數學核心素養導向下的數學高考試題分析及教學建議

劉延薇

摘要：數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能。本文從數學知識的學習到數學應用的數學素養發展過程出發，以2020年高考數學全國Ⅱ卷為例，分析試卷對數學學科核心素養的考查情況，并且針對考查情況提出教學建議。

關鍵詞：數學核心素養;2020年高考;試題分析;教學建議

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）提出要求：高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。并且《課標》清晰明確地指出數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養相互獨立又相互交融，構成一個有機的整體[1]。寧銳構建的數學學科核心素養的結構將6大核心素養分別歸為了3個功能性的組：數學思維素養（包含直觀想象、數學抽象）、數學方法素養（包含數學運算、邏輯推理）、數學工具素養（包含數據分析、數學建模）[2]。2020年高考數學全國Ⅱ卷（理科）中處處都考查了學生的數學核心素養，因此本文將根據數學核心素養的功能性結構分層地分析2020年數學全國Ⅱ卷所考查的核心素養，并提出教學建議。

1高考題中的數學核心素養的分析

1.1對數學思維素養的考查

數學思維素養是按照數學方式來認識事物和理解數學的思維品質，體現了“會用數學的眼光來觀察世界”的思維性目標[2]，包含數學抽象、直觀想象素養。

1.1.1對數學抽象素養的考查

數學抽象素養是指通過數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養[1]。數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，抽象是數學的特性之一，數學的推理與應用都離不開抽象。試卷中有多題考察了數學抽象素養，主要有：第4、6、9、11、14、16、18、21、23題。

下面以2020年高考數學全國卷Ⅱ第9題為例解析試題并分析數學抽象素養在高考題中的滲透。

例1 4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有種。

本題以“垃圾分類宣傳”為背景，巧妙地將計數原理的綜合應用以及分步乘法融入其中。題目插入了積極向上的實踐勞動實例，落實了立德樹人的要求，幫助學生形成正確的人生觀、價值觀和世界觀。題目既到達了對垃圾分類的宣傳效果，又合理地考查了考生的數學抽象、數據分析和數學運算能力。

1.1.2對數學直觀素養的考查

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，發現數學結論、理解和解決數學問題的重要素養[1]。通過直觀想象，學生利用圖形進行問題的描述和分析，并且通過與外界環境的接觸直接感知，得到對二維、三維空間圖形及其性質的理解。試卷中有多題考察了數學直觀素養，主要有：第2、5、7、8、10、15、16、19、20、22題。

下面以2020年高考數學全國卷Ⅱ第16題為例解析試題并分析數學直觀素養在高考題中的滲透。

例2 設有下列四個命題：

p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內;

p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面;

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行;

p4：若直線l∩平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l。

則下述命題中所有真命題的序號是

本題是一道有難度的填空題，題目涉及空間中線面關系、復合命題判斷的考試內容，主要是考查了學生對線線平行、面面垂直、線面角的判斷。該題中考查了直觀想象、邏輯推理、數學抽象，而解題判斷過程中的關鍵是清楚分辨空間中的線、面、角的相互關系，對平面以及空間的直觀想象。利用幾何直觀和空間想象推導線、面位置，具體體會三線共面、三點共線等的滿足條件。

1.2對數學方法素養的考查

數學方法素養是在數學思維素養基礎上構建和推演數學，以及運用數學知識來解決問題的素養，體現出“用數學思維來思考世界”的方法性目標[2]，包含了數學推理、數學運算素養。

1.2.1對數學邏輯推理素養的考查

數學具有嚴謹邏輯性的特點，邏輯推理能力是學生必須具有的基本數學能力之一。邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養[1]。數學中的邏輯推理能力是指正確地運用思維規律和形式對數學對象的屬性或數學問題進行分析綜合、推理證明的能力。試卷中有大量的題都著重考察了數學抽象素養，主要有：第4、5、6、8、9、10、11、12、13、16、17、19、20、21、22、23題。

下面以2020年高考數學全國卷Ⅱ第6題為例解析試題并分析數學邏輯推理素養在高考題中的滲透。

本題考查等比數列的定義、通項公式以及前n項和公式。題目中全是數學符號，需要學生具有一定的數學分析、猜測、洞察、演繹等能力。在解題過程中首先必須根據已知的數學等式特殊化并推理構造出含通項的遞推關系，然后運用等比數列的基本知識對公式進行運算。題目中通過綜合分析、演繹推理深刻地對數學邏輯推理進行了考查。

1.2.2對數學運算素養的考查

數學運算是指明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養[1]。數學運算即是能夠根據概念、公式、法則和運算律，進行數、式、方程的正確運算和變形;能夠根據要求對數據進行估計，并能進行近似的運算。數學運算是解決數學問題的基本手段，是學生學習數學必備的品格和關鍵能力之一，試卷中（除了第7、16題外）幾乎所有題都考察了數學抽象素養。

下面以2020年高考數學全國卷Ⅱ第1題為例解析試題并分析數學運算素養在高考題中的滲透。

本題是一道簡單的集合的并集、補集混合運算的選擇題。該題考查的核心素養是數學運算，要求學生能夠理解集合的基本概念、掌握集合運算的基本法則，并能夠在解題過程中體會數學運算的意義。

1.3對數學工具素養的考查

數學工具素養是運用數學知識和方法向外解決問題的素養，體現了“用數學語言來表達世界”的工具性目標[2]，包含數學建模、數據分析素養。

1.3.1對數學建模素養的考查

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[1]。數學建模是很接近生活的數學素養，是學生對數學應用的重要形式。試卷中對數學建模素養的考查的試題有第4、12、18題。

下面以2020年高考數學全國卷Ⅱ第4題為例解析試題并分析數學建模素養在高考題中的滲透。

例5北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層。上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊。下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊。已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（如圖1）

A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊

本題以“北京天壇的圜丘壇”為背景，巧妙地將數列知識融入情景之中，體現了對中國傳統建筑的所展示的數學美，讓考生們感受數學藝術之美，隱性的對學生進行了人文底蘊的熏陶。題目涉及數學運算、邏輯推理、數學抽象和數學建模的核心素養，而主要考查得是等差數列前n項和有關建模和計算問題。

1.3.2對數據分析素養的考查

數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養[1]。數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，隨著大數據時代的到來、“互聯網+”的不斷發展，數據分析能力也就顯得更為重要。試卷中就有第3、14、18題對數據分析素養進行了查考。

下面以2020年高考數學全國卷Ⅱ第3題為例解析試題并分析數據分析素養在高考題中的滲透。

例6 在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓。為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.5。志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

該題結合時事，以“新冠疫情防控”“志愿者參加配貨工作”為背景，巧妙地引導學生要“德智體美勞”全面發展，也展現了數學可以解決生活中的實際問題。題目涉及數學運算、數據分析核心素養，考查了簡單的概率與統計知識。本題也是文字較多，考生需將文字快速分析、提煉出所需數據，最終分析解出結果。

2試題考查情況數據匯總及教學建議

2.1數據分析及數學核心素養考查分析

下表是2020年高考數學全國Ⅱ卷（理科）試題對于數學核心素養考查的數據匯總情況表：

根據上表可知：

（1）試卷綜合考查了數學核心素養。數學高考試卷中各題往往涉及了多個數學核心素養的考查，體現了數學學科核心素養相互交融、不可分割，是一個有機的整體。這樣看來基于數學核心素養的數學高考對于考生的綜合能力的測試呈必然的趨勢。

（2）試卷考查數學方法素養最多。數學方法素養的考查幾乎涵蓋了所有數學高考試題，足以證明數學方法的重要性，是解決數學問題所必不可少的素養。

（3）試卷較少考查數學工具素養。對于數學工具素養的考查主要集中在解決實際問題的試題。數學工具素養是針對數學應用的素養，解決問題的素養，雖然數學工具素養考查較少，但是數學工具素養卻在解決實際問題、引導學生運用數學知識方面起著至關重要的作用。

（4）試卷考查數學思維素養較多。數學思維素養的查考則主要體現在幾何與代數、函數等數學知識當中。

2.2教學建議

（1）將數學核心素養的培養貫穿整個教學活動。

數學核心素養是課堂教學需要落實的重要內容，因此要求教師將數學學科核心素養綜合的培養貫穿于整個教學活動，在數學教學過程中重視學生的綜合能力訓練，促進學生更好地發展數學綜合核心素養，獲得數學學習能力，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界。

（2）在解題教學中提升數學方法素養。

推理是數學的“命根子”，運算是數學的“童子功”。在實際教學中，教師應注重對學生的解題訓練，通過解題，讓學生在運算過程中明確運算對象，深入理解、運用運算法則。并且教學中可通過幾何與代數解題來訓練學生的數學邏輯思維，培養學生數學思維的靈活性和創造性。理性思維是數學素養的靈魂，因此數學育人要用數學的方式，善于使學生學會有邏輯地、創造性地思考。

（3）在活動教學中培養數學工具素養。

在教學過程中可圍繞某個數學問題，開展趣味數學、自主探究、小組合作等活動，在教師的幫助下解決問題。在教學中多以現實生活為例，讓學生明白數學貼近生活、數學學習的作用，幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法。

（4）在課堂教學中發展數學思維素養。

數學思維素養主要體現在概念、基本定理、幾何圖形的考查，因此在教學中要善于啟發學生，要幫助學生從“事實”到“概念”，以“概念”形成“方法”，注重對基礎知識的教授、強化以及圖形的觀察，促進學生思維能力、空間想象能力的發展，引導學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學對象，去發現、探索、研究有意義的數學問題。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2020.

[2] 寧銳，李昌勇，羅宗緒. 數學學科核心素養的結構及其教學意義[J]. 數學教育學報. 2019， 28（02）： 24-29.

云南師范大學數學學院 云南 昆明 650500