一類具有粘彈性項(xiàng)和非線性邊界耗散的波動(dòng)方程解的存在唯一性*

羅嘉蓓， 蒲志林， 米小平

四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都 610066

設(shè)Ω?R3是一個(gè)有界、 連通區(qū)域并且有光滑邊界Γ， 單位外法向量記為ν． 已有許多工作研究了如下方程：

(1)

這類方程主要用于粘彈性材料力學(xué)中． 對于這類方程， 一些研究者通過研究一類抽象積分微分方程在函數(shù)空間中的漸近穩(wěn)定性態(tài)， 把最終結(jié)果應(yīng)用于粘彈性中[1-3]． 在此基礎(chǔ)上一些研究者將粘彈性方程轉(zhuǎn)化在動(dòng)力系統(tǒng)理論框架下[4-5]來討論解的存在唯一性． 上面這類方程(1)也是在動(dòng)力系統(tǒng)框架下， 通過半群理論、 Faedo-Galerkin等方法討論解的存在唯一性問題[6-7]． 后來， 一些研究者研究了如下方程：

(2)

這類是含有內(nèi)部阻尼項(xiàng)并且邊界項(xiàng)為0的粘彈性方程． 現(xiàn)在大部分文章都是討論非線性阻尼項(xiàng)在內(nèi)部解的存在唯一性[8]， 而邊界阻尼的情形考慮不多[9]． 本文將研究非線性阻尼項(xiàng)在邊界且滿足Neumann邊界條件解的存在唯一性問題． 考慮方程如下：

(3)

在這個(gè)方程中f和g都是非線性項(xiàng)；u=u(x，t)是實(shí)值函數(shù)， 代表位移矢量． 為了將方程(3)轉(zhuǎn)化成某個(gè)相空間的自治動(dòng)力系統(tǒng)， 根據(jù)文獻(xiàn)[5]， 對于這類帶記憶項(xiàng)的雙曲型的阻尼波方程引入新的變量：

ηt(x，s)=u(x，t)-u(x，t-s)

(4)

對式(4)中的t求導(dǎo)得

ηtt(s)=-ηst(s)+ut(t)

(5)

同時(shí)， 令μ(s)=-k′(s)且k(∞)=1， 定義v=ut， 則方程(3)可以轉(zhuǎn)化為如下形式：

(6)

為了讓方程(6)更加精確， 根據(jù)文獻(xiàn)[10]， 可以引入線性算子：

則方程(6)可以轉(zhuǎn)化為如下形式：

(7)

其初值條件為

通常記憶項(xiàng)μ滿足如下假設(shè)條件[6]：

(h1)μ∈C1(R+)∩L1(R+)， ?s∈R+；

(h2)μ(s)≥0且μ′(s)≤0， ?s∈R+；

(h4)μ′(s)+δμ(s)≤0， ?s∈R+且δ>0．

對非線性項(xiàng)f做如下假設(shè)[6]：

(f3) |f(y)|≤Γy．

對非線性項(xiàng)g做如下假設(shè)[6]：

(g1)g∈C1(R)且g(0)=0．g是一個(gè)增函數(shù)， 0≤m1≤g′(s)≤m2<∞， |s|>R．

1 記號(hào)與引理

設(shè)Ω?R3是一個(gè)有界、 連通區(qū)域并且有一個(gè)光滑的邊界Γ． 本文所涉及函數(shù)空間L2(Ω)的內(nèi)積為

且相應(yīng)的范數(shù)被定義為

(8)

和范數(shù)

(9)

由(h4)可知

(10)

最后定義乘積Hilbert空間： H=H1×L2×Lμ2(R+，H1)． 其內(nèi)積為

(11)

范數(shù)為

(12)

引理1[11]設(shè)A是Hilbert空間H中的極大單調(diào)算子． 那么， 任給u0∈D(A)， 存在唯一的函數(shù)：

u∈C1([0， ∞)；H)∩C([0， ∞)；D(A))

滿足

此外， 我們有

2 主要結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上， 對方程(7)的解的存在唯一性進(jìn)行了研究． 將利用最大單調(diào)算子理論證明全局解的存在性與唯一性．

定理1假設(shè)滿足條件(h1)-(h4)， (f1)-(f3)， (g1)， 當(dāng)(u0，v0，η0)∈D(A)時(shí)， 方程(3)在有限區(qū)間[0，T]上存在唯一的強(qiáng)解(u，v，η)． 當(dāng)T→∞時(shí)， 能量方程E(t)是有界的且只與初值有關(guān)， 則方程(3)存在唯一的全局解(u，v，η)．

證1)首先證明局部解的存在性與唯一性．

A是H上的非線性算子， 可定義

因此可以把方程(7)寫成類似于常微分方程的變分形式， 即

(13)

顯然方程(13)右端項(xiàng)-f(u)滿足局部Lipschitz條件． 要證明方程局部解的存在唯一性， 需要利用最大單調(diào)算子理論， 證明A是最大單調(diào)算子， 即根據(jù)定義1證明： 〈Az1-Az2，z1-z2〉H≥0， ?z1，z2∈D(A)且range(A+I)=H．

令?z1，z2∈D(A)， 其中z1=(u1，v1，η1)，z2=(u2，v2，η2)， 有

進(jìn)一步由(g1)和(10)式可知對?z1，z2∈D(A)， 〈Az1-Az2，z1-z2〉H≥0．

(14)

由(14)式得

(15)

將(15)式代入(14)式中

(16)

其中設(shè)

整理方程(16)得：

v+dAv-ΔNNg(γv)=w

(17)

取d=1，(17)式即為：

-ΔNv+(I+B)v=w

(18)

現(xiàn)在根據(jù)算子理論來解決方程(3)的初值問題． 根據(jù)上述證明可知方程(13)是一個(gè)具有最大單調(diào)算子的有局部Lipschitz擾動(dòng)的發(fā)展方程． 因此， 當(dāng)(u0，v0，η0)∈D(A)時(shí)， 方程(3)在有限區(qū)間[0，T]上存在唯一的強(qiáng)解(u，v，η)．

2)證明當(dāng)T→∞時(shí)， 方程(3)仍然存在唯一的解(u，v，η)， 即強(qiáng)解是全局解． 首先對(3)式的第一個(gè)等式乘以u(píng)t得

(19)

則能量等式

(20)

所以由(19)-(20)式得

(21)

由(g1)，(f2)和(10)式可知，(21)式左邊4項(xiàng)均大于等于0． 故一定存在

由Gronwall引理得

E(t)+F(u(t))≤E(0)+F(u(0))

最終得出

E(t)≤E(0)+F(u(0))

運(yùn)用最大單調(diào)算子理論知結(jié)論成立．