基于粒子群優(yōu)化方法的電力系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)模型

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0 引言

電力系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)是電力系統(tǒng)能量管理系統(tǒng)的重要組成部分。在電力系統(tǒng)實(shí)時(shí)監(jiān)控中，狀態(tài)估計(jì)是一種必不可少的分析方法。狀態(tài)估計(jì)通過(guò)適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)模型處理可用的測(cè)量值，從而確定系統(tǒng)的最佳靜態(tài)狀態(tài)(電壓幅度和相位角)。自從狀態(tài)估計(jì)的概念被提出以來(lái)，針對(duì)狀態(tài)估計(jì)的各種功能已經(jīng)進(jìn)行了廣泛的研究[1-2]，已經(jīng)提出了覆蓋網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮幚淼牟煌椒╗3-4]。文獻(xiàn)[5]已經(jīng)證明了通過(guò)保持系統(tǒng)的可觀測(cè)性來(lái)改進(jìn)狀態(tài)估計(jì)器，在不良數(shù)據(jù)檢測(cè)和消除方面已經(jīng)引入了多種技術(shù)。狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)一直是許多研究者關(guān)注的問(wèn)題。求最優(yōu)解向量最常用的方法是加權(quán)最小二乘法(Weighted Least Square，WLS)。狀態(tài)估計(jì)器模型由一組有關(guān)測(cè)量量和狀態(tài)變量的非線性方程描述。文獻(xiàn)[6]提出一種基于變量代換內(nèi)點(diǎn)法的電力系統(tǒng) WLAV 估計(jì)方法，該方法通過(guò)添加中間變量，將非線性量測(cè)方程分解為兩步線性方程和兩步非線性變換，并建立兩步線性方程的 WLAV 估計(jì)數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[7] 采用目前比較成熟的粒子群優(yōu)化算法,以均方誤差最小化為目標(biāo),對(duì)相關(guān)模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu),并通過(guò)采用系統(tǒng)歷史狀態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)回歸模型進(jìn)行訓(xùn)練,從而建立起系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[8]介紹了通過(guò)引入輔助狀態(tài)變量和輔助測(cè)量量的雙線性方法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。

由于加權(quán)最小二乘法狀態(tài)估計(jì)器的解決方案是基于迭代技術(shù)的，因此開發(fā)一種可以在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確確定最佳狀態(tài)并適合實(shí)時(shí)應(yīng)用的算法非常重要。本文提出了一種有效的算法，該算法基于狀態(tài)向量的直角坐標(biāo)，使用加權(quán)最小二乘法來(lái)獲得最優(yōu)狀態(tài)向量。所提出的算法在確定狀態(tài)向量時(shí)采用了預(yù)測(cè)-校正迭代技術(shù)，同時(shí)，該算法與基于粒子群優(yōu)化技術(shù)的算法相結(jié)合，來(lái)識(shí)別PMU儀表和常規(guī)儀表的優(yōu)化配置[9]。

1 方法論

1.1 傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法

測(cè)量向量與狀態(tài)向量相關(guān)，由以下非線性方程表示：

[z]=[hi(x)]+[ei]

(1)

其中：[z]表示測(cè)量向量。[hi(x)]為根據(jù)狀態(tài)變量描述的第i個(gè)測(cè)量量的非線性函數(shù)。x為系統(tǒng)狀態(tài)向量(電壓幅度和相位角)。[ei]為第i個(gè)測(cè)量量的誤差。

狀態(tài)估計(jì)向量x的最優(yōu)解可以通過(guò)最小化殘差的加權(quán)平方和來(lái)確定，即：

(2)

(3)

必要條件為：

(4)

xk+1=xk-[G(xk)]-1·g(xk)

(5)

(6)

G(xk)=[H(xk)]TR-1[H(xk)]

(7)

[G(xk)][Δxk+1]=[F(xi)]

(8)

其中:[F(xi)]=[H(xk)]TR-1[z-h(xk)]。Δxk+1為狀態(tài)因子偏差，Δxk+1=xk+1-xk。[H(x)]是維數(shù)為(m×n)的測(cè)量雅可比矩陣。k為迭代指數(shù)。xk為迭代k次的狀態(tài)向量。[G(x)]為增益矩陣。

對(duì)狀態(tài)向量迭代求解方程式(8)，直到Max|Δxk|<ε，其中ε是一個(gè)非常小的值。

1.2 直角坐標(biāo)表示狀態(tài)估計(jì)器

直角坐標(biāo)系比極坐標(biāo)系對(duì)加權(quán)最小二乘估計(jì)過(guò)程有更好的適應(yīng)性。由于極坐標(biāo)由超越函數(shù)表示，因此這些函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開是無(wú)限的。直角坐標(biāo)系是基于二次項(xiàng)的，這導(dǎo)致了在直角坐標(biāo)系中可以簡(jiǎn)化J(x)的泰勒級(jí)數(shù)展開式。電力系統(tǒng)中的母線電壓用以下形式描述：

Vi=ei+jfi

(9)

其中:ei、fi分別是電力系統(tǒng)中母線i電壓的實(shí)部和虛部。

系統(tǒng)的狀態(tài)向量描述為[x]T=[f2f3…fnf1f2…en]。母線i上的實(shí)際功率和無(wú)功功率分別為：

(10)

(11)

從母線i到母線j的實(shí)際功率和無(wú)功功率流分別為：

(12)

(13)

測(cè)量雅可比矩陣[H]的結(jié)構(gòu)如下：

1.3 基于粒子群優(yōu)化算法的電力系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)模型

在所提出模型的初始階段，需要使用粒子群優(yōu)化技術(shù)對(duì)要安裝的PMU設(shè)備進(jìn)行最佳配置[10-11]，該最佳位置將在測(cè)量中保持適當(dāng)冗余并提高系統(tǒng)的可觀察性。

1.3.1 估計(jì)器模型中PMU的增強(qiáng)

令[z2]表示PMU的測(cè)量量，其中包含電壓幅值、相位角、電流相量的實(shí)部和虛部。矩陣[R2]表示測(cè)量量[z2]的測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣。通過(guò)將PMU的測(cè)量量[z2]的向量與常規(guī)測(cè)量量[z1]的向量相加，得出新的測(cè)量集[z],其可表示為：

(14)

其中:VPMU_mag是由PMU測(cè)量的電壓幅值，VPMU_ang為PMU測(cè)量的相位角。IPMU_real和IPMU_img分別為是PMU測(cè)得的電流的實(shí)部和虛部。

可以通過(guò)使用矩形表示法將當(dāng)前相量測(cè)量包括在狀態(tài)估計(jì)模型[12-13]中：

(15)

(16)

令[h(x)]和[h2(x)]分別表示新測(cè)量集[z]和PMU測(cè)量量[z2]的非線性方程。得到測(cè)量集[z]對(duì)應(yīng)的新的雅可比矩陣如下:

(17)

因此，加權(quán)最小二乘法狀態(tài)估計(jì)器的狀態(tài)解可以寫為：

[xi+1]=[xi]+

[HTR-1H]-1[H]T[R]-1[z-h(xi)]

(18)

其中:測(cè)量集[z]的誤差協(xié)方差矩陣可表示為:

(19)

1.3.2 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是求解優(yōu)化非線性問(wèn)題的廣義群智能方法中的一種，它是一種基于種群的搜索算法，其中每個(gè)個(gè)體被稱為粒子，代表一個(gè)候選解。粒子群算法中的每個(gè)粒子都以一種可適應(yīng)的速度在搜索空間中飛行，該速度根據(jù)粒子自身的飛行經(jīng)驗(yàn)以及其他粒子的飛行經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)修改。在粒子群優(yōu)化算法中，每個(gè)粒子都努力通過(guò)模仿成功同伴的特征來(lái)改進(jìn)自己。此外，每個(gè)粒子都有記憶，因此能夠記住它曾經(jīng)訪問(wèn)過(guò)的搜索空間中的最佳位置。對(duì)應(yīng)于最佳適應(yīng)度的位置稱為pbest，而種群中所有粒子中的最佳位置稱為gbest。粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種基于種群的人工智能算法，是遺傳算法(GA)的良好替代。

種群中的每個(gè)粒子(個(gè)體)都可以視為候選解。每個(gè)個(gè)體的速度通過(guò)以下方程式調(diào)整：

(20)

通常，權(quán)重函數(shù)用以下方程式確定：

(21)

其中:wmax為初始權(quán)重，wmin為最終權(quán)重，itermax為最大迭代次數(shù)，iter為迭代指數(shù)。利用上式(21)，可以逐漸減小粒子群的多樣化特性。由式(20)可計(jì)算逐漸接近Pbest和Gbest的速度。當(dāng)前位置(解空間中的搜索點(diǎn))可以通過(guò)以下公式進(jìn)行調(diào)整：

(22)

1.3.3 PMU的優(yōu)化布局算法

PMU的優(yōu)化布局算法可以分為以下幾個(gè)步驟。

步驟1：輸入傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控測(cè)量值，包括母線電壓、線路流量和功率注入。同時(shí)輸入PMU測(cè)量值，包括電壓幅度、相位角、電流的實(shí)部和虛部。

步驟2：初始化粒子群優(yōu)化算法參數(shù)。設(shè)置一個(gè)粒子群優(yōu)化算法參數(shù)集，參數(shù)集包括個(gè)體數(shù)(變量數(shù)(N))、加速度因子(C1和C2)、最大迭代次數(shù)、最大慣性權(quán)重、最小慣性權(quán)重和總體大小(種群規(guī)模)。

步驟3：使用傳統(tǒng)方法，即加權(quán)最小二乘法計(jì)算狀態(tài)估計(jì)。

步驟4：隨機(jī)創(chuàng)建一個(gè)初始的個(gè)體種群(PMU的位置)以及個(gè)體的位置和速度。設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器的值為0。

步驟5：對(duì)于每個(gè)個(gè)體(PMU的位置)，如果總線數(shù)量在限制范圍內(nèi)，則使用加權(quán)最小二乘法計(jì)算狀態(tài)估計(jì)[14-15]。否則，該個(gè)體(PMU的位置)是不可用的。

步驟6：記錄和更新最佳值。在搜索過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體都沿著與它之前達(dá)到的最優(yōu)解相關(guān)的方向移動(dòng)，該最佳解被存儲(chǔ)為Pbest。另一個(gè)要存儲(chǔ)的最優(yōu)解是Gbest，它表示鄰近個(gè)體獲得的全局最優(yōu)解。 Pbest和Gbest是目標(biāo)函數(shù)的最小值，此步驟同時(shí)更新了Pbest和Gbest。首先，首先將每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度與其Pbest進(jìn)行比較。如果當(dāng)前解優(yōu)于其最優(yōu)解Pbest，則將Pbest替換為當(dāng)前解，然后將任何其他粒子的適應(yīng)度與Gbest進(jìn)行比較。如果任何個(gè)體的適應(yīng)度都比Gbest好，那么Gbest就會(huì)被取代。

步驟7：更新PMU位置的速度和位置。利用式(20)更新個(gè)體(PMU位置)的速度和位置。在選擇的總線方向上的運(yùn)動(dòng)是由一個(gè)個(gè)體的速度來(lái)表示的。同時(shí)，利用式(22)更新個(gè)體位置。

步驟8：檢查結(jié)束條件。如果滿足結(jié)束條件，則算法停止；否則，重復(fù)步驟3～7，直到滿足結(jié)束條件為止。在這項(xiàng)工作中，個(gè)體為PMU的位置，如下所示：

Pparticle=[X1X2Xn]

(23)

其中:n為所選總線的PMU數(shù)量，該數(shù)量受系統(tǒng)大小和限制而定。X為PMU的位置。

1)約束條件。

粒子群優(yōu)化程序必須滿足一定的約束條件：①對(duì)PMU的每個(gè)位置進(jìn)行測(cè)試，以驗(yàn)證位置數(shù)是否在2～N個(gè)總線之間；②每條總線上只能放置一個(gè)PMU；③兩個(gè)PMU不能位于同一電力線邊緣的總線上。 由于PMU也提供關(guān)于連接到一條總線的線路中電流相量的信息，因此有足夠的信息來(lái)確定另一條總線上的電壓相量。

2)適應(yīng)度函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))。

在這項(xiàng)工作中，粒子群優(yōu)化算法通過(guò)最小化以下目標(biāo)函數(shù)來(lái)尋找PMU的最優(yōu)位置:

FFmin=[R]-[H][G]-1[H]T

(24)

該過(guò)程將持續(xù)進(jìn)行，直到最大迭代次數(shù)和總體數(shù)量達(dá)到指定值為止。 圖1所示為粒子群算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。 表1所示為求解PMU最佳位置的粒子群算法參數(shù)。

圖1 粒子群算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程

表1 求解PMU最佳位置的粒子群算法參數(shù)

1.3.4 預(yù)測(cè)-校正迭代技術(shù)

文獻(xiàn)[5]已經(jīng)成功地將預(yù)測(cè)-校正迭代技術(shù)應(yīng)用于獲得功率流解決方案?？梢詫㈩A(yù)測(cè)-校正迭代技術(shù)應(yīng)用于等式(8)，得到如下形式：

[xi+1]=[xi]+12[G(xi)+10G(wi)+G(yi)]-1[F(xi)]

(25)

其中:[G(xi)]表示在初始點(diǎn)計(jì)算的增益矩陣。[G(wi)]表示在中心點(diǎn)處計(jì)算的增益矩陣。[G(yi)]表示在預(yù)測(cè)點(diǎn)計(jì)算的增益矩陣。

對(duì)狀態(tài)向量迭代求解方程式(25)，直到Max|Δxk|<ε，其中ε是非常小的值。

2 結(jié)果與討論

將提出的基于粒子群優(yōu)化方法的電力系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)模型在IEEE-14和IEEE-30總線標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)上進(jìn)行了測(cè)試。為了評(píng)估狀態(tài)估計(jì)器的性能，將各系統(tǒng)的功率流解決方案作為基準(zhǔn)進(jìn)行比較。以均方誤差(Mean Square Error，MSE)作為指標(biāo)來(lái)說(shuō)明所提出算法的準(zhǔn)確性。均方誤差(MSE)定義如式(26)所示:

(26)

2.1 IEEE-14總線系統(tǒng)

基于粒子群優(yōu)化方法的電力系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)模型適用于確定一組具有41個(gè)常規(guī)儀表的IEEE-14總線測(cè)試系統(tǒng)的最佳估計(jì)矢量。為了提高可觀察性，需要在系統(tǒng)中另外增加3個(gè)PMU儀表。將狀態(tài)向量估計(jì)模型應(yīng)用于IEEE-14總線測(cè)試系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)電表的最佳位置是總線11、12和14。IEEE-14總線系統(tǒng)母線電壓幅值和相位角的實(shí)際值和估計(jì)值比較結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

圖2 IEEE-14總線系統(tǒng)母線電壓幅值的實(shí)際值和估計(jì)值的比較

圖3 IEEE-14總線系統(tǒng)母線相位角的實(shí)際值和估計(jì)值的比較

實(shí)際母線電壓值與傳統(tǒng)加權(quán)最小二乘法估計(jì)的電壓值存在明顯差異，而利用狀態(tài)向量估計(jì)模型得到的估計(jì)電壓向量與實(shí)際電壓值相近。可以看出，與傳統(tǒng)方法(WLS)相比，本文方法的精度更高。 如表2所示，狀態(tài)向量估計(jì)模型電壓估計(jì)方法的均方誤差(0.000 005)小于傳統(tǒng)方法的均方誤差(0.003 11)。同樣，從表3可以看出，狀態(tài)向量估計(jì)模型母線相位角的均方誤差(0.000 000 04)小于傳統(tǒng)方法(0.000 655)。

表2 IEEE-14總線系統(tǒng)母線電壓幅值估計(jì)精度的比較

表3 IEEE-14總線系統(tǒng)母線相角估計(jì)精度的比較

結(jié)果表明，該算法在7次迭代內(nèi)收斂，而傳統(tǒng)的方法在13次迭代內(nèi)收斂。 另一方面，所提出的方法的執(zhí)行時(shí)間少于傳統(tǒng)方法，表4所示。

表4 IEEE-14總線系統(tǒng)執(zhí)行時(shí)間的比較

2.2 IEEE-30總線系統(tǒng)

IEEE-30總線系統(tǒng)的測(cè)量集由93個(gè)常規(guī)儀表組成。為了提高可觀察性，同樣需要在系統(tǒng)中另外增加3個(gè)PMU儀表。將基于粒子群優(yōu)化算法的狀態(tài)向量估計(jì)模型應(yīng)用于系統(tǒng)以選擇PMU儀表的最佳位置，發(fā)現(xiàn)儀表的最佳位置是總線13、26和30。IEEE-30總線系統(tǒng)母線電壓幅值和相位角的實(shí)際值和估計(jì)值比較結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 IEEE-30總線系統(tǒng)母線電壓幅值的實(shí)際值和估計(jì)值的比較

圖5 IEEE-30總線系統(tǒng)母線相位角的實(shí)際值和估計(jì)值的比較

從圖4、圖5中的IEEE-30總線測(cè)試系統(tǒng)的結(jié)果可以看出，狀態(tài)向量估計(jì)模型比傳統(tǒng)方法更準(zhǔn)確。從表5可以看出，建議方法中用于電壓估計(jì)的均方誤差(0.000 006 8)小于傳統(tǒng)方法的均方誤差(0.005 53)。 如表6所示，所提出的方法中的母線電壓相角均方誤差(0.000 001 7)小于傳統(tǒng)方法的均方誤差(0.001 85)。 所提出方法的迭代次數(shù)(7次迭代)小于傳統(tǒng)方法(12次迭代)。 另一方面，所提方法的執(zhí)行時(shí)間小于傳統(tǒng)方法，如表7所示。

表5 IEEE-30總線系統(tǒng)母線電壓幅值估計(jì)精度的比較

表6 IEEE-30總線系統(tǒng)母線相角估計(jì)精度的比較

表7 IEEE-30總線系統(tǒng)執(zhí)行時(shí)間的比較

3 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種獲取狀態(tài)向量最優(yōu)估計(jì)模型。估計(jì)模型的建立是基于狀態(tài)向量的直角坐標(biāo)。文中采用預(yù)測(cè)-校正技術(shù)求解估計(jì)量的非線性模型。通過(guò)優(yōu)化PMU儀表的布置，豐富了算法的內(nèi)容。為了證明提出模型的有效性，文中給出了該算法在IEEE-14總線測(cè)試系統(tǒng)以及IEEE-30總線測(cè)試系統(tǒng)中的應(yīng)用。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)算法相比，所開發(fā)的電力系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)模型在執(zhí)行時(shí)間、準(zhǔn)確性和迭代次數(shù)方面均有明顯的優(yōu)勢(shì)，所提出的估計(jì)模型對(duì)于實(shí)時(shí)監(jiān)控應(yīng)用具有很好的應(yīng)用前景。