利用速度相圖法求解多次連續碰撞問題

李開瑋

(廣東理工學院 工業自動化系，廣東 肇慶 526100)

在彈性碰撞問題中，一般遵循動量守恒和能量守恒，該類問題目前已有許多解法和討論[1-3]，而在某些情況下，兩物體甚至會發生多次連續碰撞，極大地增加了問題的復雜程度.兩物體發生多次碰撞的問題一般可以分為兩類：1)求解結束碰撞后，兩物體的速度；2)求總碰撞次數.對這類問題若采用代數計算的方法，需要對每次碰撞應用動量守恒和能量守恒列方程組，而且要根據兩物體速度判斷后一次碰撞是否能夠發生，過程復雜，計算繁瑣，易忽略細節導致出錯.學生在解答該類問題時常有錯誤.2003年G.Galperin利用坐標相空間的方法講述了兩滑塊發生多次連續碰撞時，當滑塊質量之比滿足100N時，碰撞次數與圓周率有趣巧合的現象[4].更進一步，文獻[5]采用速度相圖的角度也分析了這個現象，得到結果與G.Galperin一致.本文從另一個角度深入討論連續碰撞的問題：當兩滑塊碰撞次數確定時，滑塊應滿足什么條件，碰撞結束后，兩滑塊的運動狀態又如何？通過采用速度相圖的方法，畫出了兩物體的速度矢量軌跡，對軌跡跟蹤并結合圓的幾何特點，不僅得到滑塊應滿足的條件，也得到了結束碰撞后兩物體的運動狀態，兩物體的運動過程清晰直觀，計算簡化.接下來以一道具體問題的分析來詳述這一方法.

1 問題

如圖1所示，質量為m2的光滑斜面放在光滑水平面上，一個質量為m1的小球從斜面上h高度處自由下滑，水平面的右端有一固定彈簧，求小球與彈簧只發生n次相互作用，m1/m2應滿足的條件？

圖1 示意圖

分析：初始時，小球沿斜面下滑，斜面向左運動，兩者在水平方向動量守恒，當小球滑到斜面底端，小球與斜面動能之和為m1gh，隨后小球向右運動與彈簧第1次發生作用，之后小球離開彈簧向左運動,若小球速率大于斜面滑動速率，小球將沖上斜面，經過一段時間又滑落斜面，若滑落斜面時小球速度方向向右，小球能與彈簧發生第2次作用，之后與前面過程類似，若滿足條件,將與彈簧發生第3、4、5……次作用.

根據以上運動過程分析，小球只與彈簧發生n次相互作用的條件是：1)前n-1次均能與彈簧發生作用；2)第n-1次作用后，小球向左運動速率大于斜面的速率，且小球沖上斜面再滑落斜面后，小球速度向右；3)小球不與彈簧發生第n+1次作用，其條件為：第n次作用后，小球向左運動速率小于等于斜面的速率，或者小球沖上斜面再滑落斜面時，小球靜

止或速度仍向左.

通過以上分析，若該問題采用一般方法計算，則在每次小球與彈簧作用后，需對小球與斜面相對運動列出動量守恒與能量守恒的方程組，解出兩物體速度，判斷小球是否能與彈簧發生下一次作用，其計算十分復雜.接下來我們采用速度相圖法求解該問題.

2 速度相圖法求解

以水平向右為速度正方向，設m1與m2速度分別為u、v，小球每次向左沖上斜面，之后又滑落斜面，這個過程中小球與斜面組成的系統水平方向動量守恒.另外由于小球與彈簧作用后未損失動能，故小球沖上斜面前與小球滑落斜面后，小球與斜面動能之和均為m1gh.故有

(1)

圖2 速度相圖軌跡跟蹤

初始時刻小球與斜面均靜止，故速度矢量位于圖中O點，當小球到達水平面時，小球速度向右，斜面速度向左，矢量移動到A點，根據式(1)第一個式子可知直線OA斜率為

(2)

(3)

(4)

因此小球與彈簧發生第2次作用，需同時滿足條件式(3)、式(4)，而式(4)是式(3)的子集，因此只需滿足條件(4)即可.接下來依此類推，小球與彈簧發生第n次作用的條件為

(5)

當n>2，式(5)為式(4)的子集，因此式(5)能保證前n-1次碰撞發生.

小球不與彈簧發生第n+1次作用的條件分為兩種情形：

1)第n次作用后，小球不能沖上斜面，應滿足條件：

(6)

2)小球沖上斜面，之后再滑下斜面時小球速度向左，應滿足條件：

(7)

由式(6)、式(7)可得

(8)

由式(5)、式(8)可得，小球只與彈簧發生n次作用條件為

(9)

(10)

根據上文小球不與彈簧發生第n+1次作用有兩種情形.若第n次作用后，小球不能沖上斜面，則速度矢量與豎直負半軸夾角為θ+(n-1)2θ，速度矢量為

(11)

(12)

3 結語