探索性數(shù)學(xué)教學(xué)實驗培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的研究與實踐

趙 勇

（廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院，四川廣安 638000）

0 引言

“創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力，也是中華民族最深沉的民族稟賦。”《國家創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略綱要》［1］指出，要讓創(chuàng)新成為引領(lǐng)發(fā)展的第一動力，要推動教育創(chuàng)新，把科學(xué)精神、創(chuàng)新思維、創(chuàng)造能力和社會責(zé)任感的培養(yǎng)貫穿教育全過程。數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心，是科技創(chuàng)新必不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力的技術(shù)，高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)正在成為共識［2］。

探索性實驗是指采用科學(xué)思維方法，進(jìn)行大膽設(shè)計，探索研究的一種開放式教學(xué)實驗，實驗實施的基本程序與科研過程基本一致［3］。探索性數(shù)學(xué)實驗不僅要用到數(shù)學(xué)知識，還要用到非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識，按照分析整理的數(shù)據(jù)與信息自行設(shè)定已知條件，將問題經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)經(jīng)典理論和算法提出解決思路和解決方案。探索性數(shù)學(xué)實驗強調(diào)學(xué)生的主體地位，訓(xùn)練學(xué)生快速獲取信息和資料、快速了解和掌握新知識的能力、團(tuán)隊合作意識和團(tuán)隊合作精神、邏輯思維和開放性思考方式，是培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)——即創(chuàng)新人格、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實踐的有效途徑。

1 探索性數(shù)學(xué)實驗的構(gòu)建

高校數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，不能停留在營造創(chuàng)新的“氛圍”、開展創(chuàng)新“活動”，而應(yīng)設(shè)計有探索性的數(shù)學(xué)實驗任務(wù)，鼓勵學(xué)生利用創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實踐完成任務(wù)并及時給予有效指導(dǎo)。探索性數(shù)學(xué)實驗與生產(chǎn)、生活實際緊密結(jié)合，所解決的問題沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象和數(shù)量轉(zhuǎn)化，量與量之間的關(guān)系不明確，需要學(xué)生自己動手去采集、分析、整理數(shù)據(jù)和信息。在教學(xué)實踐中，利用國家政策、社會熱點、生活實際需求構(gòu)建項目任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，越來越受到師生的歡迎與青睞。究其原因，在于探索性數(shù)學(xué)實驗有一定的挑戰(zhàn)度，沒有創(chuàng)新就不能完成實驗任務(wù)，學(xué)生通過實驗獲取了信息歸結(jié)、探求新知、思維創(chuàng)新，最終解決問題所帶來的成就感、獲得感。

探索性數(shù)學(xué)實驗構(gòu)建原則上要學(xué)生參與，通過數(shù)學(xué)協(xié)會在全校廣泛征集實際問題，由學(xué)生自行查閱資料，擬定實驗方案，與指導(dǎo)教師一起敲定實驗方案，發(fā)布并實施，學(xué)生自行組隊開展實驗，實驗以課題的形式加以推進(jìn)。根據(jù)實驗方案進(jìn)行反復(fù)實驗、討論，提出解決方案，對比分析實驗結(jié)果，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣度、挑戰(zhàn)度和獲得感；要求學(xué)生撰寫實驗報告，格式應(yīng)工整，圖文并茂，程序規(guī)范；實驗完成后要總結(jié)匯報，組織數(shù)模協(xié)會學(xué)生對實驗進(jìn)行總結(jié)，相互交流，取長補短。

2 探索性數(shù)學(xué)實驗的案例

結(jié)合成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟圈這一國家級的發(fā)展戰(zhàn)略，形成了優(yōu)化成渝地區(qū)城市群旅游交通路線為任務(wù)的實驗題目：《2019 年新型城鎮(zhèn)化建設(shè)重點任務(wù)》明確將成渝城市群與京津冀城市群、長三角城市群和粵港澳城市群并列［4］。成渝城市群旅游資源非常豐富，連接旅游城市的高速公路網(wǎng)絡(luò)較為完善，2019 年川渝高速總里程超10 000 km，預(yù)計到2022 年將達(dá)到12 000 km，高速公路在促進(jìn)交通運輸與旅游融合發(fā)展發(fā)揮了重要作用。旅游交通特別是高速公路交通的便利程度，是區(qū)域旅游業(yè)是否發(fā)達(dá)的重要因素。試從旅游一體化發(fā)展、旅行成本最小化的角度，優(yōu)化成渝城市群旅游交通路線。

2.1 問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化

針對該問題，學(xué)生查閱、整理和分析相關(guān)資料，得到如下結(jié)論：旅游交通路線的選擇是旅行組織最優(yōu)先考慮首要成本要素，尋求最短的交通路線是游客追求時間最少獲得更多的旅游體驗、旅行社追求最小的成本獲得最大的收益的前提。在旅游交通線路線路況、交通流量等相差不大的情況下，最優(yōu)化路線實際上就是遍歷所有旅游城市的最短交通路線。尋求最短路線是節(jié)約旅游成本、時間的最好途徑，也是規(guī)劃旅游線路的首要考慮。于是，問題就轉(zhuǎn)化為求遍歷n 個川渝旅游城市最短的高速公路旅行路線，其中這n 個城市學(xué)生可以自行選擇。問題經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化后，學(xué)生開展實驗的方向明確了，接下來就是合理假設(shè)和尋求問題的解決方案。

2.2 解決問題的基礎(chǔ)知識

圖是由表示頂點的集合V 和表示頂點之間關(guān)系的集合E組成的，通常表示為G=（V，E），其中，G 表示一個圖，V是圖G中頂點的有窮非空集合，E 是圖G中邊的有限集合。設(shè)G 為圖，圖的頂點集為V=｛v1，v2，…，vn｝，邊集為E=｛e1，e2，…，en｝，對圖的每一條邊e=（vi，vj）來說，都對應(yīng)于一個實數(shù)wij（可以理解為邊的“長度”），把wij稱為e 的“權(quán)”，這樣的圖G 稱為“加權(quán)圖”，其加權(quán)鄰接矩陣L=（lij）n×n可以定義為

圖的用途是將圖中的點和映射關(guān)系反映到現(xiàn)實生活，例如“頂點”可以對應(yīng)為旅游交通節(jié)點城市；邊對應(yīng)節(jié)點城市公路的長度，如此便構(gòu)成了一張區(qū)域交通圖。旅游交通路線是指連接旅游城市的高速公路網(wǎng)絡(luò)，如果只考慮旅游城市與高速公路構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)潢P(guān)系，可將旅游交通路線抽象成一個圖（Graph），其中旅游城市是圖的頂點；連接旅游城市的高速公路是圖的邊。在圖論中，最短路問題通常指求加權(quán)圖中兩個指定點（一般為不相鄰的點）之間的最短路徑。許多學(xué)者開展了最短路問題和最短路徑優(yōu)化問題的研究，如文獻(xiàn)［5-12］。

0-1 規(guī)劃是決策變量僅取值0 或1 的規(guī)劃模型。0-1 變量可以數(shù)量化地描述諸如開與關(guān)、取與棄、有與無等現(xiàn)象所反映的離散變量間的邏輯關(guān)系、順序關(guān)系，以及互斥的約束條件，因此0-1 規(guī)劃模型非常適合描述和解決如線路設(shè)計、工廠選址、生產(chǎn)計劃安排、人員安排、代碼選取、可靠性等人們所關(guān)心的多種問題，是運籌學(xué)的重要分支［13-14］。

2.3 兩點之間最短路問題一般模型

已知無向加權(quán)圖有n個頂點，設(shè)為v1，v2，…，vn，見圖1。

假設(shè)圖G的加權(quán)鄰接矩陣為

其中：lii=0。若vi，vj之間沒有邊，不直接連通，則lij=∞；若vi，vj之間有邊，則lij=wij，i，j=1，2，…，n。圖1是無向圖，L0是對稱矩陣，lij=lji。

圖1 有n個頂點的加權(quán)圖

利用Floyd 算法計算各頂點之間的最短通路值，其基本思路是：遞推產(chǎn)生一個矩陣序列L0，L1，L2，…，Lk，…，Ln，Lk（i，j）表示從頂點vi到頂點vj的路徑上所經(jīng)過的頂點序號不大于k的最短路徑長度。建立迭代模型如下：

其中：k是迭代次數(shù)，i，j，k=1，2，…，n。當(dāng)k=n 時，Ln即是各頂點之間的最短路徑［15-16］。

2.4 遍歷所有頂點的最短路徑一般模型

假設(shè)n個頂點每2 個頂點以最短的距離互相連通，dij表示vi到vj的最短距離。設(shè)0-1 矩陣Xij=（xij）n×n，且xij=于是，若每個點之前只有一個點，1，i=1，2，…，n；若每個點之前只有一個點，則1，j=1，2，…，n。同時，為避免在一次遍歷n個點的計算過程中產(chǎn)生多于一個互不相連的回路，加入約束條件，引入額外變量ui（i=1，2，…，n），使得：ui-uj+nxij≤n-1，1 ＜i≠j≤n。對于此約束條件的解釋是：一方面，vi、vj不可能構(gòu)成回路。若構(gòu)成回路，則xij=1 且xji=1，則ui-uj≤-1 且uj-ui≤-1，于是0≤-2，矛盾。另一方面，vi、vj和vk不可能構(gòu)成回路。若構(gòu)成回路，則xij=1、xjk=1 且xki=1，于是ui-uj≤-1、uj-uk≤-1 且uk-ui≤-1，三式子相加可得0≤-3，矛盾。

于是可以建立最短路徑的一般模型如下：

2.5 成渝城市群最短旅游交通路線實際案例

學(xué)生選取川東北地級市南充、廣安、達(dá)州、遂寧和重慶的合川、沙坪壩、永川、南川、武隆9 個成渝地區(qū)旅游節(jié)點城市，以高速公路交通線路構(gòu)建城市群旅游路線，9 個城市交通矢量圖如圖2 所示。

圖2 9個城市高速公路交通矢量圖

假設(shè)以廣安為起點和終點（即從廣安出發(fā)，旅行完8 個城市后回到廣安）求解最短交通路線。利用模型（1）、（2）求出遍歷9 個城市的最短路線。假設(shè)9 個城市與圖的頂點對應(yīng)關(guān)系見表1。

表1 9 個城市與圖的頂點對應(yīng)關(guān)系

第1 步：根據(jù)任意兩點最短路徑求解模型（1），編寫Lingo程序如下：

可以計算出各個節(jié)點城市之間的最短距離，見表2。

表2 9 個節(jié)點城市之間的最短距離

第2 步：根據(jù)遍歷所有頂點的最短路徑求解模型（2），編寫Lingo程序：

計算出最優(yōu)化路線為：v1→v2→v3→v5→v6→v7→v8→v9→v4→v1，即最優(yōu)化的旅游交通路線為廣安→南充→遂寧→合川→沙坪壩→永川→南川→武隆→達(dá)州→廣安，如圖3 所示。

圖3 9個城市高速最短路徑

3 探索性數(shù)學(xué)實驗的效果

本探索性實驗解決問題采用的算法和軟件較多，大致可以歸納為以下幾個算法和軟件（見表3）。

表3 學(xué)生采用的算法和軟件

學(xué)生基于圖論知識，積極學(xué)習(xí)、掌握以上算法的基本思路，融匯貫通，創(chuàng)建了切實可行的模型，比較圓滿地解決了問題。對于參與本實驗的12 個小組使用的算法情況統(tǒng)計如表4。

表4 12 個小組使用的算法、程序統(tǒng)計

通過實施探索性數(shù)學(xué)實驗，對學(xué)生創(chuàng)新人格、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新實踐有積極影響，有效培養(yǎng)了大學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)。具體表現(xiàn)在以下3 個方面：①激發(fā)了學(xué)生好奇心，培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、獨立自信的良好特質(zhì)，解決了“想不想”的問題。探索性實驗來源于生產(chǎn)生活，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象和數(shù)量轉(zhuǎn)化，沒有解決的范式和套路，具有一定的難度和挑戰(zhàn)性，能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心、樹立學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生不畏困難、勇于挑戰(zhàn)。②訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行信息梳理聚焦，多角度尋找解決問題的方法，鍛煉了學(xué)生思維能力，解決“能不能”的問題。實驗以項目的方式展開，鼓勵學(xué)生積極探索，運用新知識、新技術(shù)、新方法開展實驗研究。統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生在實驗中創(chuàng)新運用了各種新知識、新理論和新軟件，進(jìn)一步鍛煉了學(xué)生邏輯思維和開放性思考方式，拓展了學(xué)生理論知識的應(yīng)用實踐，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。③有效驅(qū)動學(xué)生全身心投入創(chuàng)新實踐，解決學(xué)生“做不做”的問題。探索性數(shù)學(xué)實驗鍛煉了學(xué)生快速獲取信息和資料的能力，學(xué)生必須快速查閱大量信息和資料，才能對問題有全面、深入地了解，問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化才準(zhǔn)確、具體；實驗中每個人分工明確，同時又相互協(xié)作，一起討論實驗方案，充分討論數(shù)學(xué)模型和求解方案，在個性得到充分彰顯的同時，更注重團(tuán)隊協(xié)作。

表5 所示清晰地列出了探索性數(shù)學(xué)實驗對學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng)效果。

表5 探索性數(shù)學(xué)實驗對學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的影響

近年來，學(xué)生在全國大學(xué)生建模大賽中獲得全國一等獎2 項，二等獎5 項，省級獎17 項，較探索性數(shù)學(xué)實驗實施之前增加100%；學(xué)生科研近年來申請實用新型專利2 項，與教師申報校級科研課題3 項，發(fā)表論文5 篇。

4 結(jié)語

相對于既定的數(shù)學(xué)實驗，以任務(wù)驅(qū)動的探索性數(shù)學(xué)實驗，更能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣度、挑戰(zhàn)度和獲得感，有利于學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng)。但探索性數(shù)學(xué)實驗實施過程中也存在一系列問題，比如：學(xué)生對背景資料的查閱、分析、整理不夠重視，知識點沒有完全吃透便急于開始實驗；實驗報告的撰寫浮躁、低級錯誤較多，如排版、字體字號不規(guī)范；在實驗過程中或多或少存在著依賴現(xiàn)象，對問題沒有自行深入學(xué)習(xí)、分析和研究，遇到問題便請教老師等。對于探索性數(shù)學(xué)實驗，我們將進(jìn)一步規(guī)范流程和要求，完善評價體系，注重過程性評價，鼓勵學(xué)生進(jìn)行思維、知識、理論和實踐創(chuàng)新，提升學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)，不斷鞏固實驗效果，為培養(yǎng)新時代創(chuàng)新型人才貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)力量。