◇上海立信會計金融學院統計與數學學院 張 麗
極限是高等數學中最基本、最重要的一個概念,有著多種多樣的形式,是初學高等數學者最難以真正掌握的。本文用鄰域的概念給出了一元函數極限的一個統一的定義。然后,根據鄰域的不同表述,給出了一元函數的28個不同類型的極限的概念。
函數是高等數學的主要研究對象,高等數學就是一門研究函數的性質的一門學科。而極限則是高等數學中最基本、最重要的概念,沒有之一。包括函數的連續性、導數和定積分等諸多性質都是通過極限來定義的。同時,極限也是高等數學中最難理解和掌握的概念,是學好高等數學的關鍵。但是,許多初學者卻不能真正掌握其內涵,對各種各樣的極限的定義一籌莫展。
極限的描述性定義為:如果當 無限趨近于(可以是無窮大)時,函數的值無限趨近于常數(或無窮大),則稱(或無窮大)是 趨于 時函數的極限。記作
在上述描述中,有兩個問題需要我們去解決:第一個問題是對兩個“無限趨近于”的模糊表述我們需要給出一個定量的表示;第二個問題是要理清楚這兩個“無限趨近于”之間的邏輯關系。
為了將“無限趨近于”這個表達進行量化,一代又一代的數學家付出了巨大的努力才最終實現。本文首先給出了鄰域的各種定義,然后由鄰域給出一元函數的極限的一個統一的概念,最后基于鄰域的不同表達給出了28個不同的極限的定義。




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