后建構課堂的章尾復習課設計
——以“中心對稱圖形——平行四邊形”為例

■鐘鳴 張泉

一、比賽之后的思考

2017年11月，江蘇省青年教師優秀課（初中數學）從“前建構”視角確定賽題；2018年11月，江蘇省青年教師教學基本功大賽（初中數學）從“后建構”視角確定賽題。賽后總結會上，董林偉先生介紹：學習的一般規律是，先進行“前建構”，再局部深入，最后通過反思進行“后建構”，形成整體認識。

他認為，“前建構”要解決三個問題：為什么學（知識的重要性與必要性），學什么（知識技能、思想方法），怎么學（提供學習基本線索、基本支架）。相應地，筆者認為，“后建構”也要解決三個問題：知識之間有何實質性聯系（基礎知識結構），這些知識如何運用（思想方法結構），知識運用的智慧在哪里（能力素養立意）。

事實上，章尾課通常包括數學活動、數學實驗、綜合實踐、章復習課等課型。本文以“中心對稱圖形——平行四邊形”的復習為例，具體闡述后建構課堂的章尾復習課的設計方法。

二、后建構課堂的設計

從“后建構課堂”的視角來看章尾復習課，首先要“建構基礎知識結構”，其次要“建構思想方法結構”，最后要“聚焦能力素養立意”。

1.建構基礎知識結構。

在此之前，學生已學習了“圖形的平移”“軸對稱和軸對稱圖形”，積累了一定的圖形運動變化的學習經驗，在此基礎上，本章繼續發展了學生的空間觀念、幾何直觀、分析推理等數學素養。

在本章的章首課和章中課中，教師從生動的現實情境出發，通過操作、實驗、觀察、思考、交流等數學活動，引導學生經歷合情推理和演繹推理的探索過程，學生初步具備了探尋知識之間內在聯系的基本能力、運用單個知識的能力以及對一些簡單問題進行抽象、推理、探究的活動經驗。但是，知識體系在學生頭腦中還未形成，存在模糊不清的地方（如四種特殊四邊形之間的關系）、似是而非的地方（如判定和性質的混淆）、記憶不深的地方（如中點四邊形的形狀等），有些方法（如中點的聯想、模型的遷移等）還不夠熟練，有些能力（如運用運動變換解決問題）比較薄弱。復習前，孤立、分離的知識和模糊的認識，有必要整理，串線，連片，結網，縱橫聯系形成系統，分析并建立整章的系統知識結構。

例如，本章內容由三塊組成：探索圖形的旋轉、中心對稱與中心對稱圖形的性質；平行四邊形、矩形、菱形及正方形的性質與判定；利用圖形的旋轉研究三角形的中位線。教材以中心對稱為主線，展開對平行四邊形和三角形中位線這兩個方面的研究，其中將平行四邊形特殊化，分別研究了矩形、菱形、正方形的性質與判定，還將三角形的中位線進行拓展，研究了特殊四邊形的中點四邊形的形狀。教師分析并建立整章的系統知識結構（如圖1），有助于全面考慮教學內容，有針對性地設計復習環節，促進學生把握知識之間的內在聯系，對一章內容形成整體而系統的認知。如此，就把握了本章的整體知識結構。

圖1

2.建構思想方法結構。

加強數學思想方法的培養，是全面提高學生數學素質的重要途徑。在關注知識整體建構的同時，更要關注知識結構賴以形成的思想方法。

數學學習不僅包括知識結果，更包括結果形成過程中的思想方法。在一章學習中，學生既經歷了知識的形成過程，也經歷了知識的運用過程，體會一章的主導思想方法在“獲取數學知識、運用數學知識、解決問題”中的作用，是“溫故知新”的“新”之所在。在章尾課中建構思想方法結構，更能引導學生“用數學的方式理解世界”，感受數學學習的內在魅力。

圖2

本章中，借助旋轉探究圖形的性質，理解旋轉運動，需要空間想象；探索特殊四邊形的判定、理清特殊四邊形之間的關系，需要觀察操作、歸納猜想和推理；分析復雜的圖形，往往需要從中剝離基本圖形，需要模型思想；運用性質判定進行問題的解決，往往需要借助圖形的運動、條件的轉化、模型的遷移等方法。對這些思想方法的揭示（如圖2），有利于知識與能力的鞏固和提升，使其內化為學生的解題經驗與思維習慣。

3.聚焦能力素養。

2011年版《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“課標”）指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。”后建構課堂強調對學習過程的反思和對應用過程的體悟，重視對知識的綜合貫通、靈活組合和創新應用，教學立意更關注知識的應用價值以及知識運用中蘊含的思想方法，訓練高階思維，增強創新能力和實踐能力。

本章突出了圖形的旋轉運動。一方面作為知識的起點，串聯了中心對稱的性質、特殊四邊形的性質、中位線的性質；另一方面作為解題思路的起點，利用旋轉，轉移邊或角的位置，體現了轉化的思想。這兩方面對落實“幾何直觀”“推理能力”“模型思想”等數學核心素養有重要價值。

4.課堂教學環節設計。

基于上述分析，本章章尾復習課的教學目標確定如下：（1）回顧本章所學內容，能從旋轉的角度梳理幾種平行四邊形之間的關系，對本章知識有全面、系統的認識；（2）以旋轉運動為突破口，進一步掌握分析、推理的思考方法，熟練掌握綜合法的書寫格式；（3）經歷圖形運動變換的過程，積累解決問題的經驗，進一步發展空間觀念。其中，目標（1）為重點，目標（2）為難點。設計簡案如下。

環節1 建構系統知識結構

問題1 觀察圖3-1中△AOB的運動，你能找到哪些等量關系？

問題2 若將旋轉角度定為180°，如圖3-2，你能找到哪些其他的關系？

問題3 你能以文字的形式歸納旋轉、中心對稱的性質嗎？

圖3-1

圖3-2

【說明】通過幾何直觀，在觀察的基礎上喚起記憶，回顧并梳理旋轉及中心對稱的定義、性質，培養學生的歸納概括能力。

問題4 利用中心對稱的性質，我們是如何研究特殊四邊形的性質的呢？閱讀教材八年級下冊第64—65頁，以探究平行四邊形的性質為例，用你自己的話說說研究的思路。

【說明】重讀教材，既體會數學研究方法，建構中心對稱與平行四邊形的聯系，又引導學生重視教材學習的基礎作用。

問題5 填表——梳理平行四邊形與矩形、菱形、正方形的性質。

平行四邊形矩形菱形正方形邊的關系 角的關系 對角線關系 對稱性

【說明】表格能更直觀地做對比。通過四個方面的比較，梳理四類特殊四邊形的性質的異同點，幫助學生理清模糊點和混淆點。

問題6 如圖4，利用中心對稱的性質，我們還研究了三角形的什么問題？

圖4

問題7畫一些不同形狀的四邊形，分別連接它們四邊的中點構成四邊形（叫作中點四邊形），說說中點四邊形分別是什么形狀，并說明理由。

【說明】通過中心對稱回顧中位線的性質，并運用中位線的性質拓展中點四邊形的知識，完善整章知識結構。

環節2建構思想方法結構

例1如圖5，將△ABC繞點B逆時針旋轉60°得到△DBE，再將△ABC繞點C順時針旋轉60°得到△FEC，連接DA、EF。求證：四邊形ADEF是平行四邊形。

變式1如果AB=AC，四邊形ADEF是何特殊四邊形？

變式2如果∠BAC=150°，四邊形ADEF是何特殊四邊形？

變式3△ABC滿足什么條件，四邊形ADEF會是正方形？

問題：平行四邊形與矩形、菱形、正方形有何關系？

圖5

圖6

圖7

【說明】在問題解決過程中領悟四類特殊四邊形之間的聯系，挖掘解決問題的基本方法，積累旋轉問題的解決經驗，滲透從特殊到一般的數學歸納思想，達成學習目標（1）。

例2如圖6，在正方形ABCD中，點P、Q分別在邊AB、AD上，且CQ平分∠DCP。求證：CP=BP+DQ。

問題：有其他方法解決問題嗎？

【說明】指向目標（2），鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，從旋轉運動的角度尋找解決問題的突破口，積累解題經驗，感悟圖形運動中的不變量，體悟“圖形運動是演繹推理思路的源”，同時與等腰三角形知識相關聯，打通數學內部不同章節知識之間的內在聯系，培養綜合運用的能力。

例3如圖7，四邊形ABCD為正方形，△CEF為等腰直角三角形，連接AE、AF，M是AE的中點，DM的延長線交AF于點N，求證：DN⊥AF。

問題1你能用思維導圖的形式表達你對“中點”的聯想思路嗎？

問題2對于“中點”，你還能聯想到什么？有其他方法解決此題嗎？

【說明】例3是本節課的難點——題目條件、結論看似零散，它們之間如何建立聯系？引導學生經歷聯想與轉化的有序思維串是突破問題的關鍵，例如中點→中位線→平行線→角關系→互余→垂直。引導學生在交流中碰撞思維，加深對運用旋轉理解圖形、解決問題的認識。教師還可以提煉△BFC與△DCE構成的“手拉手模型”，培養模型思想，為以后解題積累經驗。

環節3建構能力素養結構

經過本節課的復習，你對旋轉或本章知識有了哪些新的認識？對于今天的解題，你有何感受？

【說明】知識再認識、方法再提煉、思想再升華、能力再提高是復習課中最重要的方面。引導學生對課堂學習進行小結，反思數學學習過程，體悟應用過程，幫助學生積累基本活動經驗，感悟基本數學思想，提升數學情感，豐富和完善能力素養結構。

三、課例設計說明

“后建構課堂”的章尾復習課強調在整體把握整章知識的基礎上，遵循學生的認知規律，將點狀知識縱橫聯系，形成結構。深入挖掘知識形成和應用過程中所蘊含的思想方法，建立思想方法結構，發展能力素養，提高單元復習效益。

本節課以旋轉為切入點，利用現代信息技術手段，呈現出生動活潑的動態畫面，豐富了學生的幾何直觀，為梳理幾類特殊四邊形的性質，建構系統知識結構提供了有利條件；以旋轉為演繹推理之源對典型例題進行剖析，并通過追問和變式的方式，引領學生再發現、再創造，體悟知識的本質，延伸思維和方法，自然建構思想方法結構；通過小結交流，引導學生表達自己的學習感受，深化方法內涵，豐富情感體驗，發展能力素養，體現教學立意。

四、后繼研究展望

從李庾南老師“學材再建構”開始，“單元教學”逐漸進入了研究者的視野。筆者認為章、單元、節都是用于“分段敘事”的“敘事”段群，它們共同構成了教材編寫的三級結構。一章可以劃分為若干單元，一個單元由若干節組成，有必要分別從“前建構”“中建構”“后建構”的視角研究章首課、章中課和章尾課的設計。

專題復習作為一類復習課，旨在構建同類異形問題的解決通法，是一種“后建構”；“綜合與實踐”注重數學與生活實際、數學與其他學科、數學內部知識之間的聯系和綜合應用，也是一種“后建構”。綜合三類課型的特征，筆者認為：后建構課堂是指在后建構主義理論指導下，在新知識教學結束后，幫助學生建構系統知識結構、思想方法結構、能力素養結構的課堂。其內涵的發展也是需要繼續深入研究的重要方面。

章建躍先生為前建構的章首教學指明了方向：構建“先行組織者”，明確一章主線；突出課時重點，掌握關鍵內容；落實知識發生發展的過程教學，強化研究方法指導，潛移默化地引導學生學會“數學地認識問題和解決問題的方法”。本文則為章尾教學提供了一個拋磚引玉的樣例。但是，本課直接進入知識梳理，開始全章復習，沒有設計教學情境。實踐中，沒有情境的復習課，極易成為知識的簡單羅列、題目的盲目堆砌，“悟”的過程太短甚至沒有，“知識”量大但缺乏聯系性、靈活性、變通性，雜亂的知識堆砌成為解決問題的包袱，后果是學生為了考試不得不學，缺乏獨自面對問題的勇氣和能力。有專家提出后建構課也需要設計教學情境。如果需要，那么什么樣的情境既能凸現全章價值、統領回顧全章，又能自然過渡到知識梳理？這也是需要研究者繼續深入思考的地方。