方程的兩個根的和差積商的上下界

華南農業大學數學與信息學院 黃一德 田秀蓉

一、主要結果

我們把本文的主要結果寫成一個定理。

（一）定理

（二）不等式（1）的證明

證明不等式（1），需要用到下面幾條事實。

當0＜t＜1時，

e（1-t）＜e1-t，

2-t＜e1-t。

這些不等式可以直接證明，也可以參考文獻 [2] 的5.3節不等式1，18，40，41。

四次多項式

p1（t）=（e-2）+（3e-2）t-3et2+et3-2et4

有兩個實數根：

r'1=-0.1023，r1=0.7658

和一對共軛復根：

-0.0818-1.2962i，-0.0818+1.2962i。

當r'1＜t＜r1時，p1（t）＞0。

六次多項式

p2（t）=3e-8+（6e-8）t-11et2+8et3-7et4+2et5-et6

有兩個實數根：

r'2=-0.0175，r2=0.3591

和兩對共軛復根：

0.7229-1.3983i，0.7229+1.3983i；

0.1063-1.9087i，0.1063+1.9087i。

當r'2＜t＜r2時，p2（t）＞0。

三次多項式

p3（t）=-1+4t-4t2+2t3

有一個實數根：

r3=0.3522

和一對共軛復根：

0.8239+0.8607i，0.8239-0.8607i。

當t＞r3時，p3（t）＞0。

五次多項式

p4（t）=-4+19t-21t2+15t3-6t4+t5

有一個實數根：

r4=0.2832

和兩對共軛復根：

0.5296-1.4198i，0.5296+1.4198i；

2.3289-0.8534i，2.3289+0.8534i。

當t＞r4時，p4（t）＞0。

我們不需要知道多項式p1（t），p2（t），p3（t），p4（t）的根的準確值，只需要知道r'1＜r'2＜0＜r4＜r3＜r2＜r1就夠了。

令x1=et，0＜t＜1，那么a=e-tt，上條不等式可以改寫為：

下面證明當0＜t＜1時，F'（t）＜0，即證明F1（t）＞0。

情形1：0＜t＜r2，

因此，在[r3，1]上F1（t）是減函數，從而當r3≤t＜1時，F1（t）＞F1（1）=0。

上面證明了當0＜t＜1時，F'（t）＜0，所以在區間（0，1）上，F（t）是減函數，從而當0＜t＜1時，F（t）＞F（1）=0。

所以在區間（0，1）上，f（t）是減函數，從而當0＜t＜1時，f（t）＞f（1）=0。

（四）不等式（3）的證明

把δ作用于不等式（1）的不等號兩邊，再開平方，即得不等式（3）。

（五）不等式（4）的證明

因為函數θ（x）=eax，x∈（-∞，+∞）是增函數，所以把θ作用于不等式（3）的不等號兩邊，即得不等式（4）。

二、對主要結果的簡略補充

（1）x2-x1的上下界還有

但不等式（3）的最弱的上下界都分別比這個上下界強。

（2）x1x2和x1+x2的大小有如下關系：

利用這個不等式，可以從x1+x2的上下界得到x1x2的上下界，或從x1x2的上下界得到x1+x2的上下界。但經驗證，這種方法對定理的結果幾乎沒有改進作用，因此本文不詳細討論這個不等式。唯一略有改進的地方是，從不等式（2）的下界可得x1x2的一個新下界：

僅當a＜0.0747486400610507時，

即僅當此時，這個新下界比不等式（1）的下界好。