狹義相對論中質量與速度關系的特色推導方法

馮仕猛

(上海交通大學 物理與天文學院,上海 200240)

相對論質速關系是相對論一個基本關系式，并由此可導出相對論質能關系.在各類教科書中，除有一些為了簡明而不加推導地直接引入相對論質速關系外，對于相對論質速關系的推導，基本上都是如采用兩個完全相同小粒子發生完全非彈性碰撞成一個大粒子的方法，或反過來采用一個大粒子自我裂成兩個相同小粒子的裂分方法，然后利用大粒子的靜止參考系與兩個小粒子的運動參考系之間的洛倫茲速度變換公式，以及動量守恒和質量守恒來導出相對論的質速關系式[1-4].然而，在此推導過程中這兩個守恒又是以質速關系為基礎的，實際上形成了相互證明的循環關系.其它的推導方法，則先假設兩個慣性坐標系中力的變換關系式，而這種力的變換關系的推導則又牽涉到狹義相對論的質能方程，而質能方程又是以質速方程為基礎的，這也是一個相互循環的證明.這樣的邏輯處理過程，對剛剛開始學習狹義相對論的讀者來說，理解有很大困難.其它的推導方法[5-6],則不大適應低年級的理工科大學生學習.

本文從狹義相對論時空關系出發，先證明兩個慣性參照系中在運動方向上力的不變性，然后直接利用牛頓第二定理推導質速關系，這種推導過程更直觀、簡單,比較適用于低年級的理工科大學生學習.

1 質速關系的推導過程

1.1 兩個存在相對運動的慣性參照系中運動方向上力的變換

對于兩個直接接觸的物體之間的相互作用力，本質上是兩個物體彈性形變產生的彈性力.為了研究彈性力在兩個慣性坐標系中的變換關系，本文給出在靜止參照系中材料受力模型，見圖1.

圖1 材料在外力作用下的模型示意圖

圖1是材料的示意圖，對于第一列和第二列原子之間的彈性變形，有下列關系：

(1)

式(1)中β是第一列原子和第二列原子之間發生彈性變形時的比例系數，d是第一列原子和第二列原子之間的距離，S是兩列原子接觸處總的端面積，F1,2是第一列原子和第二列原子之間受到x方向的外力，dx是兩列原子之間在外力作用下的彈性伸長量.同理，在其它相鄰的兩列原子之間，同樣存在如下關系：

(2)

顯然，對個多個原子構成的塊體材料，其總的彈性伸長量為

(3)

(4)

將式(4)寫成胡克定律的形式有

(5)

假定有兩個慣性參照系，一個靜止參照系S系，一個相對于靜止參照系沿x方向作勻速直線運動的參照系S’系(見圖2)，運動速度為u.將上面材料放在靜止坐標系中，材料受力方向、長度方向與x方向平行，則靜止坐標系中，材料所受彈性力就是式(5).

圖2 兩個慣性坐標系中力的轉換模型.

圖2中l0是材料原長，S’系是運動坐標系，S系為靜止坐標系.根據狹義相對論的相對性原理和式(5)表示的物理意義，在運動坐標系中同樣有

(6)

(7)

式中Fx是靜止坐標系中材料所受的彈性力，l0是靜止坐標系中材料的長度，Δx是靜止坐標系中材料的彈性伸長量.將式(6)代入式(7)中可以得到

(8)

1.2 式(8)的推論

本論文中利用兩個電荷之間在x方向的靜電力的變關系推論式(8)的正確性.由洛倫茲時空變換,得

(9)

式(9)x′、y′、z′是運動坐標系中的坐標，x、y、z是靜止坐標系中的坐標.考慮到運動坐標系中任意一點的坐標大小變換到靜止坐標系中必須保持同時性，則式(9)可以轉換為下列形式:

(10)

取用微分形式：

(11)

現在假定兩個慣性參照系：一個是靜止參照系S系，另一個是以速度u向x方向運動的參照系S’系.剛開始，兩個坐標系原點重合，一個點電荷放在運動坐標系的原點，并與運動坐標系一起運動，如圖3.

由于電荷與運動坐標系相對靜止,因此,運動坐標系中觀察者看來，該點電荷在運動坐標系中產生的電位移矢量分布仍然是球形對稱分布，即

(12)

(13)

(14)

把式(11)代入式(13)中并和式(14)對比得到

(15)

從式(15)中可以看出，在電荷運動的方向上，兩個慣性坐標系中運動方向上空間的電場強度相等.利用靜電力的概念，如果有另外一個點電荷q放在B處，則受到的靜電力分別為:

(16)

把式(15)代入式(16)中得到

(17)

式(17)的結論的正確已經被相對論力學中用其它方法證明了的[7].但本文中，式(17)的推導是利用狹義相對論中洛倫茲空間變換直接推導出來的.因此，可以推斷出，利用洛倫茲變換直接推導的式(8)也是正確的.

1.3 質速關系的推導

根據狹義相對論的速度變換公式:

(18)

(19)

如果把運動坐標建立在質點上，式(19)可以簡化為

(20)

狹義相對論中時間的轉換關系為

(21)

將式(21)對t求導數得

(22)

同樣，當質點運動速度與運動坐標系速度相等時，即u=ux，式(22)可以表示為

(23)

根據力的定義式，在兩個慣性坐標系中均有

(24)

(25)

將式(23)代入到式(25)中得到

(26)

如果把運動坐標系原點建在質點上，運動坐標系中，任意時刻質點的瞬時速度為0，則質點任意時刻的質量就是靜止質量，則式(26)可以寫為

(27)

將式(20)代入到式(27)中得到

(28)

然后對式(28)兩邊求積分

(29)

式(29)的積分得

(30)

化簡得到

(31)

式(31)就是狹義相對論中運動質量和靜止質量的關系.

2 討論和結論

狹義相對論是大學物理教學中的一個難點，主要是時空的變換關系和質速關系，學生理解起來比較麻煩.經典物理基本上都是解釋現實問題，學生看得見摸得著，容易想得明白.而狹義相對論則是學生看不見摸不著的世界，所以大多數學生剛開始學起來就覺得很抽象.大學物理的教學，一個基本點是讓學生覺得物理很簡單而不是深奧.所以在大學物理力學教學過程中，設法建立簡單的物理模型，盡可能用學生容易理解的方式處理物理問題，是本論文給出研究的價值所在.

本文論文的推導方法，沒有假設，基本都是按學生的思維習慣一步步地推導，這種推導方法符合現在大學生的認知規律的.