對中缺陷對拉桿組合轉子的動力學影響

張海波， 王奇丹， 劉 意， 劉 恒， 戚社苗

(1. 武漢船用電力推進裝置研究所，武漢 430064； 2.西安交通大學 潤滑理論及軸承研究所，西安 710049； 3. 西安交通大學 現代設計及轉子軸承系統教育部重點實驗室，西安 710049)

盤式拉桿組合轉子是重型燃氣輪機、航空發動機等動力裝備的核心部件，周向拉桿轉子是是其中較為常見的組合式拉桿轉子[1]，各輪盤通過拉桿預緊力組合而成。為了確保轉子具有令人滿意的旋轉精度，所有輪盤必須具有足夠精度的同軸度公差。因此，對這些輪盤的對中缺陷控制非常嚴格。

例如，從圖1中可以看出M701F燃氣輪機的壓縮機轉子具有17個輪盤，其同軸度由徑向定位表面保證。其中：‘○A ’為加工基準面；‘◎’為同軸度公差；‘Φ’為直徑。不難看出，輪盤12的徑向定位表面的同軸度公差設計為10 μm，所有其他輪盤都具有與其一樣的公差。因此，輪盤的對中缺陷應該小于這個值。

這一精度要求明顯要高于對應的整體鍛造的汽輪機轉子。為什么拉桿轉子對輪盤的同軸度公差要求更高。如果目前的對中缺陷超過其設計值，是否有一種行之有效的方法來減少其對轉子動態特性的不利影響。目前國內外對拉桿組合式轉子的研究，多集中于拉桿預緊力的選取原則及對轉子動力學特性的影響[2-3]，較少涉及缺陷對轉子動力學特性的影響。本文將從三維轉子動力學的角度研究這些問題[4]。為了獲得準確的結果，需要建立具有對中缺陷的三維拉桿轉子模型。傳統的模型，如剛性轉子模型[5]和柔性轉子模型[6-9]對于研究轉子的動態特性非常重要。然而，這些簡化模型的假設非常理想化，忽略了許多結構細節，例如凹槽，凸臺以及缺陷等。為此，本文提出了復雜結構轉子的三維有限元建模[10]。

除此以外，還應該對拉桿轉子進行靜動聯合分析，因為拉桿具有較大的預緊力，當存在對中缺陷時，拉桿非均勻的大變形可能對造成轉子的不平衡。

圖1 M701F燃氣輪機中的壓縮機轉子和輪盤12的同軸度公差(mm)Fig.1 Compressor rotor in M701F gas turbine rotor and centration tolerance in the 12st disk (mm)

本文在拉桿轉子模型中加入了輪盤的對中缺陷，通過考慮表面接觸的3D 有限元分析方法獲得了其靜力學特性[11-12]。在考慮動態平衡的情況下，使用牛頓迭代法及其預測校正方法[13-14]研究了含缺陷轉子的穩定性和振動特性。本文對比了拉桿轉子和整體轉子之間的渦動及對中缺陷所造成的影響，還提出了拉桿非均勻預緊方法以減少對中缺陷對轉子平衡的不利影響。

1 含對中缺陷拉桿轉子的靜態特性

圖2是一個典型的拉桿轉子，具有M701F燃氣輪機中壓縮機轉子的基本結構特征。該轉子并不是一根連續的軸，而是由三個輪盤通過其徑向定位面配合組裝而成，最后由12根軸對稱排列的拉桿預緊固定。其中每個拉桿都具有相同的直徑和預緊力。軸向裝配表面確保了三個輪盤之間具有足夠的接觸緊密度，徑向定位表面則保證了拉桿轉子具有令人滿意的同軸度公差。

首先，拉桿轉子需要通過垂直組裝以避免重力影響，并且拉桿與輪盤的徑向孔需要緊密接觸。組裝完后，用兩個圓柱軸承支撐使轉子水平放置，然后將其加速到7 500 r/min并保持此速度工作。軸承的內圈半徑R、寬度B和徑向間隙c0分別為40 mm，80 mm和0.2 mm，潤滑油的黏度μ為0.018 2 Pa·s。

圖2 典型的拉桿轉子系統結構(mm)Fig.2 Structure of classic bolt-disk rotor system(mm)

1.1 靜力模型和計算方法

輪盤的對中缺陷如圖3所示。中間輪盤包含左凹槽和右凸起結構，由于加工精度不足，輪盤‘b’的Ω1部分的中心孔軸線從設計中心O偏離至實際中心O1。O和O1之間的偏差距離即中心孔同軸度偏差為10 μm。本文假設輪盤‘b’的另一部分Ω2在制造中不存在明顯缺陷。此外，另外兩個輪盤也假設不存在加工缺陷。

為了使裝配完成后轉子能達到足夠的旋轉精度，徑向定位表面的組裝精度要求非常高。而實際操作中由于輪盤‘b’和另外兩個輪盤之間產生了未對準現象(10 μm)，拉桿轉子便產生了對中缺陷。

除徑向定位表面之外，該轉子中還存在其他三種類型的接觸表面：①輪盤與輪盤之間的接觸表面；②拉桿的端面與輪盤之間的接觸表面；③拉桿表面和輪盤徑向孔之間的接觸表面。

圖3 對中缺陷示意圖Fig.3 Description of centration defect

輪盤‘b’的靜態模型由存在加工缺陷的Ω1和不存在加工缺陷的Ω2兩部分組成?？紤]到徑向定位面的偏差距離l，將含缺陷拉桿轉子的剛度矩陣寫為

(1)

式中，B，D和L分別為幾何矩陣、彈性矩陣和坐標變換矩陣。

采用8節點單元對含缺陷的輪盤‘b’'劃分網格，劃分后的3D模型如圖4所示。為了使缺陷顯示的更加明顯，偏差距離在圖4(a)中被放大了800倍。最終，含缺陷的拉桿轉子3D模型總共由26 592個單元組成。

圖4 拉桿轉子盤間對中缺陷的靜態模型Fig.4 Static model of bolt-disk rotor with centration defect among disks

除了軸、輪盤以及拉桿這些零件外，接觸面也必須包含在3D靜態模型中。對于接觸表面來說，他們的共享邊界具有接觸約束h，包括法向分量hn和切向分量ht。

(2)

式中：第一個公式意味著兩個接觸面不能相互穿透；第二個表明法向接觸力pn總是壓力而不是拉力；第三個是補充條件，表明如果pn=0，εn>0，則兩個表面處于分開狀態；如果pn≤0，εn=0，則兩個表面處于接觸狀態。

在切向接觸約束ht,中，εt是兩個接觸面之間的相對切向位移；pt是摩擦力。則ht可以寫為

(3)

式中：兩個方程分別表示靜摩擦和動摩擦的條件；μ為摩擦因數。

對于含缺陷的拉桿轉子，包含接觸勢能的總勢能Π被描述為

(4)

式中：u為位移矢量；F為靜力矢量，包括重力、預緊力和離心力(由于轉速ω引起)；S是由于接觸作用而產生的勢能。

S由懲罰因子Λ和拉格朗日乘子η描述如下

(5)

在完成泰勒展開并只保留一階項之后，可以將接觸約束函數h寫為

(6)

聯立解式(4)～式(6)，當?Π(u,η)/?u=0，可以得到含缺陷的拉桿轉子的三維靜力方程

(7)

式中：KΛ=HTΛH；FΛ=HTΛh0。

由于約束條件會隨著接觸狀態不斷變化，求解上述靜態方程需要使用增量迭代法。

1.2 含缺陷拉桿轉子的靜力學結論

本文通過靜力學計算結果將含缺陷轉子與無缺陷轉子進行比較。 如圖5所示，含缺陷轉子上拉桿存在不均勻的應力分布和彎曲變形(以4號拉桿為例)，而無缺陷轉子上相應拉桿在其拉伸區域具有均勻的應力分布。這是因為當輪盤‘b’的Ω1部分存在偏差時，徑向孔具有向上的位移導致孔的表面被拉桿壓緊。

圖5 無缺陷和含缺陷轉子中4號拉桿的應力和變形(MPa)Fig.5 Stress and deformation of No.4 bolt in both perfect and defective rotors(MPa)

同時如圖6所示，兩個轉子上拉桿和輪盤中心孔之間的接觸表面狀態表明，含缺陷的轉子上拉桿的接觸面積明顯較大。對于無缺陷轉子，由于離心力的作用，拉桿將與輪盤接觸。而對于含缺陷的轉子，除了離心力作用外，一些拉桿由于輪盤‘b’上Ω1部分的偏差而被擠壓產生額外應力。

圖6 無缺陷和含缺陷轉子中4號拉桿表面的接觸狀態Fig.6 Contact status of No.4 bolt surfaces in both perfect and defective rotors

最終結果如圖7所示，拉桿變形將導致含缺陷輪盤的軸向節點偏移Sb。節點‘b’位于輪盤‘b’的軸中心，在裝配過程中，Sb=0.27 μm，徑向定位面偏離導致的質心偏心e=9.22 μm。當轉子加速時，Sb不斷增大并大致遵循指數曲線。在7 500 r/min時，Sb已經達到3.39 μm。

另一方面，無缺陷輪盤的Sb和e幾乎接近于零。 這證明了此模型的計算精度完全足以分析微米數量級的對中缺陷靜態特性。

圖7 含缺陷輪盤的軸向節點位移SbFig.7 Axis-node shift Sb of defective disk

同時也可以觀察到：在裝配過程中，e和Sb一個增大一個減小；而在加速過程中，e和Sb的變化方向是一樣的。

這個現象在圖3中可以找到原因。輪盤‘b’與輪盤‘a’和輪盤‘c’相比具有原始向下位移。所以e的方向也是向下的。但是，由于拉桿與徑向孔之間需要緊密接觸，一些拉桿彎曲變形將輪盤‘b’垂直向上壓，因此Sb也向上移動。最終，e和Sb在組裝過程中就具有了不同的變化方向。

然而，由于Sb(0.27 μm)遠小于e(9.22 μm)，整個轉子的總不平衡方向與轉子加速后的e相同。因此，在加速過程中，Sb的方向將變得與e相同。最終，軸向節點位移Sb使拉桿轉子彎曲為rb=(S1,…,Sb,…,Sk)，其中k為軸向節點的總數。

如圖8所示，在裝配過程中，轉子存在初始彎曲，且在升速后，離心力作用加大，導致轉子彎曲rb進一步增大。

圖8 由于軸節點偏移Sb導致的轉子彎曲rbFig.8 Rotor bow rb due to axis-node shift Sb

2 動力學方程和求解算法

2.1 動力學方程

由于拉桿轉子中具有包括質心偏心率e和轉子彎曲rb在內的不平衡分量，所以3D含缺陷拉桿轉子系統的動力學方程應該把e和rb考慮在內。

由于動力學方程的維數對于3D轉子系統來說非常巨大，因此應該減掉大部分線性自由度并保留所有的非線性自由度。非線性力作用在非線性自由度上面。 則動力學方程可分為線性和非線性兩部分

(8)

式中:下標a和i分別為非線性和線性自由度；g為重力加速度常矢量;MR為轉子的質量矩陣；GR為轉子的陀螺矩陣；fo為油膜力向量。

fo是基于有限差分法計算的[15]。其中圓柱滾子軸承表面被離散化為許多點，總油膜力被認為是每個離散點處流體動壓p0的總和， 而p0由雷諾方程確定

(9)

式中：θ為位置角；hp為油膜的厚度。

此外，引入變換矩陣P來減少原始動力學方程的線性自由度[16]，則3D含缺陷拉桿轉子系統的簡化方程被重寫為

(10)

式中：q=Pu；M0=PTMRP；G0=PTGRP；K0=PTKRP；Q0=PT(KRrb+meω2+g+fo)。

最后，系統總共剩余27個自由度，包括輪盤上具有非線性不平衡力的3個節點自由度、軸承上具有非線性油膜力的2個節點自由度及12個線性本征模。

2.2 求解算法

為了同時獲得位移和速度，引入狀態參數X

(11)

由于e和rb在轉子旋轉時滿足周期特征，所以式(11)的解由式(12)確定

(12)

式中，T為旋轉周期。

當λ等于常數λ0時，根據非線性定義，可以將式(10)轉換為求解式(13)的周期解Xt

H(λ0,X)=X(t+T)-X(t)=0

(13)

這里使用牛頓迭代方法逼近Xt。在對式(13)進行一階泰勒展開之后，H(λ0,X)可由初始值X0和雅可比矩陣?H/?X0描述

(14)

將式(14)代入式(13)，可基于以下牛頓迭代格式求解X

(15)

式中，?H/?X0是由式(16)通過基于初始值I在一個周期內進行積分獲得

(16)

當λ改變時， 式(13)被重寫為H(λ,X)=0。如果得出λ=λn時第n步迭代后的迭代解Xn，則可代入式(17)計算第n+1步的迭代解。

(17)

式中，?H(λ,X)/?λ通過式(18)的積分計算得到

(18)

式中：(?X/?λ)t0=0；(?X/?λ)(t0+T)=?H(λ,X)/?λ。

以式(19)的校正迭代而結束，該迭代基于式(15)來求解Xn+1。

(19)

3 含缺陷的拉桿轉子系統的非線性動力學特征

本文還研究了在具有相同尺寸下，含缺陷拉桿轉子與含缺陷整體轉子之間的特征異同。 整體轉子沒有預緊力，且拉桿轉子上所有的接觸面對整體轉子而言都是固結的，加工缺陷只會導致其質心偏心。

3.1 非線性穩定性

含缺陷的拉桿轉子和整體轉子系統的穩定區域可以類似地分為穩定的T-周期區域，2T-周期區域和準周期區域。

圖9 兩種含缺陷轉子系統的穩定性特征.Fig.9 Stability features for both defective rotor systems

此外還可以觀察到，拉桿轉子的穩定T周期區域遠小于整體轉子的T周期區域。這表明由于對中缺陷導致的轉子彎曲降低了系統穩定性。 而且，隨著轉速的增加，穩定面積大小相差更大。 因為隨著轉子轉速ω不斷上升，拉桿轉子的彎曲變形量rb由于離心力作用不斷增大。

3.2 非線性振動

如圖10(a)所示，兩種含缺陷的轉子系統的振動特性表明兩種轉子系統的臨界速度ωcr都等于4 800 r/min，但拉桿轉子的振幅大于整體轉子的振幅。 所以，轉子彎曲變形量幾乎不會影響系統總剛度，但可以帶來更劇烈的振動。

值得注意的是，在動平衡前，當ω>ωcr時，拉桿轉子系統的振幅起初減小，之后將再次上升。 這是因為ω在不斷增大過程中，轉子彎曲量將不斷增大的緣故。此外，當把動平衡速度設定為臨界速度ωcr時，轉子的平衡作用可以最大限度地限制振幅。而在動平衡之后，當ω超過臨界轉速4 800 r/min時振幅將不斷增加，并且臨界振幅Acr遠小于其他轉速下的振幅A。

如圖10(b)所示，在M701F燃氣輪機轉子的振動中也發現了這一特征，該轉子也是一種拉桿轉子，其平衡速度等于臨界速度2 200 r/min。類似地，2 200 r/min時的轉子振幅遠小于其他速度下的振幅，并且在臨界速度之后其振幅將再次增加。

通過對含缺陷的拉桿轉子的三維動力學模型分析可以找出其原因。當轉子轉速達到ωcr時，其不平衡量為e+rb，為了抑制此時的動不平衡，需要將-(e+rb)ω=ωcr的平衡量添加到含缺陷的轉子系統中。此時系統幅度Acr(ω=ωcr)必定等于0。但當ω不等于ωcr時，Δ(e+rb)=|(e+rb)ω≠ωcr-(e+rb)ω=ωcr|>0，所以其他轉速下的振幅明顯大于Acr。此外，在ω在超過ωcr之后，Δ(e+rb)將隨著ω繼續增大。所以，當ω>ωcr時，振動幅度會再次增加。

圖10 兩種含缺陷的轉子系統和M701F燃氣輪機轉子的振幅Fig.10 Vibration for both defective rotor systems and M701F gas turbine rotor

另一方面，在將恒定平衡量e添加到含缺陷的整體轉子中之后，平衡轉子的質心偏心及振幅必定等于0。

這種特殊現象說明了為什么拉桿轉子中的輪盤對中心精度要求高于整體轉子。 在設計這種拉桿轉子時，應該對對中缺陷特別注意。

3.3 旋轉特性

本文這部分比較了兩種含缺陷轉子的非線性旋轉特性。如圖9所示，在ωP= 8 280 r/min和ωP′= 7 940 r/min時，當ω超過ωP和ωP′時，含缺陷的拉桿轉子和整體轉子系統將失去穩定性。 此時，拉桿轉子和整體轉子將執行準周期運動(見圖11)。

圖11 兩種含缺陷轉子的旋轉運動Fig.11 Whirling motions for both defective rotors

同時，旋轉運動和相應的龐加萊映射的比較，如圖12所示。準周期軌道確保龐加萊點形成閉合曲線。

如圖13所示，由于兩種轉子都被確定為準周期運動，所以具有相似的頻率分量。

旋轉頻率取決于轉速，兩種轉子分別為138 Hz(8 290 r/min)和132.5Hz(7 950 r/min)。由于準周期運動實際上是源自HopfT-周期解的分裂軌道，所以Hopf半頻(76 Hz)也包括在各自的頻譜中，該數據大致等于ω/2。其他頻率則來源于準周期運動的拍頻振動。

3.4 同軸度公差

輪盤的對中缺陷導致恒定的質量偏心率e和隨速度變化的轉子彎曲量rb。過大的e和rb對拉桿轉子的穩定性和振動特性影響很大。 為了使拉桿轉子能夠穩定工作，應找出最大的對中缺陷偏差。

圖12 兩種轉子的運動和龐加萊映射的比較Fig.12 Comparison of motions and Poincaré map for both rotors

圖13 兩種含缺陷轉子的頻率Fig.13 Frequencies of both defective rotors

圖14顯示了拉桿轉子和整體轉子的允許最大對中缺陷偏差分別為21 μm和28 μm，證實了拉桿轉子在徑向定位表面上的精度要高于相應的整體轉子。 這種允許的同軸度公差也為拉桿轉子的設計提供了加工精度的參考。

3.5 不均勻預緊

由于轉子彎曲生成和增大的根本原因是拉桿的預緊力大，因此減少預緊力大小是減少對動態性能不利影響的可行方法。例如，輪盤‘b’存在向下的位移并擠壓4號拉桿，所以假定該拉桿的預緊力有所降低(2.5%～10%)。在靜動聯合分析之后，可以看出當預緊力減小ΔF=7.5%時，隨著ω上升，轉子彎曲量將略有變化。這使得動平衡更為容易。因此，當ΔF=7.5%時，轉子在動平衡后的工作速度下具有最低的振動幅度。 此時，即使存在對中缺陷，轉子系統也可以通過不均勻的預緊而具有相對令人滿意的動態特性。

圖14 輪盤的同軸度公差Fig.14 Centration tolerance among disks

圖15 含缺陷拉桿轉子的靜態和動態特性Fig.15 Static and dynamic properties for defective bolt-disk rotor

4 結 論

本文提出了一種靜動聯合分析方法以研究拉桿轉子系統對中缺陷的影響。結論包括：

(1)徑向定位面的加工偏差導致了含缺陷輪盤的質心偏心；由于預緊力和離心力作用，輪盤之間的對中缺陷將導致轉子彎曲。

(2)源于對中缺陷的轉子彎曲將導致系統穩定性明顯降低，振幅增大。

(3)無論是否進行動平衡，隨速度而變化的轉子彎曲決定了轉子振幅在過臨界轉速后將再次增大的特征。在M701F燃氣輪機轉子中也發現了這一特征，也是一種典型的拉桿轉子。這些特殊現象表明在設計這種拉桿轉子時應該注意對中缺陷的影響。

(4)拉桿轉子允許的對中缺陷明顯小于整體轉子。這就說明了拉桿轉子中徑向定位面的加工精度遠高于整體轉子的原因。

(5)當存在對中缺陷時，不均勻預緊是減少對動態特性不利影響的可行方法。