基于LMI方法的風機穩定性分析及魯棒控制

顏現波 劉素花

（1.中國水利水電科學研究院，北京 100038；2.北京中水科水電科技開發有限公司，北京 100038；3.三峽高科信息技術有限責任公司，北京 100038）

0 引言

風力發電是當前世界上增長速度最快的新能源之一，風力發電作為一種重要的可再生能源，它越來越受到人們的廣泛關注。隨著越來越多大型風電場接入輸電系統，風力發電在運行及并網過程中存在的動力函數非線性、機組出力隨機性以及擾動大等缺點也愈發突出。目前很多學者在風電并網對現有電力系統的穩定性、安全性和可靠性的影響等方面做了大量研究，風力發電機組的建模和自動控制的研究工作也日益得到重視[1-5]。

在現有的文獻資料中，雖然研究人員對風力發電機組進行了建模[6-9]，但是并沒有考慮控制過程中的延遲環節，例如機械時間常數、電磁響應的動態過程以及網絡通信延遲等。受文獻[9]的啟發，該文在控制模型中加入延遲環節，建立了帶有時滯的風力發電機組控制模型，給出了該系統基于線性矩陣不等式（LMI）的與時滯相關的穩定性充分條件，并在該基礎上提出了狀態反饋控制器的設計方法。另外在建模過程中參考了文獻[10]在對風機動力特性方程中非線性函數進行處理的方式；文獻[11-12]利用仿真工具對風力發電機組進行建模并對魯棒優化進行研究，該文在該基礎上進一步簡化非線性函數，得到比較規范且更易于經典控制理論分析的風機模型。

1 帶有時滯時風力發電機組建模

在該小節將建立風力發電機組的控制模型，并進一步得到帶有時滯影響的風機控制模型。風力發電機組通常由風輪、對風裝置、調速（限速）機構、傳動裝置、作功裝置、儲能裝置、塔架以及發電機組成，常見的風力發電機模型如圖1所示。

圖1 風力發電機模型

1.1 風力機

風力機的動態模型如公式（1）所示[9，13]。

式中：Jr為風力機的轉動慣量與主傳動軸的轉動慣量之和；ωr為風力機轉動角速度；t為時間函數；為ωr對時間t的微分函數；Tls為主傳動軸傳遞給剛性齒輪的扭矩；Kr為阻尼系數；Ta為風力機所吸收的動力矩，是整個機組的驅動力矩。

Ta的大小如公式（2）所示。

式中：Pm為風力機所吸收的功率；λ為葉尖速比，且λ=ωr/v；β為葉片的槳距角；ρ為空氣密度；R為風力機半徑；v為風速；Cp（λ，β）為風力機的功率系數。

在該文中采用文獻[9]中的特性曲線，如公式（3）所示。

在公式（2）中動力矩Ta、風速v、風力機轉動角速度ωr以及槳距角β等因數為非線性函數關系，這種非線性在建立模型的過程中是難以處理的，為此，需要對公式（3）進行近似線性化處理。文獻[10]中對公式（3）進行了線性化處理，在該文中考慮到可以實時測量風速值，因此舍去β高次項，線性化后得Ta≈f（Cp，v）β，其中f（Cp，v）為依賴于風速v的線性函數。

1.2 傳動系統

在建模過程中假定次傳動軸及增速齒輪對都為絕對剛性的，且所有的柔性都集中在主傳動軸上，那么主傳動軸的扭矩，如公式（4）所示。

式中：ωr為風機轉動的角速度；Tls為主傳動軸的扭矩：θr為風力機的角位移；θls為低速齒輪的角位移；Kls為主傳動軸的彈性系數；Bls為主傳動軸的阻尼系數；ωls為風機主傳動軸的角速度。

增速齒輪對為完全剛性的，其變比如公式（5）所示。

式中：ng為變比；ωg與ωls分別為次傳動軸與主傳動軸的轉速；Tls與Ths分別為主傳動軸和次傳動軸的扭矩。

1.3 次傳動軸與發電機

次傳動軸為剛性軸，它與發動機轉動慣量動態的關系如公式（6）所示。

綜合公式（1）、公式（2）、公式（4）、公式（5）以及公式（6），經過局部線性化，可以得到當不考慮時滯時風力發電機組的模型，如公式（7）所示。

考慮時滯對系統的影響，經過局部線性化，上述模型可以寫成如公式（9）所示的線性時滯系統標準形式。

為了對公式（9）所表示的系統的狀態反饋控制器進行設計，筆者給出2個前提假設。

假設1：0 ≤d≤h≤∞，h為定常數。

假設2：（A，B2，C2）能穩能檢。

2 狀態反饋控制

在上一小節得到了帶有時滯時風力發電機組的標準模型，風力機組控制示意圖如圖2所示。對于公式（9）所表示的系統，筆者設計了該系統的無記憶狀態反饋控制器，如公式（10）所示。

式中：K為控制器參數矩陣；u(t)為反饋控制器。

由公式（9）和公式（10）構成的閉環系統，如公式（11）所示。

圖2 風力發電機組控制示意圖

如果由公式（11）表示的閉環系統具有H∞性能γ，即外部擾動w（t）到被調輸出z（t）的傳遞函數矩陣Gwz(s)的H∞范數小于γ，即那么控制器u（t）=Kx（t）是公式（11）所表示系統的1個γ次優狀態反饋控制率。

在該文設計與證明過程中用到以下2個引理，該引理在處理非線性系統魯棒性控制中的應用非常廣泛。

引理1：（Schur Complement）對于分塊對稱矩陣X，如公式（12）所示。

引理2：對任意向量a，b∈Rn以及合適維數的矩陣N、X、Y以及Z，且X、Z為對稱矩陣。如果公式（13）成立。

那么公式（14）所表示的不等式也成立。

式中：a、b為合適維數的向量。

2.1 開環系統漸進穩定性

為了得到公式（9）中所示的線性時滯系統穩定性判據，該文給出以下定理及證明過程。

定理1：對于公式（9）所表示的系統來說，當u（t）=0時，如果存在標量h＞0、γ＞0，那么實對稱正定矩陣P、Q、X、Z以及適當維數的矩陣Y，使下列矩陣不等式成立，如公式（15）、公式（16）所示。

其中（1,1）=PA+ATP+Y+YT+Q+hX

則公式（9）所表示的系統是漸進穩定的，且具有H∞干擾抑制度γ，即

證明：選取Lyapunov函數如下。

由公式（9）所示的系統的狀態初始條件，可得V（xt）|t=0=0，則。

因此，只需要證明J＜0即可。

對V（xt）沿公式（9）所示的系統的軌跡求導，并且在對第一項xT（t）Px（t）求導過程中運用引理2，如公式（17）所示。

公式（17）中矩陣項Ω及Π表達式為

由引理1中Schur complement得當且僅當Π＜0，公式（15）成立，得J＜0，即：

2.2 開環系統漸進穩定性

基于對前面公式（9）所示的系統的H∞性能分析，下面給出如公式（11）所示的閉系統的H∞控制器的設計方法。

進一步可以利用求解公式（19）所示優化問題，得到系統狀態反饋控制律。

通過求解公式（19）的優化問題，可以求取使閉環系統具有擾動以制度γ最小化的狀態反饋H∞控制律，如公式（20）、公式（21）所示。

式中：I為合適維數的單位矩陣。

在不等式（16）兩邊同乘diag{P-1P-1}，結果如公式（22）所示。

由公式（23）得到非線性項PZ P≥2P-Z，由2P-Z替換PZ P后得出不等式(21)，得證。

3 額定風速以上恒功率輸出控制模型

在風力發電過程中對風力發電機組的主要控制目標有以下2種情況：1）最大風能捕獲控制。在低風速時，風力發電機組的主要控制目標是如何將隨機變化的風能最大限度地轉換為電能。2）保持系統恒功率輸出。在中高風速下，風力發電機組的控制目標為保持系統恒功率輸出，即對槳距角的精確控制問題。

當機組在額定風速以上運行時，設定電磁轉矩為額定值不變，通過調節槳距角來實現穩態運行時風電機組的轉速轉速調額定，從而實現恒功率輸出，這樣恒功率控制也就轉化為恒轉速控制問題。那么在對風力發電機組模型的H∞控制進行分析的基礎上，筆者對風力發電機組的恒功率輸出控制進行建模。

風機轉速取決于次傳動軸轉速ωg，令擾動輸入為風速即：w（t）=v；控制輸入為槳距角，即u（t）=β，控制輸出y=ωg，將上述參數帶入公式（9）中就可以得到在額定風速以上運行時，風力發電機組的恒功率輸出控制模型。

4 結語

該文對帶有時滯的風力發電機組系統進行建模，運用構造的 Lyapunov函數和Schur補引理，給出了該系統基于線性矩陣不等式（LMI）的時滯相關的穩定性充分條件，在該基礎上提出了H∞狀態反饋控制器的設計方法。所得的結論都是以線性矩陣不等式的形式來表達的，可以用MATLAB里面的LMI工具箱來實現求解。該建模及穩定性分析中的難點在于對風機動力特性方程中非線性函數的處理，為了得到比較規范的風機模型，該文在證明結論的過程中對出現的非線性項進行了保守的線性化處理，該處理過程存在一定局限性，另外，是否有其他更合適的處理方式也需要做更進一步的研究。

目前對帶有時滯的風力發電機組系統的研究還比較少，該文對該方向進行了初步的探討。該文所建立的模型都是基于額定風速以上的情況，由于篇幅有限，因此筆者僅把額定風速以上時通過控制漿距角來實現恒功率輸出的方法作為該模型中一個特例。