無線傳感器網絡波束形成優化方法

夏彥澤

（中國電子科技集團公司第二十研究所，陜西 西安 710072）

0 引 言

無線傳感器網絡（wireless Sensor Networks，WSN）是由一組隨機分布，集傳感器、數據處理單元以及通信模塊于一體的微型傳感器以自組織方式構成的無線網絡。由于其具有節點廉價、易于布置且工作隱蔽等特點，因此受到各軍事研究部門的高度重視。美國國防高級研究計劃局主導的Network Embed and System Technology項目采用多個廉價音頻傳感器節點協同定位敵方狙擊手，定位精度可達1.5 m，定位延遲低至2 s。因為無線通信所消耗的能量隨著距離的增加而急劇增加，且戰場用無線傳感器節點體積微小，電池電能有限，所以在WSN網絡設計過程中需要重點考慮如何提高能量使用效率，延長節點生命周期[1]。本文以常用的聲傳感器網絡為例，研究了目標探測中優化波束形成陣列的方法。

1 無線傳感器網絡波束形成器解算

空間中的無線聲傳感器網絡是由M個麥克風傳感器組成的麥克風陣列。在戰場環境中為了檢測特定方向的聲源信號，會根據陣列參數和估計的信號參數使用波束形成算法生成相應的陣元加權系數。常用的波束形成算法有MVDR、Wiener及LCMV等，其中MVDR波束形成器能夠在最小化輸出噪聲能量的同時保證陣列在期望方向上無失真，有利于后期信號處理。文中以MVDR波束形成器為例，理想情況下，麥克風傳感器接收到的信號由兩個部分組成，一部分為聲源信號與聲傳播響應函數的卷積，另一部分為噪聲信號。兩者疊加后形成麥克風輸出信號（也稱觀測信號），其數學表達式為：

式中：s(t)是聲傳輸函數；xk(t)是麥克風k接收到的聲源信號；nk(t)是麥克風k接收到的噪聲，包括干擾信號和背景噪聲；k代表陣元編號。工程實踐中，為了減小計算量會在頻域內計算分析陣列信號，對麥克風接收信號進行短時傅里葉變換，表達式為：

式中，Yk(ω,l)、Xk(ω,l)、Ak(ω)、S(ω,l)以及 Nk(ω,l)分別是信號yk(t)、xk(t)、ak(t)、s(t)以及nk(t)的短時傅里葉變換，ω為頻率，l為時間幀序號。將上面的信號模型寫成向量形式為：

式中，y=[Y1(ω,l),Y2(ω,l),…,YM(ω,l)]T為麥克風陣列觀測信號向量，a=[a1(ω), a2(ω),…, aM(ω)]T為聲源到麥克風陣列的傳輸矢量，x=[X1(ω,l), X2(ω,l),…, XM(ω,l)]T和 n=[N1(ω,l), N2(ω,l),…, NM(ω,l)]T分別表示麥克風接收到的聲源信號和噪聲信號向量。

實際應用中，信號和噪聲一般是不相關的，此時麥克風接收信號的協方差矩陣可以表示為：

式中：E{·}代表期望運算；Ryy=E{xxH}=E{aS(aS)H}=aE{ssH}aH=PsaaH表示麥克風接收到的聲源信號的協方差矩陣，其中Ps為聲源信號的功率譜；Rnn=E{nnH}是麥克風接收到的噪聲信號的協方差矩陣。

信號經過MVDR波束形成器之后的輸出為：

式中，w是用MVDR波束形成器方法求得的濾波器系數。MVDR波束形成器可以在最小化輸出噪聲能量的同時保證陣列在期望方向上無失真，數學表達為：

約束條件為wHa=1，這是個最優解的問題，在最優線性無偏估計下使用采用拉格朗日乘子法，求解得到：

2 最小功耗子陣選擇模型及解算

將無線聲傳感器網絡中所有節點作為陣列信號接收的陣元會取得最好的空域濾波效果，但此時的功耗最大。實際情況中，無線傳感器網絡中存在很多提供冗余信息的節點，通過建立模型，評價不同陣元對陣列信號處理的效能，根據一定的門限去除低效能陣元，從而選取出一個濾波效果相當的子陣列，達到降低功耗，延長無線聲傳感器網絡工作時長的目的。引入一個傳感器選擇向量p=[p1p2…pM]T，其中pi∈{0,1}，pi=1代表i號陣元被選擇。為所選傳感器的數目。引入傳感器選擇矩陣Φp={diag(p)}，去掉所有全0行，Φp∈{0,1}K×M。傳感器選擇矩陣滿足：

由此，被選擇傳感器組成的子陣接收信號模型可以表示為：

同理可證，基于傳感器選擇向量p的子陣的MVDR波束形成器表達式為：

式中，ap=Φpa，R(nn,p)=ΦpRnnΦpT。

定義數據傳輸的代價函數，令c=[c1c2…cM]T∈'M表示從傳感器到數據匯聚節點的傳輸功耗。ci=c(di)+ci(0)，di是i號傳感器到數據匯聚節點的距離，c(di)表示隨距離變化的功耗代價函數，ci(0)是傳感器的自身功耗常量。傳感器選擇問題可以用數學表達為：

式中，||·||1表示l1范數，β為波束形成后的最小輸出噪聲功率，α是用來控制輸出噪聲功率的自適應因子，α∈(0,1]。這里β不依賴于整個網絡的測量，只是一個數值，可以由用戶指定。選擇有前面子陣的MVDR信號模型，被選擇的子陣傳感器的輸出噪聲功率為：

需滿足條件wpHap=1。同理可以得到波束形成器輸出的期望信號功率，被選中的子傳感器陣的輸出信噪比為：

從而本文的陣列選擇優化問題可以改寫成：

此處證明了β=Ps/SNR是波束形成后的最小輸出噪聲功率，這里的SNR是給定的最大輸出信噪比。綜上，傳感器選擇問題可以轉化為一個基于布爾向量p的非凸優化問題。

通過矩陣分解來進一步優化問題，引入噪聲的協方差矩陣分解為：

式中，λ是一個小于Rnn最小特征值的正常數，G是一個正定矩陣。選擇這樣的矩陣分解可以構造正定矩陣 G-1+λ-1diag(p)，從而：

定義矩陣 Q=Φp(λIM+ΦpGΦpT)-1Φp

T，求逆引理可得 Q=G-1-G-1[G-1+λ-1diag(p)]-1G-1，從而公式（13）的約 束條 件為 aHG-1a-α/β ≥ aHG-1[G-1+λ-1diag(p)]-1G-1a，利用schur補的定義，該式可以寫成對稱形式的線性矩陣不等式：

從而，本文的優化問題可以改寫為：

這是松弛凸優化里的半正定規劃問題，可以在多項式時間內使用內點法或解算器來有效求解，例如CVX和SeDuMi[2-4]。求解上面表達式的算法復雜，其中二進制選擇變量pi∈{0,1}可以通過解的隨機舍入得到[5]。

3 貪婪算法在子陣選擇中的應用

在前面的傳感器選擇模型中，使用了全網絡的數據統計信息。為了降低功耗，實際情況中不希望預先估計整個網絡的統計信息，需要一種不依賴于完整網絡的統計量和傳感器到數據匯聚節點距離信息的傳感器選擇機制，根據可以訪問的鄰近傳感器的測量值（接近數據匯聚節點或已經選擇的傳感器節點）使用貪婪算法選擇傳感器節點。

令ri表示第i號傳感器的三維坐標，S1為候選傳感器集，S2為選中的傳感器集，本文提出的貪婪傳感器選擇算法如圖1所示。

給定數據匯聚節點位置z0和一個有效傳輸半徑R0，S1和S2的初始值見圖1。先估計噪聲協方差矩陣R(nn,S1)，然后按照公式（14）進行矩陣分解，再求解優化問題（17），優化后問題可以重新闡述為：

式中，βS1代表采用候選傳感器集S1計算的經典MVDR波束形成器的輸出噪聲功率，α是給定的自適應因子。

如果α≤1在S1上有可行解，這個可行解集可以用來確定一個新的S2，且|S2|≤|S1|。然后基于這個新的S2重新設定一個由R0最近原則組成的候選集S1，具體見圖1。這樣持續迭代，直到S1或者S2不再變化。因為初始候選集一定小于等于全部網絡傳感器集，所以基于候選傳感器集S1計算的本地約束βS1≤β，而α是不變的，βS1/α≤β/α。為了使本文提出的貪婪算法的性能收斂到完整網絡算法，在上述迭代結束后把本地約束βS1替換成全局約束β，再重新迭代一遍。

4 仿真實驗及結果

將169個候選傳感器均勻放置在12×12的二維空間中，聲源位于（9.6，9.6）處，數據匯聚節點位于（3，3）處，兩個干擾源分別位于（2.4，9.6）和（9.6，2.4）處。波束形成采用頻域方法，短時傅里葉變換采用漢明窗截斷。單個傳感器的背景噪聲選用信噪比為10 dB的不相干高斯白噪聲，假定單個陣元自身的能耗為ci(0)=0，傳輸能量代價函數與距離平方成正比[6]。實驗結果如圖2所示。

圖2 實驗結果

圖2（a）和（b）圓形符號是貪婪算法使用本地約束和全局約束結合得到的實驗結果，而三角符號是貪婪算法只使用全局約束的結果。可以看出傳感器候選集S1中陣元的數目隨迭代次數的變化而變化。只使用全局約束算法的收斂速度要快一些，但最終選取的陣元數目明顯較多。結合本地約束和全局約束不但能保證輸出性能不變，還能明顯減少最終選取的陣元數量。圖2（c）給出了自適應因子α=0.65時最終選取的子陣位置分布圖。圖2（d）給出了自適應因子α=0.9時最終選取的子陣位置分布圖。從這兩個子圖可以看出在α較小的情況下，為了減少傳輸能耗，算法最終會選擇數據匯聚節點且朝向聲源位置的陣元。隨著α的增大更多地靠近和朝向聲源位置的陣元會被選擇，同時干擾源附近也會有部分陣元被選中。圖2（e）給出了自適應因子α=0.9時，不加干擾源的情況下最終選取的子陣位置分布圖。圖2（d）和（e）選取的陣元大部分相同，只是不加干擾源的情況下最終選擇的陣元都聚攏于數據匯聚節點和聲源。

5 結 論

通過研究基于MVDR波束形成器降噪的無線聲傳感器子陣選擇問題，給出了以降低傳感器網絡整體功耗為目標的子陣選擇方法，且結合工程實踐要求給出了使用貪婪算法進行陣元選擇的方案。通過仿真實驗評估了算法功能和性能，結果表明文中方法能夠大幅降低無線傳感器網絡的整體功耗，延長其工作時間。