典型螺栓連接界面軸向動態(tài)特性的不確定性研究

陳學前， 沈展鵬， 劉信恩， 范宣華， 胡 杰

(1. 中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999；2. 工程材料與結構沖擊振動四川省重點實驗室，四川 綿陽 621999)

螺栓連接是航空、航天、武器工程及各類機械結構的主要連接形式之一，螺栓連接結合部的力學行為對整體結構剛度及響應的影響至關重要。但是，由于螺栓連接結合部的力學特性受結合面微觀特征、連接件的材料特性、螺栓預緊力、幾何公差等多因素影響，并且這些因素在同一批產品中會表現(xiàn)出一定不確定性，或者針對同一樣件，不同次裝配中其螺栓預緊力、結合面微觀接觸形成等也表現(xiàn)出一定不確定性。總的來說，結構螺栓連接界面表現(xiàn)出復雜的非線性及不確定性力學行為。為滿足各行業(yè)結構高精度、高可靠性的數(shù)字化設計需求，使對螺栓連接結合部力學行為的研究尤為迫切，相關力學問題已成為各行業(yè)發(fā)展過程中需要亟待研究與解決的重要基礎問題。

從研究方法分類，螺栓連接物理本構模型的研究可以分為基于結合面微細觀物理機理的正向方法與基于宏觀試驗結果反向識別結合面參數(shù)的方法。正向方法由于相關參數(shù)具有確定的物理意義，且可以建立微細觀到宏觀模型的聯(lián)系，故近些年逐漸成為研究熱點。如Jiang等[1]基于分形理論與赫茲理論建立了粗糙接觸面考慮彈塑性變形的法向和切向接觸剛度模型。Brake[2]基于材料特性和接觸力學研究兩個球面接觸在法向載荷下的變形，模型中根據接觸實際將接觸區(qū)域分為彈性、彈塑性和完全塑性變形三部分。Bryant等[3]根據彈塑性有限元理論，利用正弦形微凸體代替真實粗糙表面，研究從彈性到塑性變形階段的接觸過程。張學良等[4-6]考慮了微接觸大小分布的域擴展因子的影響，建立了結合面的法向接觸剛度模型，并基于接觸分形理論研究了結合部薄層單元橫觀各向同性材料參數(shù)的計算取值。楊紅平等[7]將兩個粗糙表面的接觸簡化成一個剛性光滑平面與一個彈性粗糙表面接觸，利用分形理論和接觸力學建立結合面法向接觸剛度計算模型。田紅亮等[8-9]以修正分形幾何學理論和赫茲法向接觸力學方程為基礎，推導了柔性結合面法向接觸剛度與阻尼，以及基于接觸分形理論研究了結合部薄層單元各向同性材料參數(shù)的計算取值。王東等[10]基于Mindlin彈性接觸理論和KD模型，應用概率統(tǒng)計方法研究了一種描述粗糙結合面的跨尺度黏滑摩擦行為的參數(shù)化力學模型。李玲等[11-12]通過對結合面微觀特性的表征，并從結合面微觀尺度入手，研究了結合面法向剛度與切向剛度以及不同粗糙表面對法向剛度的影響。但正向方法需要結合面表面形貌的準確測量，相關參數(shù)的準確測量仍具有相當難度。因此，基于宏觀結構試驗結果的參數(shù)辨識在連接結合面建模的實際工程中也有較廣應用。如蔡力鋼等[13]通過法向靜態(tài)拉伸試驗結果，利用結合面有效作用面積與被連接件的法向剛度模型，間接識別了結合面法向靜態(tài)剛度。Schmidt等[14]通過螺栓連接結構的切向受力試驗，推導了接觸面等效剪切模量和切向剛度的關系。董冠華等[15]基于模態(tài)分析理論結合螺栓連接結構典型模態(tài)頻率對結合部動剛度辨識進行了辨識。

當前，對螺栓連接界面物理本構建模無論是在微細觀還是在宏觀層面都得到了較大發(fā)展，但對其連接動態(tài)特性的不確定性研究相對較少，并且對結合面阻尼特性的研究也相對較少。姜東等[16]以四螺栓搭接梁為研究對象，開展了接觸界面的薄層單元建模及不確定性參數(shù)識別方法研究，但文章所用數(shù)據為仿真得到的虛擬試驗數(shù)據。本文基于參數(shù)反向識別思想，采用薄層單元建立典型螺栓連接件接觸界面的有限元模型，并根據結構不同次裝配的正弦振動試驗結果，采用區(qū)間不確定性參數(shù)模型修正方法識別得到薄層單元的彈性模量、泊松比與損耗因子的區(qū)間。

1 試驗研究

針對如圖1所示的典型螺栓連接結構(長方體鋼結構，長、寬、高分別為150 mm，110 mm，99 mm，質量為12.8 kg)，通過六個M6的螺栓(螺栓為8.8級全螺紋六角頭螺栓，擰緊時配以標準平墊圈和彈簧墊圈使用)與鋼質夾具圓盤相連，夾具圓盤直接與振動臺相連。當螺栓中預緊力矩較大時，螺栓連接表現(xiàn)出較弱的非線性特性，工程中一般可通過結構模態(tài)試驗或振動試驗研究其連接剛度與阻尼特性。本文通過正弦掃頻振動試驗研究螺栓連接結構的軸向共振頻率與阻尼比。點A1～A4是控制點，點A5～A8是加速度響應測點。正弦掃頻振動試驗采用點A1～A4做四點加速度響應平均控制，控制基準譜采用20～2 000 Hz的定加速度譜曲線，譜線數(shù)為801線。

圖1 典型螺栓連接結構試驗示意圖Fig.1 Sketch map of classic bolted joint structure experiment

對該螺栓連接結構開展螺栓預緊力矩為7 N·m，振動量級為2g的正弦掃頻振動試驗。每次振動試驗結束，更換連接螺栓，對螺栓連接系統(tǒng)進行重新拆裝，重復開展11次振動試驗，獲得了系統(tǒng)軸向振動的固有頻率和阻尼比，試驗結果如表1所示。從表1可以看出，結構軸向振動的固有頻率和阻尼比具有一定的不確定性。

表1 螺栓連接系統(tǒng)固有頻率與模態(tài)阻尼比的試驗結果Tab.1 Experimental results of natural frequency and modal damping ratio about the bolted joint system

2 基于薄層單元的有限元建模

實際螺栓連接結構中，在螺栓連接結合部存在具有一定厚度的過渡區(qū)域，如圖2所示，該過渡區(qū)域剛度與阻尼特性與結構其他區(qū)域存在較大差異，是影響整個結構動力學特性的主要因素之一。

圖2 連接結合部示意圖Fig.2 Sketch map of joint interface

在連接結合部出現(xiàn)如圖2所示過渡區(qū)域的主要原因是結構的實際粗糙表面，為準確模擬結合部的連接動力學特性，常常將結合部接觸界面兩側分離出一定厚度的薄層單元，薄層單元材料可以設置成各向同性或橫觀各向異性。本文主要研究螺栓連接界面的軸向特性，故將薄層單元材料參數(shù)按各向同性處理。

薄層單元的厚度可以定義為結合部兩接觸材料微凸體層厚度h1和h2之和。考慮現(xiàn)有機床結合面的表面粗糙度，根據金屬表面微凸體表層微觀結構， 微凸體層厚度大致在0.5 mm附近波動，所以薄層單元的厚度可取為1 mm。

薄層單元的密度參考田紅亮等的方法確定，由于本文典型螺栓連接兩部件均為鋼，故薄層單元密度取7 800 kg/m3。

根據上述分析，建立典型螺栓連接結構的有限元模型，如圖3所示。在所建立的有限元模型中，除薄層單元以外的其他部分材料參數(shù)均可確定，但可以通過模態(tài)分析與模態(tài)應變能理論建立薄層單元材料參數(shù)與模態(tài)頻率與阻尼比之間的關系，并根據結構的模態(tài)試驗結果識別得到薄層單元彈性模量、泊松比與損耗因子等材料參數(shù)。

圖3 螺栓連接結構有限元模型Fig.3 Finite element model of the bolted joint structure

所建模型自由振動的微分方程可寫成

(1)

式中：M為結構的質量矩陣；K為結構的剛度矩陣。考慮到材料的損耗因子，K為復剛度矩陣，即

K=KR+iKI

(2)

KR=K1R+K2R

(3)

KI=η1K1R+η2K2R

(4)

式中：KR，KI分別為結構復剛度的實部和虛部；K1R，K2R分別為結構薄層單元、其他部件材料的實剛度；η1，η2分別為結構薄層單元、其他部件材料的損耗因子。

假定式(1)的解的形式為

(5)

(6)

(7)

式中，η(r)為阻尼結構第r階的損耗因子，與第r階模態(tài)阻尼比ξ(r)的關系為η(r)=2ξ(r)。

聯(lián)合式(1)、式(5)～式(7)，得到

(8)

要計算η(r)的近似值，可以用結構的實特征向量來代替其復特征向量。這樣，式(8)可以變換成

(9)

(10)

由式(9)～式(10)，可以得到

(11)

根據彈性模態(tài)理論，對給定第r階模態(tài)振型，其應變能是

V(r)=φ(r)TKRφ(r)

(12)

由式(4)，式(11)和式(12)，得到

(13)

綜上，該螺栓結構軸向振動固有頻率與模態(tài)阻尼比有以下數(shù)學模型

f=f(E1,E2,υ1,υ2,ρ1,ρ2)

(14)

ξ=ξ(E1,E2,υ1,υ2,ρ1,ρ2,η1,η2)

(15)

式中：E1,E2分別為薄層單元及其他部位的彈性模量；υ1,υ2分別為薄層單元及其他部位的泊松比。本文中，其他部位的彈性模量、泊松比、材料損耗因子均是確定性值，分別取200 GPa，0.3，0.001；所有材料的密度均取7 800 kg/m3；不同次裝配帶來的結構軸向動態(tài)特性的不確定性由薄層單元的彈性模量E1、泊松比υ1、材料損耗因子η1的不確定性表征，通過試驗結果對不確定性參數(shù)的區(qū)間進行識別。

3 不確定性參數(shù)識別

在有限元模型中用薄層單元材料彈性模量E1、泊松比υ1的不確定性表征螺栓連接界面動態(tài)連接剛度的不確定性，薄層單元的材料損耗因子η1表征連接界面動態(tài)阻尼的不確定性，通過不確定性有限元模型修正方法對彈性模量E1、泊松比υ1及材料損耗因子η1進行量化。

考慮到試驗結果小樣本情況，首先，通過核密度估計(kernel density estimation，KDE)方法對螺栓連接系統(tǒng)的固有頻率進行估計以獲得用于模型修正的頻率試驗結果區(qū)間。估計得到的頻率、模態(tài)阻尼比試驗結果區(qū)間分別為[1 767.95，1 814.52] Hz和[0.258 6，0.394 1]。可以看出，根據KDE分析獲得的固有頻率、模態(tài)阻尼比試驗結果區(qū)間略寬于試驗數(shù)據本身的區(qū)間，該結果應更可信。

接下來，假設待修正參數(shù)E1，υ1，η1的原始區(qū)間分別是[1.5 2.0]×109Pa，[0.2 0.3]，[0.05 0.20]。采用文獻[17]中的基于主成分分析(principal component analysis，PCA)的區(qū)間不確定性有限元修正方法，識別得到待修正參數(shù)E1，υ1，η1的不確定性區(qū)間。修正過程中，為獲得樣本設計點，每個迭代步通過拉丁超立方設計獲得20個樣本點，也就是說，每迭代一次只需進行20次確定性有限元計算。該算例模型修正經過六次迭代即達到收斂條件。

經模型修正得到待修正參數(shù)E1，υ1，η1的修正區(qū)間分別是[1.661 1.815]×109Pa，[0.236 0.267]，[8.852×10-3，1.318×10-2]，修正前后待修正參數(shù)區(qū)間的圖形比較，如圖4所示，從圖4可以看出，模型修正后，待修正參數(shù)區(qū)間明顯縮小。圖5是薄層單元3個材料參數(shù)與結構軸向振動固有頻率、模態(tài)阻尼比的散點分布圖，從圖5可以看出，薄層單元彈性模量與結構軸向固有頻率具有較強相關性，薄層單元泊松比與固有頻率具有較弱相關性，而薄層單元損耗因子與固有頻率幾乎無相關性；薄層單元損耗因子與模態(tài)阻尼比具有極強的相關性，但薄層單元彈性模量、泊松比與模態(tài)阻尼比基本沒有相關性，這些現(xiàn)象與認識完全一致。

圖4 待識別參數(shù)修正前后區(qū)間比較Fig.4 Comparisons between the original and the updated intervals of the updating parameters

圖5 薄層單元材料參數(shù)與結構軸向振動特性的散點分布圖Fig.5 Scatter map between the material parameters of thin layer element and the vibration characteristics of the bolted joint structure

圖6是模型修正后系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)阻尼比的散點分布圖，從圖6可以看出，修正后系統(tǒng)固有頻率、模態(tài)阻尼比計算結果與試驗結果二者更吻合。模型修正前，固有頻率計算結果區(qū)間為[1 690.9，1 896.4] Hz，與試驗結果的差別為[-4.36%，4.51%]，模態(tài)阻尼比計算結果區(qū)間為[0.09%，0.64%]，與試驗結果的差別為[-64.47%，63.63%]；修正后，固有頻率計算結果區(qū)間為[1 760.8，1 819.9] Hz，與試驗結果的差別為[-0.40%，0.30%]，模態(tài)阻尼比計算結果區(qū)間為[0.24%，0.41%]，與試驗結果的差別為[-6.76%，4.57%]；固有頻率計算結果與試驗結果的最大差別由修正前的4.51%變?yōu)樾拚蟮?.40%，模態(tài)阻尼比計算結果與試驗結果的最大差別由修正前的64.47%變?yōu)樾拚蟮?.76%。綜上，通過模型修正識別得到的薄層單元材料參數(shù)能較好反映接觸界面物理實際。

圖6 結構固有頻率與模態(tài)阻尼比的散點分布圖Fig.6 Scatter map between the natural frequency and the modal damping ratio

4 結 論

本文采用薄層單元模擬螺栓連接接觸界面的方法，建立了典型螺栓連接結構的有限元模型，并根據該結構的振動試驗結果樣本，采用基于PCA方法的區(qū)間不確定性模型修正方法，對薄層單元的彈性模量、泊松比與材料損耗因子不確定性區(qū)間進行了識別。模型修正結果表明，考慮材料參數(shù)不確定性的薄層單元可以較準確模擬螺栓連接接觸界面的物理實際。并且，本文利用薄層單元修正后的損耗因子來表征連接界面的阻尼特性，使連接界面的阻尼特性變成一種材料參數(shù)，可方便應用于不同結構的類似連接，以便能較準確預測不同結構的各階模態(tài)阻尼比。由于螺栓連接結構服役過程中的多次裝配帶來其動力學特性的不確定性是客觀存在，故在對螺栓連接結構進行高置信度數(shù)值分析時需要考慮連接不確定性的影響。本文識別得到的典型螺栓連接結合部薄層單元材料參數(shù)的不確定性區(qū)間值可為建立類似典型螺栓連接結構更可信的動力學模型提供參考。