談三角變換中的方法與技巧

江門職業技術學院 陳洪新

在進行三角恒等式的證明時，通常大家熟知的是“從較繁的一端變形到較簡單的另一端”“兩端變形為同一式子”等這些基本的方法，除此之外，如“作差比較法”“作商比較法”“交叉相乘法”“定義法”“分析法”等都不失為一些好方法。本文就這些方法的使用做以簡要的介紹。

此處僅以一例說明“作差比較法”“作商比較法”“交叉相乘法”“定義法”“分析法”的運用。在具體實施三角恒等式的證明時，還需用到一些重要的方法和技巧，如“變角法”“減函法”“降次、升次法”等。

一、變角法

在三角變換中，變角法是最基本的方法，此法通常是將不同的角化為同角后，再進行求解。但有時卻是反其道而行之的（如例4的證法2），再者，變角的方式也是靈活多樣的（如例3的證法2）。

注意：此證法中用到了倍角的余弦公式的變用（即cos4x=2cos22x-1）這一技巧。

此題可利用兩角差的正切公式將半角化為單角來解，也可將單角轉化為半角問題來解決。

證法1：

二、減函法

減函法，顧名思義，就是將式子中的函數名盡可能減少，通常做法是將式中的正切、余切、正割、余割轉化為正弦、余弦來處理，但具體情況還得具體分析（如例4的證法2），例7則是采用了相反的思路來處理。

此題中有正切、正弦和余弦，且有四種不同的角，情況較為復雜，可采用“先角后函”的方法求證。不過此處的變角有些特殊，其是由簡單的角變為復雜的角，變函也是由正弦、余弦變為正切。

在“變角法”和“減函法”兩種方法中，一般優先采用“先角后函”（如例7），但也不能一味拘泥于此，如例8，則用“先函后角”的方法要更簡便。

此題若用“先角后函”，需先展開tan(α-β)，過程煩瑣，而用“先函后角”則較為簡便。

三、降次、升次法

在三角變換中，降次、升次法的使用是比較重要的方法，盡管以降次法為主，但有時升次更能使問題得到較好的解決，常用諸如同角三角函數中的平方關系及倍角的余弦公式等來降次或升次，以起到化難為易的效果。

此題借助積化和差與和差化積公式、倍角的余弦公式，運用了變角法及升次法。

以上所述的變角法、減函法和降次、升次法可以說是三角變換中最常用的手段，也是較為基本的方法。在三角變換過程中，切記不可形成一種固定思維，要根據式子的具體情況靈活運用。