類比拓展 尋求共性

羅愛忠 董仁思

摘要：眾所周知高考試題要求具有高度的原創性，高考命題專家手中只有教材和課標，以教材中的例題和習題以及曾經的高考試題，甚至部分模擬試題作為試題命制背景進行類比拓展、加工變式成為專家命題的主要方式。下面以兩個題組為例從試題命制的角度談領悟、應用類比法的體會，以及解決這一類直線過定點問題的基本方法.

關鍵詞：類比拓展;尋求共性;高考試題;定值問題

人教A版《數學》（選修2-2）（第73頁）對類比法這樣定義：“有兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）。”數學家波利亞曾指出：“類比是偉大的引路人“;科學家開普勒的話：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”;數學家拉普拉斯認為即使在數學里發現真理的主要工具也是歸納和類比。由此可見，類比是一個非常重要的推理方法，也是編制試題的主渠道，更是培養學生數學創新能力、創新思維的重要途徑，教學過程中我們應給予充分的重視。

題組一

1、（人教版《數學》選修2-1P73A組第6題）如圖，O是直角系坐標原點，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B點，求證：OA⊥OB﹒

本題主要研究過拋物線頂點的正交弦問題，本質上也是一個定值問題，即求證或kOA·kOB=-1。從這個命題出發進行探究、拓展，一般可以從三個維度進行：

一是逆命題是否成立，即過拋物線頂點的正交弦兩端點的直線是否過定點問題，即例2﹒

二是探究拓展原、逆兩個命題的一般性結論，即拋物線的弦的兩端點的橫坐標（縱坐標）乘積為定值，則弦所在直線過軸上的定點，反之亦然﹒

三是背景遷移，即將拋物線遷移到橢圓、雙曲線中﹒

2、（2017年全國Ⅰ卷20）已知橢圓，下列四點

中恰有三點在橢圓C上﹒

⑴求橢圓C的方程;（）

⑵設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：直線l過定點﹒

這道高考題創新度較高，考查了直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養，充分體現了素養立意的命題要求。這道試題可以認為是由上述教材習題即第一題的逆命題且將載體由拋物線類比到橢圓而來，該題創新主要體現如下兩點：第一，設問創新，以往給出點的坐標，利用待定系數法求曲線方程是常規題，如何跳出俗套，命題人出其不意，利用多給一個點的坐標，把直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養巧妙地結合在一起考查;第二，類比創新，研究直線變量中的不變問題，也是常見題，一般情形下類比方法是把兩條直線重直的結論k1·k2=-1類比為k1·k2=m（m為常數），在這道考題中打破常規類比方法，創新為k1+k2=-1，從數學運算角度類比，讓人感覺既熟悉又陌生，創新感十足﹒

題組二

得到關于p的方程解得，經檢驗符合題意

類比是創造新思維的基石，也是創新的重要方法。創新方法依賴于創新思維，培養學生數學創新思維，要求教師在日常教學中從關注學生的知識，技能的掌握轉變為關注學生的思維思考方式，類比推理屬于發現性學習，激發學生的智慧，培養學生的數學創新能力，是一個復雜的系統的工程。只要教師能轉變觀念，與學生的學習為中心與學科素養為導向，學生的創新能力一定能夠提高。

參考文獻：

[1][潘巧玲. 追本溯源，發現本質——對教材中橢圓一個定值問題的深度探究與微拓展[J]. 教學考試， 2019， 000（047）：P.18-21.

本文系湖南省教育科學規劃課題：《高中數學教學實踐滲透創客文化的實效性研究》（課題批準號：XJK016CZⅩX017）研究成果之一。

衡東一中 湖南 衡陽 421400