Rayleigh波作用下飽和海床土中管樁豎向動力特性研究

牛曉波， 章 敏,2,3， 趙倉龍

(1. 太原理工大學 土木工程學院,太原 030024; 2. 華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲工程研究中心,南昌 330013; 3. 浙江大學 建筑工程學院,杭州 310058)

在大部分淺源地震中，Rayleigh波(以下簡稱為R波)往往攜帶著絕大部分地震能量，引起土層豎向和水平運動，是造成建筑物破壞的主要波型。在全球范圍內發生的地震中，如唐山、汶川、智利和海地大地震等，許多結構存在豎向地震破壞的跡象。在高烈度區，尤其是震中區，豎向地震力的作用非常明顯。當前，我國正大力發展海洋能源的開發利用，其中相當一部分近海海洋工程建設在地震活躍的環太平洋地震帶上，其安全性易受到地震威脅。對于海上樁承結構，如海上風機和鉆井平臺等，自振周期相對較長，加之樁頂作用較大的集中質量，強烈的豎向地震通過高幅值的拉壓作用可能造成樁基礎的豎向承載力和剛度快速退化，進而引發結構破壞。《建筑結構抗震設計規范》規定8度、9度區大跨度和長懸臂結構及9度區的高層建筑，應考慮豎向地震作用。

Tan[1]采用有限元法對流體-飽和半空間中R波的傳播特性進行了研究。Sharma等[2]研究了流體層-飽和多孔介質中R波的頻散特性，探討了海水深度對相速度的影響。Kumar等[3-4]針對飽和土存在上覆均質和非均質雙流體層時R波的頻散問題進行了研究。Albers[5]基于簡單混合物理論，發現土-水分界面在不同滲透性下存在漏Rayleigh波，漏Stoneley波和真Rayleigh波三類面波。Pal等[6]針對流體層-砂層-飽和半空間土地基中R波的頻散特性進行了分析。Paul等[7]研究了非均質流體-砂土-飽和土-彈性土四層海洋地層模型中R波的傳播特性。夏唐代等[8]基于耦合的解析法和有限元法，討論了流體-固體介質中R波的傳播規律，并與Stoneley波進行了對比。最近，仇浩淼等[9]基于Biot波動理論和等效流體模型，研究了流體-準飽和多孔介質界面Scholte波的傳播特性。

對于彈性波作用下樁的豎向振動問題，Makris[10]發現R波作用下垂直運動的樁土位移差遠大于水平運動。Kaynia等[11]基于Green函數，對樁-土-樁相互作用進行了分析，討論了地震作用下樁的運動和慣性效應對樁基受力的影響。Lu等[12]基于虛擬樁法，研究了R波作用下樁頂集中質量的重力和慣性效應對單樁動力響應的影響。王海東等[13-14]和柯瀚等[15]基于 Novak 薄層法，討論了R波作用下樁底支承條件和地基成層性對樁土豎向共同作用的影響。總的說來，目前有關R波作用下單樁豎向動力響應的研究主要局限于陸地情況，而對海洋環境中的此類問題，尚不夠深入。

鑒于以上背景，本文基于流體-飽和兩相介質地層模型，研究了R波作用下飽和海床土中管樁豎向動力響應，并就流體層厚度以及管樁尺寸等參數的影響進行了討論。

1 計算模型與基本假定

圖1為R波作用下飽和海床土中管樁豎向振動計算模型。其中上覆流體層厚度為Hw，管樁為摩擦樁，內外半徑分別為r2和r1，壁厚t=r1-r2，樁長為L，將上部結構簡化為樁頂集中質量m。坐標系原點取海床面鋼管樁的圓心，z軸向下取正。

圖1 計算模型Fig.1 The computing model

以下分析中引入如下假定：①海床土為均質、各向同性的飽和兩相彈性介質；②海水為不可壓縮、無黏性的理想流體，表面為自由邊界，海床面為完全透水邊界；③樁土振動為小變形，樁土接觸面始終保持接觸，不發生滑移和脫離，即樁土接觸面的位移、應力連續，樁土接觸面不透水； ④管樁簡化為彈性、圓形均質空心桿，按一維桿件處理。

2 邊界條件

2.1 管樁邊界條件

(1)樁頂邊界條件：將上部結構簡化成質量為m的樁頂集中荷載，即

(1)

(2)樁端邊界條件：考慮到R波有效傳播深度大概為波長的1.5～2.5倍左右，且海上結構的鋼管樁一般較長，很難接觸到基巖，及鋼管樁自身的橫截面積小，樁端土作用力可以忽略不計，故此處將樁端假定為軸力為0的自由端，即

(2)

2.2 海水層邊界及連續性條件

海水表面的動水壓力為零，海床面處法向有效應力、切應力為零，且孔隙水壓力、位移連續性，即

Pw(z=-Hw)=0

(3a)

τxz(z=0)=0

(3b)

Pf(z=0)=Pw(z=0)

(3c)

σz(z=0)=0

(3d)

uwz=uz+wz

(3e)

式中:Pw為海水動水壓力;τxz為土層切應力;σz為土層有效應力;Hw為海水層厚度;uwz為海水豎向位移;uz為土骨架的豎向位移;wz為孔隙水的相對豎向位移。

3 方程的建立及求解

3.1 流體控制方程的求解

將海水視為不可壓縮的無黏性理想流體，其運動狀態可由以下Laplace方程描述

(4a)

(4b)

式中：uw為海水的矢量位移;α=1 500 m/s為水中聲波波速。

(5)

Pw=[Qexp(kβz)+Pexp(-kβz)]exp(ikx-iωt)

(6)

對于以下簡諧振動，推導中均略去時間因子eiωt。將式(6)代入式(4b)，同時引入流體勢函數φ0，可求得海水的豎向位移uwz為

(7)

式中，φ0=(Qexp(kβz)+Pexp(-kβz))exp(-ikx)。

3.2 R波作用下自由場動力響應

將海床地基視為飽和兩相彈性介質，采用Biot波動方程描述其動力特性；參照文獻[16]的推導方法，引入固相以及流相勢函數，對方程兩邊分別進行散度和旋度計算，可得

(8b)

非零解，則系數行列式為0，則可得4個壓縮波波數kp的解。由于R波沿深度和傳播方向存在衰減，須滿足imag(kp)<0。據此，可篩選出滿足條件的2個壓縮波波數；即可獲得同一壓縮波下φs與φf滿足的關系

φf=E1φs

(9a)

φf=E2φs

(9b)

存在非零解，則系數行列式為0，即得到的1個剪切波波數ks，僅imag(kp)<0滿足條件R波沿深度的衰減性；即可獲得ψs與ψf滿足的關系

ψf=F1ψs

(10)

即Rayleigh波勢函數可表示為

uz=-s1A1exp(-s1z-ikx)-s2A2exp(-s2z-ikx)-

ikC1exp(-γz-ikx)

(12a)

wz=-s1A1E1exp(-s1z-ikx)-s2A2E2exp(-s2z-ikx)-

ikC1F1exp(-γz-ikx)

(12b)

對于軸對稱問題，飽和土中的物理方程為

(13a)

(13b)

pf=-αMe-Mζ

(13c)

將式(12)分別代入式(13a)～式(13c)，可得正應力、剪應力以及孔隙水壓力分別為

(14a)

(14b)

(14c)

將以上三式代入邊界條件式(3a)～式(3e)，可得

(15)

為使上述奇次方程存在非零解，系數矩陣的行列式應為0，可求得飽和土中R波波數k。由于R波的衰減特性，要求imag(k)<0，real(s)>0，real(γ)>0，據此可篩選出滿足條件的R波波數。

3.3 管樁豎向振動響應

參照王海東等的推導方法，可得樁周土和樁芯土的豎向動阻抗Cs1,Cs2分別為

Cs1=2πr1GhK1(hr1)/K0(hr1)

(16a)

Cs2=2πr2GhI1(hr2)/I0(hr2)

(16b)

根據式(12)，樁周(芯)土的豎向平均位移us為

us|x=r1/r2=(1-n)uz+nWz=uz+n(Wz-uz)=

uz+wz

(17)

式中:wz為孔隙水相對于土骨架的豎向位移;uz,Wz分別為土骨架以及孔隙水的豎向絕對位移。飽和土作為兩相混合介質，其豎向平均位移實際為土骨架和孔隙水兩者豎向位移的體積平均。

對于大直徑鋼管樁，考慮其豎向振動下的橫向慣性效應，則樁的豎向振動微分方程為

Cs2(us2-up)=0

(18)

式中，us1,us2分別為樁周土和樁芯土豎向平均位移。

上述方程可整理得

(19)

上述方程的通解為

(20)

式中，A,B為由邊界條件確定的待定系數。

令其特解為

(21)

將式(21)代入式(19)，可得

(22a)

(22b)

(22c)

故式(19)的解

up=Aexp(Λz)+Bexp(-Λz)+Cexp(-s1z)+

Dexp(-s2z)+Sexp(-γz)

(23)

根據邊界條件式(1)和式(2)，可得

(ΛJ+mω2)A+(mω2-ΛJ)B=(s1J-mω2)C+

(s2J-mω2)D+(γJ-mω2)S

(24a)

AΛexp(ΛL)-BΛexp(-ΛL)=Cs1exp(-s1L)+

Ds2exp(-s2L)+Sγexp(-γL)

(24b)

聯立以上兩式，可求得系數A,B的值，則管樁豎向位移可最終表示為

up=Aexp(Λz)+Bexp(-Λz)+Cexp(-s1z)+

Dexp(-s2z)+Sexp(-γz)

(25)

4 算例分析

4.1 解的退化驗證

為驗證上述理論推導的正確性，將本文結果與Tan的結果進行對比；同時令上覆海水厚度Hw=0.01 m，r2=0.01 m，將流體-半空間模型退化到半空間土中實心樁的情況，將本文結果與Lu等的結果進行對比。其中，Tan研究中的地基土參數：土層參數為ρs=1 000 kg/m3，ρw=1 000 kg/m3，Ks=36 GPa，Kf=2.1 GPa，n=0.3，μ=0.25，G0=10 MPa，kd=10-4m/s；海水深度Hw=375 m；頻率f=1 Hz，m=0.01 kg。圖2為R波作用下上覆流體層以及土體水平、豎向位移隨深度的分布曲線。Lu等研究中的地基土參數：土層參數為ρs=2 700 kg/m3，Ks=36 GPa，Kf=2.1 GPa，n=0.3，l=0.05，G0=10 MPa，kd=10-4m/s；實心樁參數為r1=0.5 m，L=40 m ；其他參數為f=5 Hz，Ff=1 000 kN，其中Ff為樁頂集中力。圖3為樁身軸力隨深度的分布，并與Lu等的結果進行對比。

從對比結果來看，圖2的差異可能來自于地基土模型，原文為流體-單相土模型，海床面孔壓不連續，而本文采用流體-飽和土模型，能反映土-水分界面處水壓與孔壓的連續性，結果更為合理。圖3樁身最大軸力與對比文獻存在一定差異，但規律基本一致。圖3的差異可能來自于計算方法的不同，原文基于三維Green函數，而本文基于Winkler 地基梁模型。總的說來，以上對比基本驗證了本文理論推導的正確性。

圖2 流體-半空間土水平及豎向位移的對比Fig.2 The comparison of horizontal and vertical displacement of fluid fluid half space

圖3 樁身軸力的對比Fig.3 The comparison of the axial force of the pile

4.2 參數分析

以下就不同參數對管樁豎向動力響應的影響進行討論。其中，樁周土與樁芯土的參數一致，且考慮到海洋工程大多屬于高聳結構，一階共振頻率往往較小，高階振動衰減較快，以下分析中取頻率f=2 Hz。若無特殊說明，計算參數如下：海水層參數為Hw=10 m，ρw=1 000 kg/m3，Kf=2.1 GPa；海床土參數為n=0.3，μ=0.25，Ks=36 GPa，ρs=2 000 kg/m3，l=0.05，G0=10 MPa，kd=10-4m/s；鋼管樁參數為r1=2 m，r2=1.96 m，L=30 m，ρp=7 900 kg/m3，Ep=210 GPa；其他參數為f=2 Hz，m=150 t。

圖4為不同海水厚度下海水-海床土豎向位移沿深度的分布。圖中z=0為海床面，橫軸為豎向位移Up/A1，其中A1為固相的旋轉勢函數幅值(見式(19))。從圖中可以看出，在同一流體厚度下，隨著深度的增加，流體層豎向位移實部及虛部均逐漸增大，土層豎向位移實部在海床面附近達到峰值，并沿著土層深度最終趨于0，而虛部則沿深度持續減小，其大小遠小于實部。值得說明的是，流體層位移分布規律受飽和土密度的影響較大。如圖2所示，當土骨架密度為1 000 kg/m3時(Tan研究中的參數)，流體層豎向位移隨著深度的增加逐漸減小，曲線斜率在海床面處存在不連續，而對于本算例(土骨架密度為2 000 kg/m3)，流體層豎向位移隨著深度的增加而增大，曲線則光滑連續。其隨著流體層厚度的增加，流體層和土層的位移均呈現出減小的趨勢，流體層表面豎向位移則逐漸趨近于0，海床面附近的土體位移峰值的位置略有上移。圖4(a)中的附圖進一步給出了海床表面豎向位移隨流體層厚度的變化。從圖中可看出， 隨著流體層厚度Hw的增加，海床表面豎向位移逐漸減小，當Hw超過10 m時，則基本保持不變。這主要是由于R波在傳播過程中部分能量將向海水中耗散，從而導致海底豎向地震響應減小。

圖4 海水厚度對海水-海床土豎向位移的影響Fig.4 The effect of seawater thickness on vertical displacement of fluid-soil

圖5為不同海水厚度下動水壓力及孔隙水壓隨深度的分布。由圖可知，在同一流體厚度下，流體動水壓力朝海水面方向逐漸降低，而流體厚度的變化對土層孔隙水壓力的影響很小。局部放大圖可進一步得知，土體孔隙水壓力在海床表面以下0.4 m處達到峰值，朝海床面方向，則急劇減小至海水動壓力，沿土體深度方向則逐漸減低，大致在海床面以下30 m處降至0。圖6為不同水深處動水壓力隨頻率的變化。由圖可知，隨著頻率的增加，動水壓力先增大至峰值，后逐漸減小至0；且隨著與海床面距離的減小，其峰值及衰減至0時的頻率均隨之增大。

圖5 海水厚度對動水壓力及孔隙水壓的影響Fig.5 The effect of seawater thickness on hydrodynamic pressure and pore water pressure

圖6 不同水深處動水壓力隨頻率的變化Fig.6 The variation of hydrodynamic pressure with frequency at different water depths

圖7為不同樁長下樁頂豎向位移隨海水厚度的變化。可知，隨著海水厚度和樁長的增加，樁頂位移逐漸減小，當海水層厚度超過10 m時，位移不再變化。由于鋼管樁剛度較大，樁身位移主要由樁端土壓縮引起，本身的壓縮變形很小，即樁頂與樁底的位移相差很小。圖8為樁頂位移隨樁徑的變化，其中管樁壁厚t=40 mm。由圖可知，隨著樁徑的增加，樁頂位移逐漸減小，尤其是樁頂集中質量m較大時，降幅尤為明顯。但隨著管徑的進一步增大，樁頂質量的影響逐漸減弱，不同m下的位移最終趨于同一數值。

圖7 海水厚度對樁頂豎向位移的影響Fig.7 The effect of seawater thickness on vertical displacement of pile top

圖8 樁頂豎向位移隨管樁樁徑的變化Fig.8 The variation of vertical displacement of pile top with the diameter of pipe pile

圖9(a)和圖9(b)分別為不同樁長及土體剪切模量對樁側摩阻力的影響。由圖9(a)可知，在海床面附近，樁側摩阻力存在一峰值，且樁長越長，數值越小。此后，隨著深度的增加，樁側摩阻力逐漸減小。試算發現，管樁內壁摩阻力僅為外側的1/10，基本可忽略不計。由圖9(b)可知，在海床面以下2.5倍波長范圍內(從圖18(a)中得知波長為12 m左右)，樁側摩阻力隨土體剪切模量的增大而減小；當深度超過2.5倍波長時，土體剪切模量的影響很小，摩阻力分布曲線基本重合。圖10為不同海水層厚度下樁土豎向位移差隨深度的分布。可如，隨著海水層厚度的增加，位移差整體減小，但影響逐漸減弱。

圖11和圖12分別為不同管樁壁厚下樁身軸力和豎向位移隨深度的分布。由圖11可知，隨著深度的增加，管樁軸力呈現出先增大后減小的趨勢。管樁壁厚對樁身軸力的影響很小，僅在軸力峰值處，隨著壁厚的增加而有所增加。當增加樁頂集中質量時，樁身中上部軸力相應增加。由圖12可知，管壁越薄，即管樁的軸向剛度越小，樁頂與樁底的位移差越大。此外，樁頂集中質量的存在，使樁身位移整體增大。圖13進一步給出了樁頂位移隨管樁壁厚的變化，其中管樁外徑r1為2 m。由圖可知，隨著壁厚的增加，樁頂位移逐漸減小，超過50 mm后則基本保持不變，且樁頂集中質量越大，壁厚對樁頂位移的影響相對越明顯。

圖14(a)和圖14(b)分別為不同樁徑和樁長條件下樁身軸力隨深度的分布。由圖14(a)可知，隨著樁徑的增加，同一深度處管樁軸力逐漸增大。圖14(b)可以發現，樁長越長，管樁軸力越大，軸力峰值位置逐漸下移，而不同樁徑對應的峰值位置則基本相同。

圖9 樁側摩阻力隨深度的分布Fig.9 The distribution of pile side friction with depth

圖10 海水厚度對樁土位移差的影響Fig.10 The effect of seawater thickness on displacement difference between seabed soil and pile

圖11 管樁壁厚對樁身軸力的影響Fig.11 The effect of pipe pile wall thickness on axial force of pile body

圖12 管樁壁厚對樁身豎向位移的影響Fig.12 The effect of pipe pile wall thickness on vertical displacement of pile body

圖14 樁身軸力隨深度的分布Fig.14 The distribution of axial force of pile shaft with depth

圖15(a)和圖15(b)分別為橫向慣性效應(主要體現在樁的泊松比上)對混凝土實心樁和鋼管樁樁頂豎向位移的影響。其中圖15(a)的計算參數為：半徑r=1 m，樁長L=15 m，密度ρp=2 500 kg/m3，彈性模量Ep=1 000Es。由圖可知，頻率f<400 Hz時，不同泊松比所對應的曲線基本重合，即泊松比對樁頂位移基本不產生影響；當頻率f>400 Hz時，泊松比的影響開始顯現，表現為泊松比越大，樁頂位移越大，但隨著頻率的進一步增大，其差異又逐漸減小。而對于鋼管樁(見圖15(b))，在整個頻率范圍內，不同泊松比所對應的曲線幾乎完全重合。這主要是因為鋼管樁的彈性模量遠大于混凝土，泊松比的影響比重很小。

圖16不同深度處海床土豎向位移隨頻率的變化規律，其中圖16(a)右縱軸中λ為R波波長。由圖可知，隨著頻率的增加，土體豎向位移的實部和虛部均先增大后減小，并最終趨于0；且深度越大，衰減速率也越快。這反映了R波作為面波在深度方向的衰減性。同時圖16(a)還給出了R波波長隨頻率的變化曲線。可知，波長隨頻率的增加逐漸降低，超過75 Hz后基本衰減為0。此外，圖中也可看出，對于某一深度，如z=5 m，土體位移衰減至0所對應的頻率約為30 Hz，該頻率所對應的波長為2 m左右，即R波的有效傳播深度約為2.5倍波長，高于單相彈性介質中1.5倍波長，其他3個位置的比例系數也大致在2.5左右。這表明飽和兩相地基中R波的影響深度明顯高于單相彈性地基。

圖15 樁頂位移隨頻率的變化Fig.15 The variation of pile top displacement with frequency

圖16 海床土豎向位移隨頻率的變化Fig.16 The variation of vertical displacement of saturated soil with frequency at different positions

圖17為不同土體孔隙率下海床面豎向位移隨滲透系數的變化。由圖可知，位移實部在kd小于一定值時保持不變，當大于其值時，則隨著kd的增加逐漸減小并趨于穩定；而虛部在整個滲透系數范圍內出現了一次上下波動，并趨于穩定。孔隙率在頻率較高時(f=10 Hz)對位移的影響較大，表現為，隨著孔隙率的增加，位移實部逐漸減小，而位移虛部的影響主要體現在曲線的波動峰值區域。

圖17 海床面豎向位移隨滲透系數的變化Fig.17 The effect of Darcy′s permeability coefficient on vertical displacement of seabed surface

5 結 論

本文圍繞Rayleigh波作用下飽和海床中管樁的豎向動力響應進行研究，通過算例分析，得到了如下結論：

(1)隨流體層厚度的增加，海床及管樁豎向位移均逐漸減小，當流體層厚度超過10 m，則基本保持不變。

(2)動水壓力和海床豎向位移均隨頻率的增加表現為先增大后逐漸降至0的趨勢；且隨著水深位置的增加，動水壓力峰值及衰減至0時的頻率均隨之增大。

(3)隨著樁徑的增大，不同樁頂質量下的管樁豎向位移逐漸減小，最終趨于同一數值。

(4)橫向慣性效應對于大直徑混凝土樁的高頻振動存在一定影響，而對于鋼管樁則基本可以忽略。