一元函數的28類不同的極限定義

◇上海立信會計金融學院統計與數學學院 張 麗

極限是高等數學中最基本、最重要的一個概念，有著多種多樣的形式，是初學高等數學者最難以真正掌握的。本文用鄰域的概念給出了一元函數極限的一個統一的定義。然后，根據鄰域的不同表述，給出了一元函數的28個不同類型的極限的概念。

函數是高等數學的主要研究對象，高等數學就是一門研究函數的性質的一門學科。而極限則是高等數學中最基本、最重要的概念，沒有之一。包括函數的連續性、導數和定積分等諸多性質都是通過極限來定義的。同時，極限也是高等數學中最難理解和掌握的概念，是學好高等數學的關鍵。但是，許多初學者卻不能真正掌握其內涵，對各種各樣的極限的定義一籌莫展。

極限的描述性定義為：如果當 無限趨近于（可以是無窮大）時，函數的值無限趨近于常數（或無窮大），則稱（或無窮大）是 趨于 時函數的極限。記作

在上述描述中，有兩個問題需要我們去解決：第一個問題是對兩個“無限趨近于”的模糊表述我們需要給出一個定量的表示；第二個問題是要理清楚這兩個“無限趨近于”之間的邏輯關系。

為了將“無限趨近于”這個表達進行量化，一代又一代的數學家付出了巨大的努力才最終實現。本文首先給出了鄰域的各種定義，然后由鄰域給出一元函數的極限的一個統一的概念，最后基于鄰域的不同表達給出了28個不同的極限的定義。

1 鄰域的定義

2 極限的總的定義

3 28個不同極限的定義

表1