配方法應用攻略

江蘇省揚州市田家炳實驗中學 宋 揚

數學中的配方法通常是指將一個式子或式子的部分化成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，是一種重要的恒等變形，其作用在于利用完全平方式的非負性挖掘問題的隱含條件，揭示內在的本質聯系，體現了一種“化歸”的思想，為解決問題開辟了新境界，提供了新途徑。

配方法主要來自一元二次方程求根公式的推導以及二次函數(拋物線)的頂點式，其應用已經滲透到數學的方方面面，無論是代數的五大板塊(數、式、方程、不等式、函數)，還是幾何圖形等問題，都可能用到配方法。在應用方式上有較大的靈活性，拓展空間非常廣闊，從一元到多元，從二次式到一般解析式，都可以遷移或綜合運用。從實際需要出發，不必限于整體的配方，有時可考慮局部配方。配方類型大致可分為普通型(含拆添配湊)、組合型、構造型、綜合型，形式多樣，不拘一格。配方法應用的總體策略是：以配方法為思維導向，根據問題的數學表達式的特征(或特點)采用相應的對策，選擇合適的配方，實施有效轉化，讓問題最終解決。具體對策分別列于以下各題之后。

一、用于簡化復雜的計算

類型對策：先配方，然后代入。

二、用于整數性質的研究

例2 ：若一個正整數a恰好等于某一個正整數b的平方，則稱a為一個完全平方數。設a=20192+20192×20202+20202，試證a是一個完全平方數。

類型對策：設元，將整體配方，配成完全平方式。

三、用于求代數式的值

類型對策：將配方法拓展到分式，綜合運用了倒數法和配方法。

四、用于比較兩個式子(值)的大小

思路點睛：可采用作差比較法列式(組合型)，然后配方求解。

五、用于因式分解

例6：在實數范圍內分解因式：a4+1。

思路點睛：可添項，配成平方差，然后運用平方差公式。

六、用于探求二次多項式(含多元)的最值

思路點睛：可采用主元法，分兩步配方，或用根的判別式結合配方法求解。

七、用于解多元方程(組)或不等式(組)

八、在不等式（含條件不等式）證明中的應用

類型對策：構造型。本題利用轉換等價命題構造完全平方式，然后在推理過程中使用配方法，配成平方和。

九、對可化為一元二次函數問題的應用

類型對策：先建立相應的二次函數，然后配成頂點式。

十、在幾何圖形問題中的應用

思路點睛：先移項、拆項，然后配成平方和。（答案為等腰直角三角形）

十一、與因式分解、解方程等知識點的綜合運用