基于問題驅動，多維度落實解題教學
——以“一次函數圖像的應用”為例

■徐 艷

一、學情分析

本節課為習題課，在此之前學生已經學習并掌握了一次函數的概念、圖像及性質，對一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間的關系有了一定的認識，能夠初步解讀一次函數的圖像，并能運用讀取的信息，數形結合地解決簡單的實際問題。但學生對函數圖像的解讀大多停留在較為無序的感知階段，對復雜情境中的函數圖像，難以準確地讀取信息，因而無法順利地解決問題。

該從哪些角度層層解讀，從而獲取足夠多的信息，再結合函數與方程、不等式等模型的關系來解決問題呢？本節課嘗試以問題驅動探究，從不同維度逐層深入地解讀一次函數圖像，從而幫助學生順利地解決函數類問題。

二、教學實錄

問題1某種洗衣機在洗滌衣服時，經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續的過程，其中進水、清洗、排水時，洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關系如圖1所示。根據圖像解答下列問題：

（1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？

（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升。

①求排水時水量y與x之間的表達式；

②如果排水時間為2分鐘，求排水結束時，洗衣機中剩下的水量。

圖1

師：讀圖，首先請根據題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生1：根據題意，x表示洗衣機工作的時間，y表示洗衣機中的水量，函數圖像表示工作時洗衣機中的水量與工作時間之間的關系。

師：你能根據圖像解讀一下變化過程分為幾段嗎？水量隨著時間的變化是怎樣變化的呢？

生2：從變化過程來看，第一階段，洗衣機中的水量隨著時間的增加而增加，即進水階段；接著一段時間內，水量保持不變，即清洗階段；最后，水量隨著時間的增加而減少，即排水階段。

師：很好！下面我們從幾個具體的維度來解讀這個函數的圖像。

維度1圖中有哪些點是已知的？它們對應的實際意義是什么？

生3：圖中已知的點有（0，0）、（4，40）、（15，40）。其中（0，0）表示洗衣機沒有開始工作時，水量為0；（4，40）表示洗衣機開始工作（進水）4分鐘時，水量為40升；（15，40）表示洗衣機工作15分鐘（并不是清洗15分鐘）時，水量仍為40升。

維度2圖中有哪些線是可以直接用待定系數法求出表達式的？

生4：圖中第一階段的線段（0≤x≤4）上有兩個已知點（0，0）、（4，40），因此，我們可以用待定系數法直接求得其對應的函數表達式為y=10x；第二階段的線段（4＜x≤15）對應的關系式為y=40；第三階段的線段（x＞15）因為只有一個已知點，所以我們無法用待定系數法直接求得其對應的函數關系式。

維度3根據已知數據，你能得出每一階段水量變化的速度，然后具體地描述這次洗衣服的過程中，洗衣機水量的變化情況嗎？

生5：前4分鐘，水量均勻增加，洗衣機處于進水狀態，4分鐘進水40升，因此，進水的速度為40÷4=10（升/分鐘）；4—15分鐘這11分鐘內，洗衣機處于清洗狀態，水量保持40升不變；15分鐘后，水量均勻減少，洗衣機處于排水狀態，排水速度為每分鐘19升（已知）。

師：水能完全排空嗎？相應的圖像有什么特征呢？

生6：水并不能完全排空，最后的水量要經過脫水才能為0，因此，圖像到最后并沒有與x軸相交。

維度4根據維度3中描述的實際變化情況，你能設法求出洗衣機排水狀態所對應的第三階段線段的函數表達式嗎？

生7：可以用待定系數法。但這里只有一個點，無法確定k、b啊，因此，我們還需要再知道一個點的坐標。

師：再找哪一點呢？讀題，根據“排水速度為每分鐘19升”，你可以得到什么啟發呢？

生8：可以求得當x=16（即排水1分鐘）時，水量為40-19×1=21（升），由此可得第二個點（16，21）。由點（16，21）、（15，40），可用待定系數法求得對應函數表達式為y=-19x+325。

生9：或者求出排水2分鐘后的水量，同樣可求得函數表達式，同時完成第（2）②問。

生10：也可以用虛線延長線段與x軸相交，求得交點橫坐標為，從而確定交點坐標為，進而用待定系數法求得函數表達式。

師：大家根據題中“排水速度為每分鐘19升”這一信息，找出了1分鐘后、2分鐘后、如果能排光等多個不同的點，這些點都可以用來求函數表達式，非常好！

生11：我覺得可以不用待定系數法，根據實際意義就可以直接列式。由題意，排水時的水量=排水前清洗時的水量-排出的水量，用式子表示即為y=40-19×（x-15），化簡得y=-19x+325。

師：特別地，每一段水量變化的速度，與對應的函數關系式中的│k│完全一致。水量增加，k為正數；水量減少，k為負數。從第一階段圖像對應水量變化速度為每分鐘10升，即可知道該段圖像對應的函數表達式中的k=10；由排水階段的水量減少速度為19，即可知道該段圖像對應的函數表達式中的k=-19。反之，已知k，也就知道了變化速度。

用待定系數法求函數表達式是常規解法，而根據實際意義找到數量關系，再直接列式表示函數表達式顯得更簡便，在一次函數類問題中也非常實用。但這要求學生善于思考，能將函數問題回歸實際數量關系。

問題2快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發并且在同一條公路上勻速行駛。圖2中折線表示快、慢兩車之間的距離y（km）與它們的行駛時間x（h）之間的函數關系。小欣同學結合圖像得出如下結論：①快車途中停留了0.5h；②快車速度比慢車速度快20km/h；③圖中a=340；④快車先到達目的地。其中正確的是（ ）。

圖2

師：讀圖，首先請根據題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生12：根據題意可知x表示兩車出發后行駛的時間，y表示兩車之間的距離，函數圖像表示兩車之間的距離與行駛時間之間的關系。

師：你能根據圖像解讀一下變化過程分為幾段嗎？兩車之間的距離隨著時間的變化是怎樣變化的呢？

生（思考、討論、交流、陳述）：從變化過程來看，第一階段兩車之間的距離隨著時間的增加而減小，即相向而行直到相遇；接著的0.5h內距離一直為0，即兩車相遇后停留休息；然后兩車距離隨著時間的增加而增大，但很顯然，變化的速度比兩車相向而行時慢得多，說明只有一輛車在行駛，另一輛車原地不動；接著兩車之間的距離隨著時間增加而增大，目測變化速度與相向而行時一致，可見兩車均以原速背向行駛；最后一小段圖像，兩車之間的距離變化速度再次變小，表明有一輛車到了，僅另一輛車在行駛，最終到達各自終點。

師：大家描述的運動過程很清晰，下面從幾個具體的維度來解讀這個函數的圖像。

維度1 圖中有哪些點是已知的？它們對應的實際意義是什么？

生13：圖中已知的點有（0，360）、（2，0）、（2.5，0）、（3.6，88）、（5.2，360）。其中（0，360）表示準備出發時兩車相距360km，說明兩地之間的距離為360km；（2，0）表示2h后兩車相遇；（2.5，0）表示2.5h起，其中一輛車準備出發；（3.6，88）表示3.6h時，兩車之間距離為88km，此時另一輛車準備出發；（5.2，360）表示5.2h時，兩車各自均已到達終點。另外，（5，a）表示自出發行駛到5h時，兩車相距akm，其中一輛車到達終點。

維度2 圖中有哪些線是可以直接用待定系數法求出表達式的？

生14：根據維度1讀出的已知點可知，0≤x≤2、2＜x≤2.5、2.5＜x≤3.6這三段圖像的函數表達式可以直接由待定系數法求得，后兩段圖像由于a未知，暫不能直接求得函數表達式。

維度3 根據已知數據，你能得出每一段路程變化對應的速度，然后具體地描述這段行程嗎？

生15：兩車開始相距360km，2h后相遇，由此可知兩車速度之和為360÷2=180（km/h）；2h—2.5h，兩車相遇后距離一直為0，兩車停住休息；2.5h—3.6h這1.1h，兩車間距均勻增大為88km，因此變化速度為88÷1.1=80（km/h），顯然是慢車的速度，由此可知快車的速度為180-80=100（km/h）；3.6h—5h，兩車間距變化的速度變大，變得和最初2h的速度相當，即為180km/h，故而求得a=88+180×（5-3.6）=340（km）；5—5.2h，0.2h的間距變化為360-340=20（km），因此速度為20÷0.2=100（km/h），即只有快車在行駛，慢車已于5h時到達終點；5.2h時，快車也到達終點。

師：至此，本題所有答案都已解鎖。

維度4 根據維度3中描述的實際變化情況，你能設法求出3.6＜x≤5、5＜x≤5.2對應的函數表達式嗎？

生16：由維度3可知，3.6h—5h，兩車間距變化的速度為180km/h，因此本段函數式中的k=180，兩車間距離=3.6h時的間距+增加的距離，即y=88+180×（x-3.6）。當x=5時，可得a=y=88+180×（5-3.6）=340。由待定系數法求得當5＜x≤5.2時，函數表達式為y=100x-160；由實際意義可知，此時兩車之間的距離為5h時兩車間距離+快車單獨行駛的路程，即y=340+100（x-5）。

三、教學反思

本節課，在探究兩個問題的解題過程中，4個維度的問題設計分別為：維度1，引導學生探究關鍵點；維度2，探究關鍵線段；維度3，定量地探究實際變化過程；維度4，用數學模型解決實際問題。教師通過這4個維度引導學生逐層深入地讀取圖像中的有效信息：從整體看圖像的變化趨勢，定性地描述整個變化過程；從局部看關鍵點、線段的數量及實際意義，進而定量地描述變化過程，順利解決問題。總之，我們要教會學生一些通法，即先通過圖像獲取信息，再從點、線、變化過程等多個維度去讀圖、識圖、用圖，充分挖掘有用信息，然后才能數形結合地破解一次函數應用問題，以此推廣到以后學習的各類函數圖像問題。