抓住點(diǎn)和線 簡(jiǎn)化解幾題

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級(jí)教師)

解析幾何最基本的構(gòu)成要素是點(diǎn)和線,同學(xué)們處理解析幾何問題時(shí),如果能抓住題目中某些特殊的點(diǎn)和線,那么不僅可以簡(jiǎn)化解題過程,而且能避免走彎路,達(dá)到事半功倍的解題效果。

一、抓住“定點(diǎn)”

例1已知兩條直線l1：2x+y-1=0,l2：2x+y+1=0,則l1,l2的距離是_____。

解析：兩直線平行,在直線l1上取一個(gè)定點(diǎn)P(1,-1),點(diǎn)P到直線l2的距離即l1與l2的距離：

點(diǎn)評(píng)：如果將此題改編為：“已知直線l1過點(diǎn)A(1,-1),直線l2過點(diǎn)B(1,-3),如果l1∥l2,且l1與l2的距離為,求l1與l2的方程。”那么就可以用“直線與方程”的幾種不同表示方法求解。

二、抓住“動(dòng)點(diǎn)”

例2若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是_____。

解析：由已知可得,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)。設(shè)點(diǎn)M為(x,y),則由兩點(diǎn)間的距離公式可得,|MF|==10。將y2=4x代入,整理可得x2+2x-99=0,解得x=9或x=-11(舍去),故M到y(tǒng)軸的距離是9。

點(diǎn)評(píng)：此題難度不大,但是如果將M到y(tǒng)軸的距離誤認(rèn)為是求y值,那么就會(huì)步入歧途。

三、抓住“定比分點(diǎn)”

例3已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn),若,則|QF|=( )。

解析：由已知可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),|PQ|=3|QF|。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,y0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,將點(diǎn)Q看成線段PF的定比分點(diǎn),則由已知及定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,整理得=8。所以|QF|=== 3,選B。

拓展：若將條件變?yōu)椤癋P=3FQ”,則可得2018 年清華大學(xué)自主招生試卷的第4 題：已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn),若FP=3FQ,則|QF|=( )。

按照此解的解法可得|QF|=,選A。

四、抓住“垂直線”

例4設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0 和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-ym+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PA|·|PB|的最大值是____。

解析：由題意可知?jiǎng)又本€x+my=0 過定點(diǎn)A(0,0),動(dòng)直線mx-y-m+3=0 過定點(diǎn)B(1,3),兩條動(dòng)直線互相垂直,交點(diǎn)P(x,y)就是垂足,所以點(diǎn)P(x,y)在以AB為直徑的圓上。注意到動(dòng)直線x+my=0不含x軸,動(dòng)直線mx-y-m+3=0不含直線x=1,所以,點(diǎn)P(x,y)不含點(diǎn)C(1,0),由此利用基本不等式,得|PA|·|PB|≤,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=時(shí)等號(hào)成立,故|PA|·|PB|的最大值是5。

點(diǎn)評(píng)：在本題中“兩條動(dòng)直線互相垂直,交點(diǎn)P(x,y)為垂足”是解題得以順利進(jìn)行的關(guān)鍵,若從|PA|·|PB|=入手去處理,解題就思路受阻。