嘗試——以<同文算指>(1614年)的編纂為例》，載《自然科學史研究》2006年第3期，第215—226頁。等書。

《同文算指》出版時只包含《前編》二卷和《通編》八卷，《別編》并未一同刊印，因此不廣為人知。以至于早期的學者甚至懷疑《同文算指別編》就是《圜容較義》，只因其刻本單行，故不稱別編。(14)錢寶琮：《浙江疇人著述記》，載《錢寶琮科學史論文選集》，北京：科學出版社，1983年，第285頁。后來，數(shù)學史家李儼發(fā)現(xiàn)了法國國家圖書館所藏《同文算指別編》抄本(館藏號為Chinois 4862，后稱《別編》),并于1935年由王重民赴巴黎整理敦煌史料工作期間，代為復制回國。(15)當年攝制的照片目前保存于中國科學院自然科學史研究所“李儼圖書館”(館藏號：善子530.9915/302)。近年來，這些照片又被重新處理和整理，收錄于《中國科學技術典籍通匯·數(shù)學》卷4。《別編》抄本署名“西海，利瑪竇授；浙西，李之藻演”(16)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。，內(nèi)容只有“截圜弦算”一節(jié)(圖1)。全書開篇介紹了西方三百六十度“平度”制，以及“弦”“弧”和“全數(shù)”等概念，并給出了“弧”和“弦”之間的六種用法。(17)即“有以弧度分求正弦數(shù)者；有以弧度分求余弦數(shù)者；有以正弦數(shù)求弧度分者；有以余弦數(shù)求余弧度分者；有以弧度分求弦倒數(shù)者；有以弦倒數(shù)求弧度分者”。

圖1 《同文算指別編》首頁(左)和封面(右)(法國國家圖書館藏)

從內(nèi)容來看，書中有多處刪改和潤色的痕跡，可能屬于當時編譯用的一個“工作本”。其主體內(nèi)容是一份弦表，但該書并沒有完整抄錄弦表全部內(nèi)容，只是給出了表格首尾兩頁，且每頁也只示范性地列出了首尾幾行的數(shù)據(jù)。不過，在弦表首尾兩頁之間預留了足夠的空白頁，顯然是為了以后補充所用(圖2)。(18)中國科學院自然科學史研究所藏該書照片算表頁有王重民標注的“原書此處有白紙數(shù)十頁。重民記”字樣。

圖2 《同文算指別編》中的弦表

除了表格之外，該書還詳細介紹了如何使用該表進行十種不同的天文計算，包括：

(1)推黃道度離赤道法。

(2)以北極度推日出入時所離卯酉中地平度法。

(3)以日出入時所離卯酉中之平度推此極出地度法。

(4)推每日太陽最高度法。

(5)推半晝分法。

(6)以時刻推太陽離地平度法。

(7)以太陽離地度分推時刻法。

(8)推朦朧景時刻法。

(9)以各宿距黃道度求距赤道度法。

(10)以黃道經(jīng)度求所值赤道經(jīng)度法。(19)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。

從中可以看出，這些計算主要涉及黃道坐標、赤道坐標和地平坐標之間的換算，以及與之相關的日出入時刻和晨昏時刻的推算等問題，屬于球面三角學知識。并且每個問題都是首先介紹計算步驟，然后以 “假如”(即算例)的形式給出具體推算方法。

此外，各問題之后所附算例，不但前后關聯(lián)，也非常具有針對性。例如，這些“假如”都是以“金牛二度”為例，有的算例在計算時還需要調(diào)用前一算例中的相關結果。地理緯度則統(tǒng)一以“京師北極出地四十度”為例，時間也一致采用“萬歷庚子(1600)”。而且還以此對恒星位置進行了歲差修正，如文中提到“假如大角經(jīng)度原離白羊一百七十度二十分，今于萬歷庚子測之，加歲差二十七度四十七分”。(20)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。

總體而言，該書在內(nèi)容上除了僅對“弧度”“正弦”“余弦”和“弦倒數(shù)”(21)“弦倒數(shù)”即現(xiàn)代三角學中的“矢”，《崇禎歷書·大測》記載“倒弦者，余弦與全數(shù)之較，本名矢”。等概念做了簡單說明外，并沒有系統(tǒng)地介紹三角學的理論知識，以及給出算表的編算方法。而是以問題的形式來介紹，如何通過弦表直接進行相關天文計算，可以說是一本極具實用性和操作性的三角學小冊子。

《別編》全書主體內(nèi)容都是介紹如何使用正弦和余弦表進行天文學中的球面三角計算。由于是首次將西方的三角算表介紹到中國，為了讓讀者能夠熟悉算表的結構和使用方法，該書還在弦表之前，對其編排方式和用法做了詳細介紹，其內(nèi)容如下：

后列橫表每二副，搃作一副。觀而置右副居上，左幅居下，相聯(lián)定算。首層所排〇、一、二、三順行至八十九，皆正弧度，末層所列自八十九逆數(shù)至一、〇皆余弧度，相交對。其每幅右行所順列自〇、一、二、三以至六十為正弧度之細分，左行所倒列自六十至三、二、一、〇為余弧度之細分，亦相交對。其中間自第二層至三十一層所列，皆本度本分之弦也。(22)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。

中國傳統(tǒng)數(shù)學和天文算表一般很少在表前給出專門的解釋性文字，這份弦表由于譯自西方著作，其排列方式和用法也都符合西方的習慣，所以書中對其編排結構逐一做了說明。

其中，還使用了此前中國傳統(tǒng)算表中較少使用的“副”“層”和“行”等術語。“副”大致相當于一頁，即表的每部分都由上下兩幅組成，右副居上，為〇到三十分即各度前三十分的數(shù)據(jù)，左幅居下，為后半部分的數(shù)據(jù)。“層”表示算表的各個橫行，表中每副共有三十三層，首層和末層分別順行和逆行列出從〇至八十九各個度數(shù)，中間的三十一層為對應的〇至三十或者三十至六十分的正弦和余弦數(shù)值。

這份弦表將正弦和余弦數(shù)值置于一份表中，利用對稱結構，使其數(shù)據(jù)能夠被共享，以節(jié)約表格篇幅。從不同方向讀取表格，可以分別實現(xiàn)正弦和余弦的讀數(shù)操作。這種如今看起來司空見慣的表格形式，在西方算表傳入中國之前卻是顯得非常“另類”。這種利用表格數(shù)據(jù)的對稱性，從正反兩個不同方向讀取表格的西方算表形式，也被稱之為“旋轉對稱”(Rotational Symmetry)結構。(23)Li Liang,“Tables with ‘European’ Layout in China: A Case Study in Tabular Layout Transmission”,International Journal for the History of the Exact and Natural Sciences in Islamic Civilisation,issue 13,2014:pp.83-101.這種結構對此后中國數(shù)學和天文算表產(chǎn)生了深遠的影響，不僅在清代的各種算表中被廣泛運用，甚至在《明史·歷志》中還被用于改編《回回歷法》等內(nèi)容。(24)Li Liang,“Arabic Astronomical Tables in China: Tabular Layout and its Implications for the Transmission and Use of the Huihui Lifa”，East Asian Science, Technology,and Medicine,No.44，2016:pp.21-68.

該表的另一特點是使用了八位數(shù)據(jù)，以“一〇〇〇〇〇〇〇”(即一千萬)為全數(shù)(即圓半徑)，書中提到“其徑即環(huán)半徑，割謂一千萬分，謂全數(shù)。凡數(shù)彌析彌精，更衍之，當不止此。然析至千萬見大凡矣，故名全數(shù)也”(25)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。。弦表全數(shù)即半徑越大，算表的位數(shù)越多，數(shù)據(jù)也就越精確，該書采用一千萬為半徑，認為千萬分最為常見，這也是當時西方弦表最為常用的標準之一。

二、弦表的發(fā)展及《別編》來源

在西方傳統(tǒng)中，古希臘、印度和阿拉伯科學家很早就利用三角學知識，構建出不同的算表以輔助計算。尤其是通過運用三角學和球面三角法知識，用以解決天文、航海和大地測量等領域的各種問題。與其他古代文明注重幾何模型不同，中國傳統(tǒng)天文學主要利用代數(shù)方法解決三角學上的問題，所以對三角函數(shù)表的需求并不十分迫切，相對西方的發(fā)展也比較滯后。

公元6世紀時，一些印度天文學和數(shù)學書籍隨著佛經(jīng)一起傳入中國，其中就包括印度弧度度量法及球面三角法等。《開元占經(jīng)》(718)所載《九執(zhí)歷》就記載有一份當時傳入的正弦表。(26)田淼：《西方數(shù)學知識在中國的傳播——中國數(shù)學家對三角函數(shù)概念及公式的研究》，載《中國數(shù)學的西化歷程》，濟南：山東教育出版社，2005年，第278—325頁。此外，天文學家僧一行(683—727)在其編修的大衍歷(724)中，也構造有一張晷影差分表, 被認為是最早的正切函數(shù)表。(27)劉金沂、趙澄秋：《唐代一行編成世界上最早的正切函數(shù)表》，載《自然科學史研究》1986 年第4期，第298—309頁。不過這些著作雖然將類似于三角學的計算表格化，但并不是嚴格意義上的三角函數(shù)表，且未能引起中國數(shù)學家和天文學家的重視，也沒有產(chǎn)生顯著的影響。16世紀末，隨著西學東漸和明末歷法改革的推進，西方三角學知識依托于天文學再次傳入中國，對中國數(shù)學和天文等科學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。

西方弦表起源于古希臘，不過嚴格意義上的現(xiàn)代弦表15世紀之后才正式出現(xiàn)。古希臘數(shù)學家希帕恰斯(Hipparchus, 約前190—前120)最早給出了計算指定圓弧所對應弦長的方法, 之后經(jīng)過托勒密(Claudius Ptolemy，約100—170)的發(fā)展，編算成半徑為60，間隔為半度的弦表，并收入其《至大論》(Almagest)第一卷中。

托勒密之后的相當長時間內(nèi)，弦表并沒有得到重視和發(fā)展，直到德國天文學家雷喬蒙塔努斯(Iohannes Regiomontanus，又名 Johannes Müller，1436—1476)于1463年左右編寫了一份共計三十頁，半徑為60000，間隔為1角分的弦表。(28)不過，直到1490年該表才在其著作Tabul? Directionum Profectionumque中出版。Johannes Regiomontanus,Tabul? Directionum Profectionumque,Augsburg: Erhard Ratdolt, 1490.為了提高精度，雷喬蒙塔努斯于1465年又將弦表的半徑增加至6000000。隨后，為了計算方便，他又對弦表進行了改進，在1468年完成了半徑為10000000(八位)的弦表(29)Folkerts, Menso, Regiomontanus als Mathematiker, Centaurus,1977(3-4):pp.214-245.，這項工作也奠定了以后弦表的基本形式。

在相當長時間里，西方編撰的各類弦表都是直接或間接來自雷喬蒙塔努斯。例如，德國學者阿皮安(Peter Apian，1495—1552)就將雷喬蒙塔努斯弦表的半徑簡化到100000(六位)。(30)Peter Apian, Introductio Geographica, Ingolstadt,1533.此外，哥白尼(Nicolaus Copernicus，1473—1543)也在其基礎上，完成了一份共計三十六頁，間隔為1角分的八位弦表。(31)Nicolas Copernicus,De lateribus et angulis triangulorum, tum planorum rectilineorum, tum sphaericorum, libellus eruditissimus & utilissimus.Wittemberg: Johannes Lufft, 1542.同時，哥白尼在其《天體運行論》中也給出了一份進行簡化的，間隔為10角分的五位弦表。(32)Nicolas Copernicus，De revolutionibus orbium coelestium.Nuremberg:Johannes Petreius, 1543.

哥白尼的門徒雷蒂庫斯(Georg Joachim Rheticus，1514—1574)則將弦表計算推向了極致，他一生中最主要的工作除了幫助哥白尼出版《天體運行論》，就是進行三角算表的編算。因其將畢生精力都投入算表的編算中(33)雷蒂庫斯不但出版了最早的正割表，還首次使三角算表的編排間隔達到一角分以下。，雷蒂庫斯也被認為是“二十世紀之前最偉大的數(shù)學算表編算者”(34)Archibald R C, Rheticus, with special reference to his Opus Palatinum,Mathematics of Computation,1949,3(28):pp.552-561.。他認為當時造成觀測誤差的主要原因，已經(jīng)不再是儀器的精密與否，而是三角算表中不斷累計的誤差所致，于是立志編算間隔為10角秒的十一位弦表。然而，這項工作一直到他死后，才由他的門徒瓦倫廷(Valentinus Otho，1550—1603)繼續(xù)完成。雷蒂庫斯甚至還試圖編算一份間隔為10角秒，半徑為十六位的弦表，但這一目標直到1613年才由皮提斯卡斯(Bartholomaeus Pitiscus，1561—1613)實現(xiàn)。

《別編》八位弦表由利瑪竇傳入中國，由于利瑪竇介紹至中國的《幾何原本》《測量法義》《圜容較義》等西方著作，都是直接或間接源自克拉維斯。(35)克拉維斯被利瑪竇稱為丁先生，徐光啟在“刻《幾何原本》序”中說：“利先生從少年時，論道之暇，留意藝學，且此業(yè)在彼中所謂師傳曹習者，其師丁氏，又絕代名家也。”并且《同文算指》前編和通編的主要內(nèi)容亦是源自克拉維斯(36)《幾何原本》《測量法義》《圜容較義》《同文算指》前編和通編的主要內(nèi)容分別來自克拉維斯的Euclidis elementorum libri XV(1574);Geometria practica(1604);In sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentaries(1570);Epitome arithmeticae practicae(1583)。，所以可以推斷，這份弦表很可能來源也相似。當時，在西方出版八位弦表著作的數(shù)學家屈指可數(shù)，克拉維斯便是其中一位。克拉維斯多部著作中都有與《別編》弦表非常相似的算表(圖3)。(37)例如，克拉維斯的著作Astrolabium(1593); Theodosii Tripolitae Sphaericorum libri tres(1558);Opera Mathematica(1612) 和Tabul? Sinuum, Tangentium Et Secantium, Ad partes radij 10,000,000(1607)。此外，克拉維斯也指出，其弦表也是在雷喬蒙塔努斯的基礎上修訂而成。

圖3 克拉維斯著作中的弦表(38)左圖源自Astrolabium，右圖源自Tabul? Sinuum, Tangentium Et Secantium, Ad partes radij 10,000,000。

在克拉維斯的各種著作中，與《別編》在內(nèi)容和性質(zhì)上最為接近的是1607年出版的一本手冊(39)該書全名為Tabul? Sinuum, Tangentium Et Secantium, Ad partes radij 10,000,000.& ad scrupula prima Quadrantis, Et ad earum praxin breuis introductio, ex pleniore Tractatu。大意為《半徑為一千萬的正弦、正切和正割及其簡要使用手冊》。，名為“Tabul?Sinuum,TangentiumEtSecantium,Adpartesradij10,000,000”。(40)該書原書包括“Typographus Ad lectorem”(序言)、“Definitions”(定義)、“Observationes”(慣例)、“Exposition partium tabulae”(表的一些解釋)、“Usus tabularum in sinibus”(正弦表的使用)和“Usus tabularum in tangentibus & secantibus”(正切和正割表的使用)。其中“Definitions”部分簡要介紹了“Chorda”(弦)、“Sinvs rectus”(正弦)、“Sinus versus”(倒弦)、“Complementum sinus versi”(倒余弦)、“Complementum arcus”(余弧)、“Sinus complementi”(余弦)、“Sinus totus”(半徑，即全數(shù))、“Tangens”(正切)、“Secans”(正割)。“Exposition partium tabulae”部分則與《同文算指別編》一樣介紹了表的編排結構和查表方法。該書與《別編》不同之處，一方面只是《別編》還介紹有弦表在天文計算中的運用，并且給出了具體算例；另一方面，《別編》并沒有和弦表一起給出切線和割線的算表。因此，與《同文算指》的前編和通編一樣，《別編》很明顯也不是單一的直譯克拉維斯的某部著作，其天文計算部分應該參照了其他相關著作，而算例應該是根據(jù)中國京師的位置和萬歷年間的天象重新編算而成。

至于《別編》為何沒有最終出版，可能與利瑪竇于1610年去世有關。李之藻與利瑪竇于1601年相識(41)李之藻于1601年，在利瑪竇留居北京不久，便去拜訪，他曾在《職方外紀序》中提到：“萬歷辛丑(1601)，利氏來賓，余從僚友數(shù)輩訪之。”參見[明]李之藻：《天學初函 編器 下》，黃曙輝點校，上海：上海交通大學出版社，2013年，第1352頁。，從其學習西方天文﹑數(shù)學﹑地理等知識。因為聰穎勤奮，李之藻很快地掌握了這些新知識，利瑪竇在其《札記》中也提到“他(李之藻)掌握了丁先生(Father Clavius，即克拉維斯)所寫的幾何學教科書的大部分內(nèi)容”(42)[意]利瑪竇、[法]金尼閣著：《利瑪竇中國札記》，何高濟等譯，北京：中華書局，1983年，第432頁。。不久兩人以“耳受手書”的方式(43)李之藻在《渾蓋通憲圖說自序》中記載有：“昔從京師識利先生，歐羅巴人也，示我平儀。……得未曾有，耳受手書，頗亦鏡其大凡。”合作完成了《渾蓋通憲圖說》(44)《渾蓋通憲圖說》于1605年開始編譯，1607年刻印出版。(1607)和《圜容較義》(1608)兩書(45)利瑪竇在1608年8月2 日給羅馬耶穌會總會長阿桂委瓦神父的信中提到“跟我學習數(shù)學已經(jīng)好久了，今年再印刷《渾蓋通憲圖說》, 是我恩師丁先生神父的Astrolabio 的節(jié)譯本, 由我口授而他筆錄”，“現(xiàn)在他已回到北京, 準備印刷丁先生恩師的《同文算指》 (Arithmetica Practica) 及《論鐘表》(De Horologiis)兩書”。參見[意]利瑪竇著：《利瑪竇書信集》，羅漁譯，臺北：光啟出版社，1986年，第366頁。。隨后，兩人又開始了《同文算指》的編譯。李之藻在《同文算指》序中說也提到“往游金臺，遇西儒利瑪竇先生”，利瑪竇與其“精言天道，旁及算指”，李之藻因“喜其便于日用”，隨即決定翻譯此書。與此同時，利瑪竇也不斷寫信要求羅馬教廷給他寄送最新的數(shù)學書籍。

1610年，利瑪竇過世，次年李之藻亦因其父去世而回家鄉(xiāng)守喪，《同文算指》的出版事宜一再拖延。雖然《前編》和《通編》幾年后陸續(xù)出版，但由于《別編》只有“截圜弦算”一節(jié)，屬于尚未完工的著作，書中介紹的平面三角學知識，與后面舉例的球面三角學內(nèi)容，在體例上也不太一致。因此，利瑪竇去世后，李之藻可能難以獨自繼續(xù)完成該書，最終只留下了這部“半成品”。

三、三角函數(shù)表在中國的引入和調(diào)適

《別編》作為最早將西方弦表及其使用方法介紹至中國的著作，因并未出版，所以在當時影響比較有限。中國最早正式出版的一批三角學著作主要有鄧玉函的《大測》《割圓八線表》和羅雅谷(Giacomo Rho，1593—1638)的《測量全義》。這些著作大約完成于1631年左右，皆屬于《崇禎歷書》的一部分。(46)崇禎四年(1631)正月二十八日徐光啟在第一次進呈的書中正式提交了《大測》二卷、《割圓八線表》六卷和《通率表》二卷等。《測量全義》十卷則屬于崇禎四年八月初一日第二次進呈的書目之一。然而，由于中西知識體系之間的差異，其出版過程也并不順利，在使用習慣以及編算方法等方面都面臨著不小的爭議。

《崇禎歷書》中保留有兩份早期的三角函數(shù)表，一份為《割圓八線表》中間隔為1角分的六位算表，另一份為《測量全義》卷3中的“割圓八線小表”(間隔為15角分的五位算表)。這里的“小表”是相對“大表”和“中表”而言(47)如《治歷緣起》曾提到有《黃道升度立成中表》四卷，今已不得見。，其區(qū)別在于“大表之全數(shù)或八位或九位、十位，今小表止全數(shù)六位，以便推算”(48)[明]徐光啟：《崇禎歷書·割圓八線表》，韓國首爾大學奎章閣圖書館藏明刊本。，即不同位數(shù)的表格用于滿足不同精度需求的計算。

據(jù)《治歷緣起》記載，崇禎三年(1630)主持歷法改革的歷局已完成 “書表稿草一十九卷”，其中就包括《測圓八線立成長表》四卷和《通率立成表》一卷等。不過，崇禎四年(1631)正式進呈崇禎皇帝時，書目中包括有《割圓八線表》六卷和《通率表》二卷。(49)[明]徐光啟：《崇禎歷書·治歷緣起》，美國哥倫比亞大學藏明刊本。然而，《崇禎歷書》正式刊印時卻僅有《割圓八線表》一卷。可見，當時編算的《長表》等最終都并未付梓。

另據(jù)《學歷小辯》記載，最初編修《大測》時“有《立成》，有《通率》，都為一十六卷，八十余萬言”(50)[明]徐光啟：《學歷小辯》，日本國立公文書館藏本。,可見其內(nèi)容之多，工作量之巨大。《大測》中亦提到使用算表可以“不勞余力，不費晷刻”，但是同時 “為之者勞，用之者逸”(51)[明]徐光啟：《崇禎歷書·大測》，韓國首爾大學奎章閣圖書館藏明刊本。。此外，徐光啟也指出，諸表的編算“此則今之愈繁，乃后之愈簡，以臣等之甚難，開諸臣之甚易，何足畏哉？”(52)[明]徐光啟：《崇禎歷書·治歷緣起》，美國哥倫比亞大學藏明刊本。表明了這些算表的編算工作在當時雖然艱巨，但編成后便可以一勞永逸，使用極為便捷。

三角八線表的使用也大大促進了明末歷法改革的進程，以及《崇禎歷書》的編修工作。崇禎二年(1629)，徐光啟在改歷之初就提到“如舊用測圓術，求距度一率，即須展轉乘除，窮日之力。而臣等翻譯原文二萬一千六百率，又改從大統(tǒng)加減演算為三萬六千率，用之，推步展卷即得”。他還指出“新法立成其種以百計，一種之率大者以萬計，儻用其舊術，當聚數(shù)十人推算二三百年乃可竣事，將何以應詔稱任使乎”(53)[明]徐光啟：《學歷小辯》，日本國立公文書館藏本。。因此，在徐光啟看來，倘若使用傳統(tǒng)的弧矢割圓術進行推算，動輒上萬格的篇幅，幾乎無法在短期內(nèi)完成。

由于三角八線表 “推步展卷即得”的特點，使其不僅得到歷局的追捧，甚至一些反對西法的傳統(tǒng)歷算家也不排斥將其作為一種工具來使用。例如，徐光啟曾批評魏文魁 “尤用周三徑一，開方求矢之法”，認為他固執(zhí)地堅持中國傳統(tǒng)弧矢割圓術。魏文魁則答復：“弧矢割圓三乘之誤，貴局定有良見著為書，何如使魏收入《歷元》以傳后世？”(54)[明]徐光啟：《學歷小辯》，日本國立公文書館藏本。可見，即便魏文魁這樣的保守派，也希望徐光啟能將西方三角之法公諸于世。當然，徐光啟自然不愿與其分享這一利器，只是略帶嘲諷的回應他：“老而好學，誠往昔之美談。然求人之術，乃當以排抵為羔雁耶？”并指出歷局編譯的算表多達八十余萬言，如果“以入《歷元》得無本末不相稱耶？此書為用甚大，故名《大測》，自當孤行于世，待知者用之”。(55)[明]徐光啟：《學歷小辯》，日本國立公文書館藏本。

圖4 《崇禎歷書·通率表》朱補遺抄本(日本天理大學藏)

從《崇禎歷書》最終的出版情況看，其三角八線表還是放棄了傳統(tǒng)百進制，選擇全盤接受西法的六十進制。一方面，可能是這樣的轉換，無疑加大了推算的工作量，且使用不便。另一方面，可能是徐光啟等人在修歷中意識到“會通”的難處，中國的勾股術和以三角為基礎的西方割圓八線法并不完全相容。如祝平一就認為，放棄周天度而統(tǒng)一使用平度360度，正是歷局策略調(diào)整之一。這樣會使以往《大統(tǒng)歷》所使用的各類立成表形同廢物，以迫使傳統(tǒng)歷法的支持者放棄中法，從而接受西法。(59)祝平一：《三角函數(shù)表與明末的中西歷法之爭——科學的物質(zhì)文化試探》(上)、(下)，載《大陸雜志》1999年5月：第41—48頁；1999年6月，第9—18頁。

其實，關于三角函數(shù)表的編算到底采用六十進制還是百進制，至清代還一直存有爭議。例如，清初歷算家薛鳳祚(1599—1680)在其《天學會通》(60)《天學會通》原題名《歷學會通》，部分內(nèi)容收入《四庫全書》后避諱改名。中就編撰有百進制的三角函數(shù)，認為“今有較正會通之役，復患中法太脫略，而舊法又以六成十不能相入，乃取而通之，自諸書以及八線皆取六數(shù)通以十數(shù)”(61)[清]薛鳳祚：《歷學會通·中法四線引》，益都薛氏遺書本。。梅文鼎對其采用百進制，以此與傳統(tǒng)《授時歷》保持一致的做法，給予了充分肯定，認為“是書亦稱其以西法六十分通為百分，從授時之法，實為便用”。(62)李亮、石云里：《薛鳳祚西洋歷學對黃宗羲的影響——兼論<四庫全書>本<天學會通>》，載馬來平主編《中西文化會通的先驅“全國首屆薛鳳祚學術思想研討會”論文集)》，濟南：齊魯書社，2011年，第218—230頁。然而，清代數(shù)學家江永(1681—1762)對此卻提出了不同看法，指出“薛儀甫(即薛鳳祚)著《天學會通》改六十分為百分，則當先改八線表，而余諸表皆不可用，亦覺更張多事”(63)[清]江永：《數(shù)學》卷1，《叢書集成初編》本。。他認為薛鳳祚雖然將三角函數(shù)表轉為百進制，這卻給其他各種六十進制表的使用帶來了極大不便，明顯多此一舉。

結語

16世紀，隨著新航路的開辟，歐洲傳教士絡繹東來，開啟了中西文化交流的序幕，西方近代科學隨之不斷傳入中國。當近代科學與中國傳統(tǒng)科學接觸后，尤其在天文與數(shù)學等領域產(chǎn)生了較為深遠的影響。誠如梁啟超所言:“自明徐光啟以后,士大夫漸好治天文算學”，而“其于西來法,食而能化,足見民族器量焉”(64)粱啟超：《清代學術概論》，上海：復旦大學出版社，1985年，第47頁。。不過，這種對外來知識的吸收與融合并非一蹴而就。

由于中西科學知識體系的不同，在當時傳入的西學知識中，人們最難以接受的便是三角學。其根源在于中國人的數(shù)學思想與實踐一貫是代數(shù)學的，而不是幾何學的。想要用三角學取代傳統(tǒng)代數(shù)計算方法，就需要人們在概念和工具等多個層面產(chǎn)生思想上的轉變。

雖然，一些西方三角學知識在隋唐時期就已經(jīng)隨著佛經(jīng)從印度傳入中國，但并沒有產(chǎn)生任何影響。真正意義上的三角學知識及其算表，則是自明末以后通過耶穌會士傳入中國。據(jù)李儼先生統(tǒng)計，自三角學被引入中國至19世紀末，中國共出版了102部三角學著作，其中關于平面三角學的有39部，球面三角學37部，三角函數(shù)表26種。(65)李儼：《三角術和三角函數(shù)表的東來》，載《中算史論叢》第3集，北京：科學出版社，1955年，第191頁。這些變化可以說，帶來了一場數(shù)理知識的革命。

《同文算指別編》是最早將西方弦表和三角學知識傳入中國的著作，全書內(nèi)容雖然只有 “截圜弦算”一節(jié)，但較為全面地介紹了“弦”“弧”和“全數(shù)”等概念，以及“弧”和“弦”的六種用法。書中還通過算例介紹有如何通過弦表進行天文學上的球面三角計算，是一本極具實用性和操作性的三角學手冊。本文研究發(fā)現(xiàn)，《別編》中的弦表與利瑪竇傳入的其他西學著作相似，同樣也是參照了克拉維斯的著作。不過，《別編》在算例等內(nèi)容上，因地制宜地做了適當改編，地理緯度選用“京師北極出地四十度”，時間則采用了“萬歷庚子(1600)”。

此外，由于《別編》屬于尚未完成的著作，該書最終并未出版，在當時影響比較有限。到了崇禎改歷期間，隨著《崇禎歷書》的纂修，西方三角學知識通過《大測》《割圓八線表》和《測量全義》等書系統(tǒng)地傳入中國。三角八線表的引入和使用，在很大程度上促進了歷法改革的進程，許多天文算表得以借此迅速地編算完成。

在改歷之初，為了符合中國傳統(tǒng)百進制的習慣，在算表編算方面，歷局曾計劃在翻譯西方六十進制表格基礎上，另制一份百進制算表，并且通過《通率表》對兩種不同的進制單位進行轉換計算。然后，由于工作量巨大，且使用不便，歷局最后不得不放棄中國傳統(tǒng)，轉為與西方傳統(tǒng)保持一致。此外，做出這樣的決定也可能是歷局的一項策略，希望以此迫使中法的支持者接受西法。

入清之后，關于三角函數(shù)表進制的爭論仍舊在延續(xù)，這也反映了其傳入和會通經(jīng)歷了一個較長的調(diào)適過程。在三角函數(shù)表受到普遍重視之后，人們也不再僅僅滿足于了解其用法，還關注起其不同的構造方法，并且在此基礎上亦有所創(chuàng)新。(66)董杰、陳建平：《中國第一部三角學譯著<大測>的底本與版本研究》，載《中國科技史雜志》2017年第2期，第51—63頁。通過明清之際三角函數(shù)表在中國的使用，反映了在歐洲科學知識傳入過程中，如何通過消化與吸收近代科學的思維方式、概念，以及工具和方法，逐步不斷地調(diào)適，以實現(xiàn)對舊有科學范式的改造。

致謝：法國國家圖書館藏《同文算指別編》抄本的調(diào)查和整理，起始于作者2012年在巴黎第七大學博士后工作期間參與的HNT(History of Numerical Tables)項目。作者感謝林力娜(Karine Chemla)教授提供《別編》的館藏信息和線索，以及在2013年5月法國布列塔尼HNT項目Workshop期間幫助獲得Christopher Clavius的部分拉丁文著作。