“分部積分法”的“釘釘子精神”課程思政教學探究

馮永平 鄧明香

（廣州大學數學與信息科學學院 廣東廣州 510006）

一、案例主題引入

數學分析主要利用極限工具研究各類函數的分析性質，如單變量函數的連續性、可積性與可微性，多變量函數的連續性、可微性與可積性等內容，是數學類專業、部分理工類專業的專業必修課程。其中不定積分是函數可積性中一個非常重要的教學內容，見[1，2]。不定積分運算是函數求導（微分）運算的逆運算，一般講，正面運算（導數運算）由于有很多的導數求導法則，計算相對簡單，而逆運算，是“找”原函數的過程，重點在于“找”，在于“構造”，如何去“找”或者“構造”沒有統一的準則與模式，相對講困難許多。

不定積分計算中常見的方法有基本積分公式、換元積分方法、分部積分方法[3]。基本積分方法簡言之就是將基本導數（微分）公式反過來使用，也叫做“公式法”，基本積分方法只能計算非常簡單函數的原函數，略微復雜函數的不定積分計算“公式法”是無法完成的。換元積分方法是通過湊微分方法或變量代換方法將看似復雜的積分簡單化。分部積分方法是將“函數乘積的導數運算公式”逆用，通過被積函數的特殊選擇與分解，簡化復雜積分的計算。不定積分由于沒有統一的準則與模式，很多初學者對如何計算不定積分有一種畏懼心理，不知如何出發去“找”或“構造”函數。

課程思政是新時代高校思想政治工作的一場深刻革命。習近平總書記強調，高校思想政治工作關系高校培養什么樣的人、如何培養人以及為誰培養人這個根本問題。要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面。要把立德樹人融入教育各環節，貫穿基礎教育、職業教育、高等教育各領域。習近平強調，我們辦中國特色社會主義教育，就是要理直氣壯開好思政課，用新時代中國特色社會主義思想鑄魂育人，引導學生增強中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信、文化自信，厚植愛國主義情懷，把愛國情、強國志、報國行自覺融入堅持和發展中國特色社會主義事業、建設社會主義現代化強國、實現中華民族偉大復興的奮斗之中。2017年5月，“課程思政”被納入中央《關于深化教育體制機制改革的意見》，從地方實踐探索轉化為國家戰略部署。2017年6月，教育部在上海召開高校思想政治理論課教學質量年上海調研片會暨高校“課程思政”現場推進會。2019年7月，“廣東省教育廳關于強化課程思政建設一流課程的意見（粵教高【2019】7號）”為廣東省高校課程思政建設擬定了指導性文件。

專業課程教學中融入思政元素是每位老師踐行“立德樹人”教育目標的基本要求，如何更好地展開課程思政，有很多專家已進行了初步的探索與實踐[4，5]。“釘釘子精神”是習近平總書記以樸素的話語，提出的一個意蘊深遠的命題[6]。做事好比釘釘子，是要找準方向一錘一錘接著敲，才能把釘子釘實釘牢。在2018-2019第一學期數學分析課程教學中，2019-2010第一學期微積分課程教學中，將“分部積分方法計算不定積分”與“釘釘子精神”類比教學，學生通過類比學習更易掌握計算不定積分的方法，更深刻理解了“釘釘子”精神，深刻把握了學習的主題，隱性地對學生進行了人生觀與科學方法論教育。

教學中通過隱性地將“釘釘子精神”融入到教學中，通過對比，讓學生更易處理“不定積分”計算中出現的困難與問題。

二、與專業教學內容相結合的思政融入點

通過長時間教學探索與實踐，發現不定積分計算過程與習總書記倡導的“釘釘子精神”高度吻合。將“換元積分方法”與“釘釘子精神”相比較，加深同學們對分部積分方法的理解與應用。在講述的過程中每一個環節與釘釘子相比較，讓同學們更易掌握抽象的“分部積分方法”，通過淺顯的道理對學生進行了人生觀和世界觀教育。

課程開始環節首先回顧了一些簡單函數的積分方法，如公式方法和換元積分方法，主要思想是利用鏈式法則及反函數求導法則，將一些看起來復雜的積分通過變量代換轉換為簡單的積分。但在實際計算中經常碰到各種不同類型函數的乘積或某單一函數高次冪不定積分的計算，顯然“換元方法”一般是很難處理這類“復雜積分的計算”。

內容 思政融入點 教學過程和教學方法1。在哪里釘？（基礎與環境）釘釘子做什么？(初心與使命)2。準備合適的釘子與錘子(材料與工具)3。如何定一顆釘子？3。1 看準釘子的方向（釘子要扶正、穩）；3。2 一錘一錘穩扎穩打；每錘落下應仔細觀察方向有沒有偏移？(工作中的敬業精神)；3。3 若釘了幾錘沒有進展，說明下面的環境不能釘釘子，換一個位置；教學過程和教學方法1。已經掌握了許多類型函數的積分（已經有了基礎），一些較復雜函數的積分如images/BZ_191_1879_2382_1996_2434.png不定積分的計算（分部積分方法）怎么算？(初心與使命)2。找相應的公式與算法（分部積分公式），(方法與技術)3。 如何運用公式計算一個不定積分？3。1 計算不定積分有幾個基本出發點，選擇“適當函數”運用公式（無理化有理；高次化低次；函數類型歸一化）；3。2 一步一步仔細計算、思考；每一步計算仔細后比較積分的難度有沒有降低？（學習中要一絲不茍、嚴謹求實）；images/BZ_191_1581_2669_1962_2759.pngimages/BZ_191_1581_2765_1915_2854.png，II比I簡單了。3。3 計算的過程中發現將積分更復雜化了，馬上轉換思路，換一種選擇（方法總比困難多）；images/BZ_191_1581_2944_2069_3044.pngimages/BZ_191_1581_3049_2007_3148.png積分IV比積分III復雜多了,轉換思路。

?

在課程講授環節，讓同學們回憶一下第一次“釘釘子”的經歷，發現學生有很多的經驗分享，多數同學對自己第一次釘釘子時的感受進行了分享，讓同學們暢所欲言，從這件小事我們能總結出什么樣的人生哲理呢？ 從中引出了計算不定積分其實與“釘釘子”過程是高度吻合的，引出了“分部積分方法”的思政教學過程。對典型或一些比較困難的不定積分計算，運用類比教學方法，同學們更易掌握“分部積分方法”的思想與過程，類比過程如上表。

緊接著通過類比，講解了幾種典型函數的不定積分過程，最后總結了運用分部積分方法計算不定積分的注意點。

通過實際生活案例的分享與討論，將其隱性融入了數學專業課程課堂教學，“隨風潛入夜、潤物細無聲”，專業課程思政應該起到這樣的效果，也更容易讓同學們領會貫通。

三、案例意義

結合自身的10多年教學經驗和對數學學科的深刻認識，我們從“認識和傳播數學文化”、“誘發對數學之美的探索”、“數學家的家國情懷”、“闡釋數學哲學與人生價值”等多個方面討論如何做到“知識傳授與價值引領相結合”的有效路徑。通過總結，我們歸納出的高等數學“立德樹人”教學內容為：培養嚴謹求實態度，崇尚理性科學精神，提升數學自然審美，傳揚真摯家國情懷。

在教學中，將看似簡單的“釘釘子精神”與“計算不定積分”相比照，一方面將抽象問題通俗化，便于學生理解。在教學過程中，通過大家熟悉的“釘釘子”小事，讓大家分享了各自的第一次經歷，以此為切入點，類比講述了“不定積分”的計算過程。更重要的是在教學過程中通過類比與小故事分享讓同學們樹立了正確的人生觀（要牢記初心與使命，每一階段要有目標和方向，做事要穩扎穩打循序漸進，工作要深入鉆研不要做表面工作）與科學方法論（多角度看問題，條條大道通羅馬（有難有易），積少成多，熟能生巧（千里之行始于足下））。

四、教學反思

通過教學實踐，學生更易理解并運用分部積分方法，對在計算積分中碰到的困難與問題有了相應的處理思路。由于課時、課室限制，很難長時間、大面積展開。通過網絡教學、線上教學或微課教學，讓每個學生理解小故事中蘊含的大道理，讓大多數同學對抽象的數學有更大的興趣。