混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應(yīng)截面的解析計算*

陳學文， 張家偉， 方禎云

1. 重慶科技學院 數(shù)理與大數(shù)據(jù)學院， 重慶 401331； 2. 重慶大學 物理學院， 重慶 400030

電弱統(tǒng)一標準模型(the electroweak standard model， SM)是20世紀粒子物理學中頗具影響的唯象理論之一， 在描述電磁與弱相互作用中取得了巨大成功， 被標準模型預(yù)言的基本粒子都已經(jīng)得到了實驗數(shù)據(jù)的支持與驗證， 尤其是2012年人們用大型強子對撞機發(fā)現(xiàn)了標準模型預(yù)言的Higgs玻色子． 自標準模型提出以來， 國際上出現(xiàn)許多相關(guān)理論研究工作， 其中涉及“精確”檢驗標準模型的理論計算工作一直備受學術(shù)界關(guān)注， 而這些理論計算工作本身也對標準模型理論的發(fā)展起到了十分重要的推動作用．

e+e-→W+W-反應(yīng)可以精確確定W±玻色子的質(zhì)量， 許多物理學家在理論上從不同側(cè)面對e+e-→W+W-反應(yīng)做過研究． Lemoine M等人[1-5]曾討論過e+e-→W+W-過程電弱修正和軟光子修正； Beenakker W等人[6-8]針對特定的極化態(tài)計算了硬光子韌致輻射修正； Hagiwara K等人[9-10]基于最小超對稱模型討論了e+e-→W+W-過程； Aeppli A等人[11]初步討論了e+e-→W+W-→4fermions過程， 實驗上， LEP實驗組也對此過程做過觀測．

現(xiàn)有研究工作大多從有限高階圈圖角度研究e+e-→W+W-過程反應(yīng)截面， 并未涉及無窮高階修正． 相對于已有的研究工作， 本研究將從另一角度——即考慮混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應(yīng)截面的解析計算． 在SM理論框架下討論e+e-→W+W-反應(yīng)， 相應(yīng)的傳播子為光子γ， 中間玻色子Z和電子中微子νe． 此外， 由于γ和Z參與多種不同物理過程的電弱相互作用， 因而若要考慮由γ和Z以及它們之間的混合圈構(gòu)成的混合鏈圖傳播子， 其構(gòu)架問題將十分復(fù)雜． 本研究首先分析了SM中γ-Z混合鏈圖傳播子的構(gòu)架方式， 通過對各圈圖傳播子重新歸類和組合， 得到了相應(yīng)的鏈圖傳播子的解析表達式， 再通過在殼重整化方案中引入抵消項， 從而獲得重整化鏈混合鏈圖傳播子的嚴格解析結(jié)果． 同樣本研究還給出了電子中微子鏈圖傳播子的嚴格解析結(jié)果． 進而， 本研究將此結(jié)果應(yīng)用到粒子反應(yīng)e+e-→W+W-中， 獲得了在重整化鏈圖傳播子傳遞電弱作用時e+e-→W+W-的反應(yīng)截面． 最后， 結(jié)合CEPC實驗， 討論了在W+W-產(chǎn)生能量閾值附近W玻色子質(zhì)量不確定度對反應(yīng)截面的影響， 并討論了在CEPC對撞能區(qū)可產(chǎn)生的W+W-事例數(shù)．

1 γ-Z和中微子重整化混合鏈圖傳播子的解析結(jié)果

圖1 SM中的展開方式

從圖1可以看出， γ混合鏈圖傳播子可以展開成樹圖、 一圈圖、 兩圈圖……以至無窮圈圖， 且每個圈圖又參與多種不同物理過程的相互作用． 將圖1中的所有圖形重新排列， 可以將它們重新歸類． 將只含有γ參與相互作用的所有圈圖歸為第1類：

(1)

將含有“2個”γ-Z混合圈圖(其中： γ-Z圈和Z-γ且對等出現(xiàn))的所有圖形歸為第2類：

(2)

以此類推， 便可以表示出含有“4個”γ-Z混合圈圖， 含有“6個”γ-Z混合圈圖……的圖形表示出來． 最后作者可將γ混合鏈圖傳播子表示成圖2．

圖2 SM中的構(gòu)架方式

(3)

其中：

(4)

(5)

(6)

(7)

(5)-(7)式中各自能圈圖均為發(fā)散量． 通過在殼重整化方案引入相應(yīng)的抵消項

(8)

(9)

(10)

在SM中， 電子中微子參與3種不同物理過程的相互作用． 相對于其樹圖階傳播子Sν(p)=ip/p2， 類似于對γ， Z鏈圖傳播子的處理， 可將中微子重整化混合鏈圖傳播子表示成

(11)

(12)

(13)

圖3 γ，Z子混合鏈圖傳播子對樹圖傳播子相對修正

圖4 中微子鏈圖傳播子對樹圖傳播子的相對修正隨傳播子能量p的變化

2 混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應(yīng)截面

將所獲得混合鏈圖傳播子應(yīng)用到e+e-→W+W-反應(yīng)中． 樹圖階e+e-→W+W-反應(yīng)過程的Feynman圖見圖5． 若考慮混合鏈圖傳播子修正， 相應(yīng)的Feynman圖見圖6．

圖5 樹圖階e+e-→W+W-反應(yīng)Feynman圖

圖6 混合鏈圖傳播子修正下e+e-→W+W-反應(yīng)Feynman圖

在質(zhì)心系中， Mandelstam變量定義為

(14)

式中，p±表示入射正負電子的動量，k±表示出射W±的動量． 在忽略電子質(zhì)量情況下， 最低階微分截面可以表示成[17]

(15)

其中， 不變矩陣元M0為

(16)

Vμνλ(-k+， -k-，k++k-)=(k++2k-)νgλμ+(k+-k-)λgμν-(2k++k-)μgνλ

(17)

相應(yīng)的混合鏈圖傳播子修正下的微分截面可表示為

(18)

其中， 不變矩陣元MC為

(19)

3 數(shù)值結(jié)果

圖7 e+e- →W+W-微分截面隨散射角θ的變化

圖8 能量閾值附近mW對e+e- →W+W-總截面的影響

從(15)和(18)式可以看出， 當質(zhì)心能量達到產(chǎn)生W玻色子對閾值時， 隨著質(zhì)心能量的增加， 總截面會相應(yīng)增加； 由于總截面與質(zhì)心能量平方成反比， 因而當總截面達到峰值后又隨著質(zhì)心能量的增加而減小． 圖9給出了樹圖階、 傳播子圈圖修正和混合鏈圖傳播子修正下的總截面隨質(zhì)心能量的變化． 從圖9中可以看出： ① 在2mW到250 GeV質(zhì)心能量范圍內(nèi)， 混合鏈圖傳播子修正下的總截面σ(HCP)對樹圖階總截面σ0約有1%到2%的壓低效應(yīng)， 而σ(HCP)與圈圖修正下的總截面σ(loop)結(jié)果很接近； ② 在質(zhì)心能量為195 GeV時， 總截面最大， 之后總截面隨質(zhì)心能量的增加緩慢減小； ③ 在對撞能量為240 GeV處， 總截面與峰值相比減小12.75%， 因而CEPC無需將對撞能量調(diào)到195 GeV， 可直接在240 GeV對撞能區(qū)對W玻色子進行精確測量．

圖9 e+e- →W+W-總截面隨質(zhì)心能量的變化

CEPC將作為Z-工廠(質(zhì)心能量～91.2 GeV)運行2年； 在W+W-閾值附近(158～172 GeV)運行1年， 設(shè)計對撞亮度為10×1034cm-2s-2； 作為Higgs工廠(240 GeV)運行7年， 設(shè)計對撞亮度為3×1034cm-2s-2[18]． 表1給出了在不同質(zhì)心能量下的總截面． 在W+W-能量閾值附近， 若取161 GeV作為參考， 總截面約為2.6 pb， 則在CEPC上W+W-產(chǎn)生閾值附近運行一年可產(chǎn)生～8×107個事例數(shù)； 而在240 GeV對撞能區(qū)可產(chǎn)生～108個事例數(shù)． 這可為精確測量W玻色子的質(zhì)量提供數(shù)據(jù)保障．

表1 不同質(zhì)心能量下e+e-→W+W-反應(yīng)總截面

4 結(jié) 論

本研究首先在標準模型理論框架下討論了γ，Z，νe混合鏈圖傳播子的構(gòu)架方式， 并獲得了相應(yīng)的重整化混合鏈圖傳播子的嚴格解析結(jié)果． 進而， 采用“混合鏈圖傳播子修正下的反應(yīng)截面”這種計算模式， 討論了混合鏈圖傳播子修正下的e+e-→W+W-反應(yīng)截面， 獲得了相應(yīng)的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果． 最后， 結(jié)合CEPC對撞亮度和運行時間， 討論了CEPC在W+W-閾值附近和240 GeV兩個對撞能區(qū)可產(chǎn)生W+W-的事例數(shù)．