油氣潤滑ECT系統靈敏度矩陣的秩虧問題及其影響因素

李照威，孫啟國

(北方工業大學 機械與材料工程學院，北京 100144)

在油氣潤滑ECT系統的圖像重建中，軟場效應和不適定問題仍是必須面對的問題。

軟場效應即敏感場靈敏度分布不均勻，靈敏度分布函數受介電分布函數的影響[1]。

不適定問題的一般定義為：“解不連續依賴數據”，它滿足下述3個條件中的任何一個即稱系統為不適定：①解不存在；②解不唯一；③解不穩定[2]。筆者暫不討論條件①。條件②是指若圖像重建過程中靈敏度矩陣的秩小于待求的未知參數個數[3]，即其解不唯一，稱該系數陣是秩虧的；而條件③是指若圖像重建過程中，由于法矩陣條件數很大(如大于1)，法矩陣的求逆會出現不穩定，觀測值微小的擾動會導致解的很大變化[4]，即其解不穩定，稱該系統是病態的。

近年來，針對油氣潤滑電容層析成像的軟場效應，楊健[5]對比分析了計入軟場效應和忽略軟場效應對ECT系統圖像重建產生的影響；針對不適定問題，其中病態問題的研究比較深入，如王振杰[6]在大地測量模型中重點討論了病態產生的原因、危害及其診斷方法。而目前關于油氣潤滑ECT系統秩虧問題的研究尚未檢索到相關資料。另外，以往的研究中大多忽略了系統圖像重建時的軟場效應。本文根據油氣潤滑ECT系統的實際工況，以小管徑(10mm左右)，薄油膜(約0.1mm～0.5mm)的系統為對象，對比了系統圖像重建時計入軟場效應及忽略軟場效應對靈敏度矩陣秩虧的影響并研究了系統靈敏度矩陣的影響因素。

1 研究模型

1.1 數學模型

基于靈敏場模型，參考文獻[6]，文章建立了油氣潤滑ECT系統圖像重建的數學模型。電容測量值、靈敏度矩陣和兩相介電常數分布之間的關系為：

(1)

式中，Cij為極板對i、j間的電容值，ε(x，y)為油氣潤滑管道內介電分布函數，Sij(x，y，ε(x，y))為油氣潤滑ECT系統的靈敏度分布函數。

在油氣潤滑ECT系統的研究中，為了便于求解，通常忽略了軟場效應，在此條件下，可將式(1)改寫為：

(2)

式中，Sij(x，y)為忽略軟場效應時油氣潤滑ECT系統靈敏度分布函數。 在油氣潤滑ECT系統求解靈敏度場是把求解區域劃分為很多像素，然后對每個像素點分別填充高介電常數物質，求出其對應的電容值變化，從而得到靈敏度矩陣。根據方程(2)，可推出極板對i-j的靈敏度分布，定義為：

k=1，2，…，p

(3)

式中，Cij(k)為管道內第k個像素單元為高介電常數εh，其他單元都為低介電常數εI時極板對i-j間的電容值；Cijh，Cijl分別是管道內所有像素單元的介電常數為εh和εI時極板對間的電容值，即系統的滿場電容值和空場電容值；μ(k)是與劃分像素單元面積元素的修正因子。

1.2 仿真模型

本文分別建立了4極板、8極板、12極板和16極板的油氣潤滑ECT系統的仿真模型。圖1為8極板電容傳感器模型徑向截面圖。根據實際工況，選擇表1所示的油氣潤滑ECT系統的結構參數作為仿真參數。

表1 電容傳感器的結構參數

圖1 ECT系統的徑向截面(8極板)

2 軟場效應

若在油氣潤滑ECT系統中考慮軟場效應，即是計入靈敏度分布函數受介電分布函數的影響[7]。

筆者將8極板油氣潤滑ECT系統激勵電壓設置為5V，檢測電極的電壓設置為0，分別測量空場和存在油氣介質時等勢線分布圖，當單極板為激勵電極，其他極板為檢測電極時，油氣潤滑ECT系統的電勢，如圖2和圖3所示。

圖2 空場第四極板激勵下的等勢線

圖3 存在油氣介質時第四極板激勵下的等勢線

由圖2和圖3可見，在油與氣的分界面，電勢值發生突變而并非均勻過度，這是由于靈敏度分布函數受介電分布函數的影響，即軟場效應存在。

3 靈敏度矩陣秩虧的分析

筆者僅討論油氣潤滑ECT系統在忽略和計入軟場效應時極板數目、油膜厚度等系統參數對靈敏度矩陣秩虧的影響。

在靈敏度矩陣中，i×j矩陣的秩最大為i和j中的較小者，表示為min(i，j)，較大者表示為max(i，j)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩，否則矩陣是秩虧的。

為了方便分析，本文定義了秩虧數N和相對秩虧率η：

N=max(i，j)-tank(S)

(4)

(5)

式中，rank(S)為矩陣S的秩數。

3.1 極板數目對秩虧的影響

在M個極板電容傳感器陣列中可得到電容組個數m如表2所示。

表2 油膜厚度0.3mm靈敏度矩陣電容組個數

以0.3mm油膜厚度為例，在忽略和計入軟場效應兩種情況下分別對四種極板數條件下靈敏度矩陣的秩虧數及相對秩虧率進行分析，其變化如圖4和圖5所示。

圖4 不同極板數下的秩虧數

圖5 不同極板數下的相對秩虧率

由圖4和圖5可知，忽略和計入軟場效應在不同極板數下的靈敏度矩陣都出現了秩虧問題，不同極板數下考慮軟場效應的靈敏度矩陣秩虧數均低于忽略軟場效應的秩虧數，如4極板時，考慮軟場效應比忽略軟場效應的秩虧數減小了15.3%。另外，靈敏度矩陣的秩虧數和相對秩虧率與檢測極板數有關，靈敏度矩陣的秩虧數隨著極板數的增多而減少，相對秩虧率隨著極板數的增多而減小，如忽略軟場效應時，4極板增至8極板，秩虧數減少了24.5%，即增加檢測極板數可以有效增加電容組個數，減小靈敏度矩陣秩虧數。

分析可得，在油氣潤滑ECT系統中，軟場效應影響油氣潤滑ECT系統圖像重建時靈敏度矩陣的秩虧數。另外，極板數不足，導致測量的電容數據的不足，進而使靈敏度矩陣秩虧，此為靈敏度矩陣秩虧的主要原因。由于油氣潤滑ECT系統管徑小，無法無限制增加極板數，故應選擇合適的極板數目。

3.2 油膜厚度對秩虧的影響

以8極板的油氣潤滑ECT系統為例，在忽略和計入軟場效應兩種情況下分別對實際工況中(0.1mm～0.5mm)不同油膜厚度仿真得到靈敏度矩陣，通過公式(4)(5)計算秩虧數及相對秩虧率，如圖6和圖7所示。

圖6 不同油膜厚度下的秩虧數

圖7 不同油膜厚度下的相對秩虧率

由圖6和圖7可知，忽略和計入軟場效應在不同油膜厚度的油氣潤滑ECT系統都存在秩虧的問題。不同油膜厚度計入軟場效應的靈敏度矩陣秩虧數均低于忽略軟場效應的秩虧數，如油膜厚度0.10mm極板時，計入軟場效應比忽略軟場效應的秩虧數降低了29.7%。另外，隨著油膜厚度的增加，秩虧數和相對秩虧率不斷增加。在油膜厚度為0.10mm～0.32mm時，秩虧數及相對秩虧率較低，油膜厚度在0.32mm以上時，秩虧數顯著增大，如忽略軟場效應油膜厚度為0.34mm時秩虧數較最低點增加30.93%。

分析可得，軟場效應影響油氣潤滑ECT系統圖像重建時靈敏度矩陣的秩虧數，與前文結論一致。另外，油膜越厚，一定范圍內電容傳感器對管道內中心介電常數較低的空氣反應越不敏感，對管道中心信息的提供越模糊[7]，使靈敏度矩陣秩虧加重。

4 結束語

筆者分析了油氣潤滑ECT系統圖像重建時忽略和計入軟場效應對靈敏度矩陣秩虧的問題及其影響因素。主要研究結論如下：①對比分析了油氣潤滑ECT系統圖像重建中，忽略和計入軟場效應時靈敏度矩陣的秩虧問題。在計入軟場效應時，靈敏度矩陣秩虧數明顯減少。軟場效應對靈敏度矩陣影響較大，不容忽視。 ②在油氣潤滑ECT系統中，存在嚴重的不適定問題，在圖像重建過程中，靈敏度矩陣存在嚴重的秩虧問題。靈敏度矩陣秩虧問題與油氣潤滑ECT系統的結構及應用特點有關，如管徑小限制了極板數目和油膜厚度。靈敏度矩陣的秩虧程度隨極板數增加而減小；隨油膜厚度增加而增大。油氣潤滑ECT系統圖像重建時產生秩虧的根本原因是檢測數據的不足。