含時(shí)Peierls方程的呼吸子近似解

王少峰， 王東旭

(重慶大學(xué)物理學(xué)院， 重慶 401331)

1 引 言

呼吸子是一種空間局域和時(shí)間周期性的非線性振動(dòng)模式. 由于兩個(gè)正反拓?fù)涔伦又g存在相互吸引作用，所以在適當(dāng)?shù)臈l件下，正反拓?fù)涔伦訒?huì)像兩個(gè)耦合粒子一樣呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性振動(dòng)模式，這種模式類似于呼吸振動(dòng)，被稱為呼吸子. 根據(jù)解析理論和模擬分子動(dòng)力學(xué)研究，很多類型的非線性系統(tǒng)中存在呼吸子. 關(guān)于呼吸子的第一個(gè)報(bào)告可以追溯到1969年[1]，這是首個(gè)關(guān)于呼吸子的定性研究. Kosevich和Kovalev在1974年報(bào)告了類似的結(jié)果[2]. 1988年，Sievers和Takeno在Fermi Pasta Ulam(FPU)鏈中獲得了局域激發(fā)[3-5]. 同時(shí)，Campbell和Peyrard在各種晶格模型中觀察到離散呼吸子(并為其創(chuàng)造了這個(gè)術(shù)語)的激發(fā)[6]. 隨后，一大批研究小組開始對(duì)局域激發(fā)呼吸子進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的數(shù)學(xué)研究[7-10]，特別是基于一維、二維晶體的呼吸子研究更為廣泛[11-17]. 重要的結(jié)果之一是在Sine-Gorden方程中找到了呼吸子解析解[18-19]. 但是，到現(xiàn)在為止，著名的非線性模型Peierls方程中的呼吸子研究還未見報(bào)道. Peierls方程中的拓?fù)涔伦颖环Q為位錯(cuò)，由于兩個(gè)正反位錯(cuò)之間存在相互吸引作用，所以正反位錯(cuò)也應(yīng)該可以呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性局域振動(dòng)模式. 本文首先將經(jīng)典Peierls方程推廣為含時(shí)動(dòng)力學(xué)方程，然后參考Sine-Gorden方程中的呼吸子解析解給出了Peierls方程的呼吸子近似解，最后用數(shù)值方法驗(yàn)證這個(gè)近似解確實(shí)是呼吸子解，并且對(duì)其行為進(jìn)行了簡(jiǎn)單討論.

2 含時(shí)的動(dòng)力學(xué)Peierls方程

經(jīng)典的Peierls方程是準(zhǔn)連續(xù)的靜態(tài)平衡方程，存在解析位錯(cuò)解[20]. 由于實(shí)際晶體是離散的，位錯(cuò)的完整行為和性質(zhì)與晶體的離散性密切相關(guān)，所以下面建立全離散的Peierls動(dòng)力學(xué)方程. 基于靜態(tài)全離散Peierls方程[21-23]，推廣的含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程的形式為，

(1)

這里u是相對(duì)位移，m是引入的有效質(zhì)量(不是原子質(zhì)量)，f是廣義層錯(cuò)能的負(fù)梯度，

(2)

其中γ表示廣義層錯(cuò)能，μ是切變模量，σ是滑移面原胞的面積，b是位錯(cuò)的Burgers矢量，無量綱參數(shù)Δ是對(duì)材料廣義層錯(cuò)能的修正參數(shù).

為了以一種與模型無關(guān)的方式確定離散核Ω的具體形式，我們需要討論離散核Ω在k-空間的譜行為.

(3)

(4)

(5)

(6)

用這種方式展開的傅里葉級(jí)數(shù)能夠迅速收斂. 保留傅里葉級(jí)數(shù)的帶頭項(xiàng)，方程(5)和(6)式簡(jiǎn)化為：

(7)

(8)

這樣有，

(9)

利用這些結(jié)果，方程(1)中的第二項(xiàng)可以具體寫成，

(10)

其中ρ(l)=u(l+1)-u(l)是位錯(cuò)密度. 現(xiàn)在含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程的具體形式為，

(11)

在連續(xù)近似下(λ→0)和經(jīng)典Peierls方程比較可知[20]：

(12)

3 Peierls方程的呼吸子近似解

含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程(11)是關(guān)于原子相對(duì)位移變量u的非線性方程，十分復(fù)雜，目前沒有解析求解方法. 在連續(xù)近似下，這個(gè)方程有著名的Peierls精確位錯(cuò)解：

(13)

其中，x=lλ是空間位置坐標(biāo). 這個(gè)解與Sine-Gorden方程的Kink解十分類似. 由于兩個(gè)正反位錯(cuò)之間存在類似于Kink的相互吸引作用，所以一個(gè)自然的推論是：正反位錯(cuò)也能夠像Kink對(duì)那樣呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性振動(dòng)模式，形成呼吸子. 不過Kink的相互吸引作用是指數(shù)衰減的短程作用，而位錯(cuò)之間的相互作用是冪律衰減的長(zhǎng)程作用，根據(jù)相互作用特征的考慮，我們提出下面含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程(11)的呼吸子近似解，

(14)

其中，A和α是兩個(gè)待定的參數(shù)，ω是振動(dòng)頻率，x0表示呼吸子的中心位置. 這里，初始時(shí)刻t=0選取為一對(duì)正反位錯(cuò)疊加形成的局域單峰波包，并且每個(gè)位置的原子相對(duì)位移速度為零，

(15)

為了驗(yàn)證表達(dá)式(14)是呼吸子近似解，我們用數(shù)值方法求解了含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程(11). 由于呼吸子是高度局域化振動(dòng)模，只有呼吸子中心附近的原子參與振動(dòng)，所以我們可以只考慮長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于呼吸子特征長(zhǎng)度的有限鏈. 在具體計(jì)算中，我們選取包含201個(gè)原子的有限鏈進(jìn)行數(shù)值求解.

將t=0時(shí)呼吸子近似解(15)作為含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程的初始條件輸入，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于參數(shù)A和α的一定范圍，動(dòng)力學(xué)Peierls方程的時(shí)間演化行為的確是期望的呼吸子振動(dòng)模式. 作為一個(gè)例子，取方程中的參數(shù)K=μ，取近似解中的參數(shù)A=5，α=1/(1.1*ζp)2，x0=100(呼吸子位于中心)，然后通過數(shù)值方法求解方程考察模式的演化. 圖1是一個(gè)周期T內(nèi)的模式振動(dòng)圖. 圖中初始正反位錯(cuò)疊加形成的局域單峰波包(a)經(jīng)過四分之一周期后單峰消失了，所有原子回歸到平衡位置(b)，但是這時(shí)的原子具有速度，也就是說勢(shì)能轉(zhuǎn)換為動(dòng)能. 再經(jīng)過四分之一周期后動(dòng)能又轉(zhuǎn)換為勢(shì)能，原子位型呈現(xiàn)反相位的局域單峰波包(c). 后半個(gè)周期的行為是模式振動(dòng)的回復(fù)過程. 我們看到呼吸子近似解展示了周期振動(dòng)的特征，是一個(gè)空間局域化的振動(dòng)模.

圖1 呼吸子近似解在一個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間演化過程Fig.1 Evolution of the approximated breather solution in a period

圖2給出了呼吸子中心原子位移隨時(shí)間的變化. 從圖2可以看出，原子的位移隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)出令人滿意的周期性，并且原子的振幅基本保持恒定. 上述結(jié)果表明，我們得到了具有穩(wěn)定振動(dòng)周期的空間局域模，方程(14)是一個(gè)較為理想的呼吸子近似解.

為了驗(yàn)證呼吸子近似解的穩(wěn)定性，圖3給出了t=50T，t=100T，t=200T，t=500T，t=1 000T呼吸子的模式結(jié)構(gòu). 可以看出，這些模式結(jié)構(gòu)幾乎完全一樣. 考慮到數(shù)值計(jì)算帶來的誤差以及表達(dá)式(14)的近似性，可以認(rèn)為含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程呼吸子是穩(wěn)定的.

圖3 原子位型的對(duì)比圖Fig.3 Comparison of atom configuration

圖4 參數(shù)K的影響

圖5顯示了周期T與K的關(guān)系，隨著K增加，周期T明顯下降，這意味著Peierls方程中的呼吸子振動(dòng)頻率變高. 圖中實(shí)線是K與周期T關(guān)系的線性擬合,K與周期T的變化呈現(xiàn)近似的線性關(guān)系:T=3.1617-1.094K.

圖5 周期T與參數(shù)K的關(guān)系

4 總 結(jié)

本文將經(jīng)典Peierls方程推廣為含時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程. 在此基礎(chǔ)上，利用數(shù)值方法研究了動(dòng)力學(xué)方程的呼吸子解. 我們給出了呼吸子解的近似表達(dá)式，并且通過數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了呼吸子解的準(zhǔn)確性，考察了呼吸子解的空間模式和振動(dòng)周期. 對(duì)于小振動(dòng)，線性化下的含時(shí)動(dòng)力學(xué)Peierls方程有聲波解. 容易證明這種聲波具有最小截止頻率. 也就是說動(dòng)力學(xué)Peierls方程的聲波是高頻波. 和Sine-Gorden方程中的呼吸子一樣，Peierls方程的呼吸子的振動(dòng)頻率總是小于聲波頻率，是低頻振動(dòng)模. 鑒于呼吸子的低頻特征，呼吸子的激發(fā)可能是材料低頻內(nèi)耗的主要根源. 關(guān)于這個(gè)問題的詳細(xì)分析，我們將另文討論.