整體性建構自然數、小數和分數的概念體系

劉敏潔

【摘要】小學階段主要學習三種數——自然數、小數、分數.研究發現，這三種不同的數的概念在知識結構層面上有著相似的邏輯機理.通過尋找結構上相同的因子，借助以度量的視角把握數的構造，借助數軸的直觀把握數的特征，以“計數單位”為線索進行單元整體建構這三個途徑，幫助學生形成研究數的概念的思想方法和思維方式，而且能自覺遷移到新情境中，從而提升學生的數學素養.

【關鍵詞】整體性;結構;自然數;小數;分數

深度學習著眼于學生對所學內容的整體性理解，促進學生的知識建構和方法遷移，發展學生的高階思維.也就是說，我們需要準確把握數學本身的邏輯結構，將散點狀、碎片化的知識進行結構化重組，提煉知識之間相同的邏輯關聯，讓學生對知識有整體性的理解和結構化的把握.為此，我們嘗試對小學階段主要學習的三種數——自然數、小數、分數進行研究，發現這三種不同的數的概念在知識結構層面上有著相似的邏輯機理.通過尋找結構上相同的因子，借助以度量的視角把握數的構造，借助數軸的直觀把握數的特征，以“計數單位”為線索進行單元整體建構這三個途徑，幫助學生形成研究數的概念的思想方法和思維方式，而且能自覺遷移到新情境中，從而提升學生的數學素養.

一、以度量的視角把握數的構造

數的發展與量的發展密不可分，可以說，數的功能主要體現在描述量的大小，而數的產生源于計數單位（標準）不斷累加，所謂“數源于數”.以度量的視角看自然數、小數、分數，發現相同的構造——將計數單位不斷累加得到全部的“數”.

在計量離散量的時候，從一開始的一個一個數，產生自然數（“一”是自然數最基本的計數單位），到后來按“群”計數（產生新的計數單位），建立自然數體系.不同計數單位與其個數地累加構成了全部的自然數.在計量連續量的時候，出現了比單位1更小的量，無法用自然數表示，就可以用小數或者分數表示.小數是十進分數的另一種表示形式，它與分數都沿襲自然數的傳統，關鍵的兩個要素是“計數單位”與“單位個數”.以0.1為計數單位，不斷累加中產生全部的一位小數.為了精確度量，需要把0.1這個計數單位繼續均分10份，產生新的計數單位0.01，把它不斷累加形成全部的兩位小數.以此類推，為了更精確地度量，需要把上一個計數單位繼續均分10份，產生新的計數單位，再不斷累加……這樣，整個小數體系就搭建起來.

同樣，分數是先找出“分數單位”，再數出單位的個數的.正如華應龍老師所說“分數是先分后數的數”.例如，把單位“1”平均分成3份，產生分數單位三分之一，隨著三分之一地累加產生所有分母為三的分數;如果把單位“1”平均分成4份，產生分數單位四分之一，隨著四分之一地累加產生所有分母為四的分數……這樣整個分數體系就建構起來.

在教學“分數的意義”時引入長條圖，讓學生清晰直觀地體驗分數單位不斷累加的過程.

師：在測量線段的長度時，可以用一根木棍的長度為標準（以長條表示），把它看作“1”.此時，你能看出線段長多少嗎？為什么呢？

生：2個1就是2.

師：幾個1就是幾，可以用自然數來表示.現在需要測量另一條線段，這條線段有多長？

生：不足“1”，不能用1去量了.

師：把“1”平均分，其中的一份就可以作為新的度量標準.1/2，1/3，1/4這三個標準中，你會選誰去量這條線段可以得到比較精確的結果？

生：我認為可以用1/4去量，估計這條線段含有3個四分之一.

師：當使用的標準無法精確測量時，需要把原來的標準繼續平均分，產生新的測量標準.把“1”平均分成若干份，其中的一份就是分數單位，是組成分數的基本元素.（如圖1）

師：把三分之一不斷累加會得到幾呢？把四分之一不斷累加會得到幾呢？比較觀察，你有什么發現？

生：三分之幾由三分之一累加而成，四分之幾由四分之一累加而成.

師：分數由分數單位累加而成.另外，我們還可以對分數進行分類.（如圖2）

自然數、小數、分數的構造基本相同，但計數單位的產生方式有所不同，自然數的計數單位是從“1”開始，滿十后產生更大的單位，而小數與分數是把“1”進行平均分，產生更小的單位.將小數與分數的產生都置于精確度量的背景下，容易讓學生產生“要將原單位不斷細分得到新單位”的需要與體驗，隨著單位“1”被均分的份數增加，每一份表示的就越小，度量的精確度就越高.把自然數、小數、分數看成是“計數單位的累加”，讓學生對相對陌生的小數與分數的認識從較為熟悉的自然數中延續開來，尤其能幫助學生承認分數是一個“數”，能表示一個結果，這有利于學生對數的構造有整體性的認識和結構化的把握，更有利于學生對知識的深度理解與融會貫通.

二、借助數軸的直觀把握數的特征

數軸是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線.數軸對于幫助學生直觀地認識數來說，主要體現三大功能：（1）數軸上的每一個點都對應一個數;（2）以單位長度表示計數單位，有幾個這樣的計數單位，這個數就是幾;（3）數軸越往右數越大，越往左數越小.通過數所在位置的對比可以比較數的大小.小學階段，從剛開始的“數尺”到“數線”，再到“數軸”，隨著學生認知能力的提升而不斷升級，無論哪種形式都能直觀地把數的基數和序數性質表現出來.因此，數軸（包括數軸的雛形）是直觀認識自然數的得力工具.

學生在學習自然數時認識和使用數軸的經驗可以遷移到小數和分數的學習過程中，可以幫助學生深入把握數的特征.例如，尋找已知小數的近似數范圍，是四年級小數單元的知識難點.從確定的數到確定一個數的范圍，是學生認知上的一次飛躍，可以借助數軸幫助學生理解四舍五入的道理，從而突破難點.

師：一個兩位數的近似數是1.4，這個兩位數可能是幾？

生1：是1.41.

師：還有別的可能嗎？

生2：有可能是1.44.

師：這個兩位數一定是一點四幾嗎？

生3：有可能是1.39.

師：那么近似數是1.4的兩位數，最大會是幾，最小會是幾，你能找出來嗎？

生討論后匯報（過程略）.

師：我們可以借助數軸（如圖3）來分析：

數軸在幫助學生把握分數特征時也發揮了重大的作用.數軸上同一個點可以用不同的分數表示.張奠宙教授認為，“分數相等性質”中蘊含的一個非常深刻的數學思想——“等價類”.分數等價類中的每個成員各有各的用處，都有其特定的價值.借助數軸，呈現一個分數的等價類，讓學生對抽象的分數等價類建立起直觀的表象，對最簡分數進行本質提煉，為后面運算中的通分和約分做鋪墊.

三、以“計數單位”為線索進行單元整體建構

以“計數單位”為線索，把數自身內部的知識點進行鏈接，將單元各元素進行整體關聯，使知識體系能以更加緊密的結構呈現給學生，繼而使之內化成為學生更為清晰和立體的認知系統.下面以小數的意義和性質（人教版四年級下冊）單元重構為例，以小數的計數單位串聯起本單元的主要內容（如圖4）：

小數的意義和性質這個單元知識點多而散，如果以小數的“計數單位”為線索一以貫之，能將小數的意義、性質、比大小、改寫、求近似數、小數點移動與小數大小變化的探討都納入一個知識網絡當中.這種結構化的串聯，使單元內各知識元素的邏輯關聯更加緊密，這有利于學生的整體性理解，促進其高階思維的產生.小數單元的知識體系與分數單元的知識體系從結構上有很多相似之處.分數的知識體系中，其形成、大小比較、性質、加減法的運算等方面都與小數十分類似，學生在遷移學習的過程中，更為重要的是感受到結構化的力量，讓結構化思維影響并引領著學生未來發展的學習方式和方法.

結構的本質是對元素及元素間的關系進行整體關聯，以度量為視角將三種不同的數的概念結構化，以“計數單位”為線索對單元知識點結構化，以半直觀的數軸模型對數的特征結構化，實際上就是對三種不同的數的概念進行整體關聯.這不僅有利于學生對知識從理解通往記憶，更重要的是讓學生建立起結構化的概念體系.教師通過整體性的長程設計、模塊式的意義建構、遞進式的教學推進，幫助學生建立清晰的知識結構以及獲得知識的思想方法.

【參考文獻】

[1]劉加霞.通過“分”與“數（shǔ）”，分數是個“數（shù）”？：兼評華應龍老師執教的“分數的意義”[J].人民教育，2011（06）39-42.

[2]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數學教材中的大道理：核心概念的理解與呈現[M].上海：上海教育出版社，2018.

[3]許衛兵.結構化讓學習深度發生——結構化學習：回歸“本原”的課堂實踐[J].小學數學教師，2018（07）：64-70.

[4]吳正憲，張秋爽.整體把握教材 突出數概念本質：“小數意義和性質”單元教學思考[J].小學教學（數學版），2020（05）：25-27.