用于金屬切削的粒子有限元方法、ALE方法和SPH方法比較以及求解器開發

信吉平 肖世宏 周 鵬

（1.中國航空制造技術研究院，北京 100024；2.數字化制造技術航空科技重點實驗室，北京 100024；3.復雜構件數控加工工藝及裝備北京市重點實驗室，北京 100024）

金屬切削是一個復雜的物理過程[1-3]。工件在刀具的擠壓作用下，切削層材料由于塑性變形而發生滑移。這個過程從始滑移線開始到終滑移線結束。材料在經過第一變形區后，沿著前刀面流出形成第二變形區，從而產生切屑，這是一個大變形或者自由邊界問題。在切削第一變形區和第二變形區時，塑性變形和摩擦都會產生熱量。熱量會引起溫度場的變化，溫度場會引起彈塑性本構關系的變化，這是一個熱傳導方程和彈塑性方程的耦合問題。在金屬切削數值計算中，既要考慮熱彈塑性問題，也要考慮自由邊界問題，且兩個問題還需要進行耦合。這里主要針對自由邊界問題進行研究。切屑的形狀分為帶狀、節狀、粒狀和崩碎。金屬切削包括車、銑、刨、磨、鉆和鏜等種類，因此切屑的自由邊界非常復雜，且是計算的關鍵點和難點。

處理金屬切削自由邊界問題需要特殊的方法，主要包括任意拉格郎日-歐拉方法（Arbitrary Lagrangian-Eulerian，ALE）、耦合的歐拉-拉格郎日方法（Coupling of Euler-Lagrange，CEL）和光滑粒子流體動力學方法（Smoothed particle Hydrodynamics，SPH）。 在 通 用 商業軟件Abaqus、LS-Dyna、MSC Marc和專業切削軟件AdvantEdge、Deform中，分別采用了這幾種方法。CEL方法的特點在于拉格郎日區域和歐拉區域的耦合。由于CEL方法中歐拉方法的屬性，它在精確跟蹤自由邊界上存在一定的難度，因此本文不作考慮。現深入比較粒子有限元方法、ALE方法和SPH方法的原理和特點，并選擇PFEM開發金屬切削粒子有限元求解器。PFEM在處理自由邊界問題上表現出了良好的效果，特點在于利用了邊界重構算法和網格剖分算法的優點，同時兼具有網格方法和無網格方法的優點[1-3]。目前，商業軟件和開源軟件中都尚未實現該方法。

1 ALE、SPH、PFEM方法原理及比較

1.1 ALE方法原理

有關拉格郎日-歐拉方法的研究可以追溯到20世紀60年代[4-6]。它兼具純歐拉方法和純拉格郎日方法的優點，同時規避了它們的缺點。在歐拉方法中，網格點不隨著材料點移動，不需要對網格進行特殊處理，但無法跟蹤自由邊界。在拉格郎日方法中，網格點隨著材料點移動，可以很好地跟蹤自由邊界，但網格會隨著材料的大變形發生紊亂而影響計算。在ALE方法中，網格點既可以按照純拉格郎日方法移動，又可以按照純歐拉方法移動，還可以根據區域網格重分進行移動。因此，ALE方法介于拉格郎日方法和歐拉方法之間。網格點可以移動但不需要完全跟隨材料點移動，既可以跟蹤自由邊界，也可以利用區域網格重分保持網格質量。區域網格重分方法包括網格規則化和網格自適應。

ALE方法在區域網格重分前后需要保持質量、動量和能量守恒。ALE方法中有3個網格，分別為歐拉網格（x）、材料網格（X）和ALE網格（χ）。材料網格和ALE網格都是由歐拉網格移動得到的，但是ALE網格不完全隨著材料網格移動。3個網格之間存在對應關系，在計算過程中迭代更新。方程組（1）是歐拉網格到材料網格的方程組，方程組（2）是歐拉網格到ALE網格的方程組，分別包括質量守恒、動量守恒和能量守恒方程。方程組（1）和方程組（2）定義在歐拉網格構成的幾何區域上。vX是材料網格區域點移動速度，vχ是ALE網格區域點移動速度，材料點和ALE點相對移動速度為vX-vχ，相對速度可以用于守恒計算中的邊掃略，ρ為密度，σ為應力張量，b為體力向量，E為能量。

方程組（1）和方程組（2）是微分形式，下面考慮積分形式。首先考慮方程組（1）和方程組（2）中的質量守恒方程，在歐拉網格單元K上進行積分，再對時間積分，得到方程組（3）：

方程組（3）中的兩個子式相減，得到：

隨著tn+1的變化，密度ρ會發生變化，網格單元點會發生位移。根據位移，從K產生材料網格和ALE網格中的新網格單元。式（4）左邊是在K上的積分，但是積分得到是K對應的材料網格和ALE網格中的新網格單元上的質量。式（4）右邊是新網格單元之間的邊掃掠，因此式（4）是材料網格和ALE網格之間的質量守恒。和質量守恒類似，還可以同理推導動量和能量守恒公式。

1.2 SPH方法原理

SPH方法[7-9]避免了網格處理，將材料近似成點集，促使材料點和周圍點進行相互作用。質量、動量、能量守恒方程中的物理量可以通過delta函數表示：

該函數可以用核函數近似，積分可以用數值積分近似，于是得到：

類似可以推導散度公式，然后帶入質量、動量和能量守恒方程。從式（5）和式（6）的近似可以看出，SPH方法的實現明顯比任意拉格朗日-歐拉方法要簡單，不需要網格剖分、有限元離散和數值積分。SPH方法需要鄰近點搜索算法，而鄰近點個數會影響計算精度。SPH不具備有網格算法的邊界網格定義，因此需要邊界力和影子粒子等方法來定義邊界條件。

1.3 PFEM方法原理

PFEM方法[10-13]兼具邊界重構算法和網格剖分算法的優點。PFEM是一種拉格朗日方法。PFEM方法中，網格點隨著材料點移動，具有無網格方法的優點。它不像ALE方法基于舊網格的調整獲取新網格，而是根據新網格點云進行邊界重構，再利用邊界重構得到邊界網格作為約束，剖分帶約束的區域網格，從而避免了ALE在舊網格和新網格之間尋找平衡的難點，又具備了有網格方法的優點，避免了SPH方法鄰近點和邊界條件的缺陷。PFEM方法采用了Alpha Shape邊界重構算法，通過調整alpha值可以提高邊界重構的精度，如圖1所示。圖1中第1個圖alpha值為0.001，結果是所有點。第2個圖alpha值為0.1，結果可以識別出L形狀的直角。第3個圖alpha值為1，結果是點云的凸包。

1.4 3種方法的比較

用于金屬切削的數值計算方法種類很多，包括ALE、SPH、PFEM和CEL。各種方法互有優缺點，需根據具體的應用需求選擇合適的計算方法。從原理來說，ALE方法是最理想最復雜的方法，同時具備歐拉方法和拉格朗日方法的優點。它基于網格規則化和自適應獲取新網格，可以避免網格重新剖分，有助于減少計算機的運算量。但是，ALE方法需在紊亂網格和規則網格之間尋找平衡，還需要保持質量、動量和能量守恒，導致算法相對復雜，是我國目前沒有工業級仿真軟件的原因之一。SPH方法在鄰近點和邊界條件上都存在原理性缺陷，存在計算效率、精度和復雜邊界處理上的問題。但是，隨著計算機算力的增強，它在很多問題上體現出了越來越強的優勢。計算機算力增強對PFEM方法也是機遇。PFEM方法同時兼具有網格方法和無網格方法的優點，且算力增強可以彌補PFEM方法作為無網格方法存在的缺陷。

圖1 Alpha Shape

2 金屬切削粒子有限元求解器開發（PFEM）和算例介紹

通過比較PFEM、ALE和SPC，選取PFEM開發金屬切削粒子有限元求解器。求解器可以求解二維和三維問題，圖2為三維垂直切削算例。圖2（a）是切削變形第n時間步網格，第n+1時間步網格點位移；圖2（b）為發生位移后的點云，根據點云進行邊界重構，如圖2（c）中邊界網格；圖2（c）中邊界網格作為約束進行體網格剖分，截面如圖2（d）所示。PFEM表現出了很好的自由邊界處理效果。

圖2 金屬切削粒子有限元求解器的垂直切削算例

點云密度越高，均勻度越高，邊界重構效果越好。為了提高邊界重構的效果，需對邊界網格進行加密。在邊界網格剖分區域網格時，對體網格相對放粗，如圖3所示的截面，邊界網格密度明顯比體網格密度要大，在保證精度的前提下，可以提高計算效率。

圖3 PFEM邊界網格和體網格密度比較

3 結語

本文基于PFEM方法開發了金屬切削粒子有限元求解器，測試了二維和三維垂直切削算例。三維垂直切削雖然簡單，但是既具備一定的工程背景，又可以充分調試切削算法，還可以直接用于解決復雜的問題。在求解器開發和算例測試中，PFEM方法表現出了良好的自由邊界重構效果，可以直接使用有限元方法的邊界條件和接觸算法。目前，計算機算力很強，PFEM方法計算速度也很快，還可以利用自適應算法和并行計算進一步提高計算效率，因此在后續工作中會針對非均勻網格邊界重構、網格自適應、并行計算和三維復雜切削進行研究。