說零點問題

王曉紅

題目：已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是（）

A.（2，+∞）? ?B.（1，+∞）? ?C.（-∞，-2）? ?D.（-∞，-1）

高考背景：

此題是2014年新課標I理科11題，是一道關于零點求參數范圍問題.在近幾年的高考中，零點問題頻頻出現，不僅出現于客觀題中，考查考生對零點基礎知識的理解與基本技能的掌握，而且滲透于主觀題中，多與導數有機融合，考查考生的思辨能力、轉化能力.該類型題的特征是：設問多樣、隱顯分明、注重基礎、適度交匯，其解法要因題擇法，既要重視定義、定理、構造等代數方法，又要強調數與形的轉化思想.事實上，教材概述零點問題，就給零點賦以“形”與“數”的雙刃面，這不僅拓展了知識理解的深度，而且提升了問題解答的寬度.

知識準備：

1.函數零點的定義.

一般地，如果函數y=f（x）在實數a處的值等于零，即f（a）=0，則a叫作這個函數的零點.

2.幾個等價關系.

方程f（x）=0有實數根？函數y=f（x）的圖象與x軸有交點？圳函數y=f（x）有零點.

解題方法：

題目：已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是（）

A.（2，+∞）? ? B.（1，+∞）? ?C.（-∞，-2）? ?D.（-∞，-1）

解法一：一個函數討論畫圖象.

函數y=f（x）的零點，即y=f（x）函數的圖象與x軸交點的橫坐標.因此，求函數的零點問題可轉化為函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標.

f '（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）.

①a=0時，f（x）=-3x2+1，易知舍去.

②a>0時，f（x）=0則x1=0，x2 =

由圖象可知函數f（x）存在負數零點，此時不滿足題意.

③a<0時，

由圖可知函數f（x）的極大值為f（0）=1>0，所以只需f（x）的極小值f（）>0，所以a<-2.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2）.

解法二：轉化為方程的根，然后參量變量分離.

函數f（x）的零點，即函數y=f（x）的圖象與軸交點的橫坐標.因此，求函數的零點問題可轉化為方程f（x）=0的根.

轉化為ax3-3x2+1=0有唯一根，且此根為負.a=，設y=（奇函數），y'=

x → 0時，y → -∞.

x → +∞時，y → 0.

由圖可知，a<-2.

解法三：轉化為方程的根，然后化為兩個函數圖象交點個數問題.

函數y=f（x）的零點，即函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標.因此，求函數的零點問題可轉化為y=f（x）函數的圖象與軸x交點的橫坐標，或將方程f（x）=0整理成f1（x）=f2（x）的形式，然后在同一直角坐標系下，畫出函數y=f1（x），y=f2（x）的圖象，交點的橫坐標即為函數f（x）的零點，交點的個數即為函數f（x）的零點個數.

ax3-3x2+1=0，x2（ax-3）+1=0，ax-3=-.

y=ax-3與y=-相切時，斜率為±2，由題意可知a<-2.

歸納說明：化為兩個函數時，選擇曲線對曲線不易控制，選擇直線對曲線相對容易.

比對三種方法，分析哪個方法更適合本題.

變式訓練：

變式（1）已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）有兩個零點，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ?.

變式（2）已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）有三個零點，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? .

變式（3）已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）在區間[0，2]上有兩個零點，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ?.

首先用上述的第一種方法解決三個變式

變式（1）

①a=0時可以，

②a>0且f（）=0，

③a<0且f（）=0，

∴a為2或-2或0.

變式（2）

①a>0且f（）<0，

②a<0且f（）>0，

∴-2

變式（3）

a>0，f（0）≥0，f（2）≥0，f（）<0，

∴

用上述另外兩種方法解決三個變式，分析哪方法更恰當.

變式（4）已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若x>0，f（x）>0恒成立，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

首先用上面的第一種方法解決，

①a=0舍去，

②a>0且f（）>0，

③a<0舍去，

∴a>2.

用另外兩種方法解決，分析哪個方法更恰當.

變式（5）（高考題）當x∈[-2，1]時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（? ?）

A.[-2，-3]? ? ?B.[-6，]? ? ? C.[-6，-2]? ? ?D.[-4，-3]

當x=0時，a∈R，成立.

當0

在00，故y在[0，1]上遞增.

∴ymax=-6，∴a≥-6.

當-2≤x<0時，a≤，同理可知，

∴a≤-2.

綜上所述，-6≤a≤-2.

對于本題，若是從“求函數f（x）=ax3-x2+4x+3（-2≤x≤1）的最小值”角度求解將很麻煩，例題本身求導之后可以因式分解，用最值法容易解決，所以解題需要合理的方法.

變式（6）（高考題）當a<時， 關于x的不等式（ex-a）x-ex+2a<0的解集中有且只有兩個整數解，則實數a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

轉化為（x-1）ex

-3a>-2e-1-3e-2≥-4a，∴≤a<

歸納說明：將問題轉化為兩個函數更為恰當，隱直線的挖掘，進而化為直對曲..

歸納總結：

解決函數零點問題主要依賴數形結合，可以直接用一個函數討論畫圖象，也可以參變量分離，又可以化為兩曲線（兩函數）討論畫圖象，無論選擇哪種辦法都依賴于圖象，正所謂“數形結合百般好，隔離分家萬事休”.我們可以從體會更深刻的數學轉化思想.