基于靈敏度的六自由度并聯機構誤差分配方法

譚 爽，梁鳳超，陳 龍，林 喆，康建兵

（北京空間機電研究所，北京 100090）

0 引言

由于受到發射力學環境、在軌重力場和溫度場等因素的影響，空間光學載荷系統入軌后部組件易產生相對位姿失配和面形誤差，導致光學載荷的探測性能偏離原有設計、系統探測性能和成像質量嚴重衰減［1-2］。對于傳統中小口徑光學載荷系統，通常采用先進的熱控、輕量化、桁架、重力卸載等技術手段，弱化入軌后重力場和溫度場變化所造成的影響，從而保證光學系統的探測性能和成像質量［3-5］。而對于大口徑高性能光學載荷系統，其部組件尺寸更大，受熱力場與重力場變化的影響更敏感，探測性能和成像質量對部組件位姿及面形精度的要求更加精確，傳統的輕量化、無熱化等被動技術手段已無法滿足大口徑高性能光學載荷的宇航工程需求。針對這一工程難點，國外已采用主動光學與自適應光學的方法，在光學載荷系統中增加精密主動調整控制裝置，在軌矯正部組件的相對位姿失配與面形誤差，確保大口徑高性能光學載荷在軌運行時的探測性能和成像質量［6-8］。在工程實現方面，國外主要采用六自由度并聯機構作為次鏡或拼接主鏡的位姿調整機構［9-11］。六自由度并聯機構有精度高，剛度大，動態性能好和摩擦小等優點［12-14］。

大口徑光學載荷系統對六自由度并聯機構的精度要求可達到亞微米級與角秒級，對六自由度并聯機構精度指標較為嚴格，因此在設計時必須進行精度分析與誤差分配［15-16］。精度分析是根據六自由度并聯機構各組成部件的加工誤差和安裝誤差，分析它們對六自由度并聯機構位姿誤差的影響，修改相關誤差參數，以達到期望的精度指標。誤差分配是根據并聯機構位姿精度指標的要求，反求應分配給各組成部件的制造誤差和安裝誤差，并使其達到一定的均衡。

在并聯機床的精度分析領域，已經有一些學者進行了探討，但在精度綜合領域，目前研究還較少。在誤差綜合中，由于位姿誤差與鉸點誤差關系高度非線性與強耦合，在給出精度指標要求時，無法利用誤差模型直接求出鉸點誤差。盧強等［17］利用蒙特卡洛法，綜合考慮零部件制造公差和運動副配合間隙誤差，對六腿并聯機床進行了精度綜合。該方法具有過程清晰、編程簡單的優點，但Monte Carlo方法計算精度的可靠性體現在樣本點的容量，對一個位姿，樣本容量為（10～100）×104，如果在全工作空間內進行位姿精度分析，其計算量巨大，難以實現。趙永杰等［18］運用誤差獨力作用原理和原始誤差等效原則，將誤差模型線性化，進行誤差綜合，使并聯機器人精度綜合變得簡單可行，但是忽略了模型的耦合性。趙新華等［19］以6-SPS并聯機器人機構為例，在結構誤差敏感方向建立了桿長誤差與位姿誤差之間的解析關系，得出誤差影響系數，該方法在某一位姿時只需要計算一個方程組，就能夠實現精確、定量的誤差分析，但沒有考慮鉸點位置誤差關系，無法為鉸點安裝與制作提供指導依據。

本文建立六自由度并聯機構誤差模型，并利用誤差模型定義鉸點誤差的靈敏度，給出位姿誤差一定時鉸鏈鉸點位置誤差分配方法，避免了大量運算。該方法簡單高效，適用于六自由度并聯機構鉸點誤差分析。

1 理論基礎

Stewart平臺是典型的六自由度并聯機構，本文研究的是如圖1 所示的6-UCU并聯機構：該機構上下平臺以6 個分支相連，每個分支兩端是兩個胡克鉸，中間是一圓柱副。驅動器推動圓柱副作相對移動，改變各桿的長度，使上平臺變化在空間的位置和姿態。

圖1 6-UCU型Stewart并聯機構

上下平臺各個鉸鏈點分別記作bi和Bi（i=1，2，…，6），分布為：bi分布在半徑為r的圓上，且b1、b3、b5和b2、b4、b6分別構成2 個正三角形，其相對夾角為α，如圖2（a）所示；Bi分布在半徑為R的圓上，且B1、B3、B5和B2、B4、B6分別構成2 個正三角形，其相對夾角為β，如圖2（b）所示。零位姿時上下鉸點所在平面之間的距離為六自由度并聯機構的高度H，桿長記為L0。r、α、R、β和H決定了六自由度并聯機構的構型，為結構參數。

圖2 Stewart平臺鉸點分布

并聯機構常用的誤差模型在只考慮幾何誤差的情況下，非幾何誤差因素對并聯機構運動精度的影響較小，于是在建立Stewart六自由度并聯機構的誤差模型時可忽略非幾何誤差因素，只考慮安裝誤差、制造誤差和桿長誤差等系統誤差。系統誤差考慮以下幾點：

（1）安裝誤差。對Stewart并聯機構而言，固定在動平臺與靜平臺上的鉸鏈安裝誤差參數共有36 個獨立參數。

（2）制造誤差。鉸鏈本身受加工精度和安裝精度的限制，其回轉軸線間并不可能理想的垂直，運動中心不可能重合于一點，這些都影響著鉸鏈的運動精度。

（3）桿長誤差。驅動支鏈桿在加工過程中受到加工精度的影響，其初始長度也會存在誤差，一共6 個獨立的長度誤差參數dli（i=1，2，…，6）。

鉸鏈的安裝誤差和制造誤差最終造成鉸鏈旋轉鉸點有位置偏差，即鉸點位置誤差，一共有36 個：dcj（Δxbi，Δybi，Δzbi和ΔxBi，ΔyBi，ΔzBi）（i=1，2，…，6，j=1，2，…，12）。因此，對于一般的Stewart 平臺，為了減小標定模型的復雜性，在進行誤差建模的過程中只考慮鉸點誤差和桿長誤差共計42 項獨立的機構參數誤差，并進行誤差數學建模。

對上平臺進行歐拉旋轉：①首先繞動坐標系z 軸轉動Ψ；②然后繞動坐標系y 軸轉動φ；③最后繞動坐標系x軸轉動θ。

由上平臺向慣性參考坐標系投影，可得表示上平臺姿態的方向余弦陣為

式中：

當給定機構的各個結構尺寸和動平臺的位姿后，可確定動平臺鉸鏈點在動坐標系中的坐標Pbi，再通過旋轉矩陣的變換可求出動平臺鉸鏈點在靜坐標系中的位置qbi，即

這時，支桿桿長矢量li可在固定坐標系中表示為

式中：li為第i個支桿的桿長；ni為第i 個支桿的單位向量；Bi為靜平臺鉸第i個鉸點在靜坐標系中的坐標。

對式（3）進行全微分，得：

綜合6 個驅動支桿，式（7）整理成矩陣形式，可得：

式中：

將式（8）整理成六自由度并聯機構的誤差模型：

式中，

dq為動平臺位姿誤差矢量；dl 為6 個支桿的桿長誤差；ds為動、靜平臺鉸鏈的鉸點位置誤差；de是包含dl與ds 42 項獨立的機構參數誤差；J是六自由度并聯機構結構參數存在誤差情況下的誤差傳遞矩陣，即誤差傳遞雅克比矩陣。

2 鉸點誤差分配方法

考慮到桿長誤差可以在控制算法中補償，因此為了簡化誤差分配的難度，在誤差分配時只考慮鉸點誤差，即dl=［0 0 0 0 0 0］，代入式（9）可得：

因為Js不是方形矩陣，無法求逆，因此當已知六自由度并聯機構位置與姿態誤差時，無法根據式（10）的逆向運算求得鉸點誤差。為解決該問題，引入矩陣奇異值進行精度誤差分析。

為了將六自由度并聯機構每個鉸點誤差與機構的位置誤差與姿態誤差分別對應，令：

從式（11）可知，J1j與J2j分別為六自由度并聯機構的第j個鉸點對位置和姿態的誤差傳遞矩陣，對J1j與J2j進行奇異值分解，分析誤差傳遞特性，可以得到機構鉸點誤差和位姿誤差的傳遞特性，即機構誤差傳遞靈敏度評價指標。

以J1j為例，設鉸點誤差向量滿足≤ρ，根據式（11）有

對誤差傳遞矩陣F進行奇異值分解，得

式中：U=［u1，u2，…，um］和V=［v1，v2，…，vm］分別是和的特征向量矩陣，且Σ=［diag（σ1，σ2，…，σm）0］，σi是J1j的奇異值項（σ1≥σ2≥…≥σm≥0）。則J1j的逆矩陣為

式中

將式（14）代入式（12）有：

定義J1j和J2j矩陣的奇異值最大值為并聯機構鉸鏈鉸點靈敏度（EAF），

當鉸點位置誤差一定時，靈敏度值越大，對應的機構位姿誤差也就越大，機構位姿精度就越低；反之，當位姿誤差一定時，靈敏度值越大，鉸點位置誤差值也就越小，即鉸點精度就越高。

對于六自由度并聯機構，當位姿誤差為dq 時，可得鉸點位置誤差dcj應滿足：

式中

在復合運動不同位姿中，對每一個誤差傳遞矩陣，先根據式（16）計算每個鉸點在相應位姿時的EAF，再取整個過程中每個鉸點對應的EFA最大值，為整個運動過程中該鉸點的EAF。最后根據式（17）可求出每個鉸點的位置誤差，用來指導鉸鏈的加工與安裝。

3 某型號六自由度并聯機構的鉸鏈鉸點誤差分析

對于某空間光學遙感系統中六自由度并聯機構精度要求為平移精度2 μm，旋轉精度2″，即19.39 μrad，結構參數如下：r=239.51 mm，R=249 mm，H=195.03 mm，α=0.23 rad，β=0.268 rad。

為能夠計算出各個鉸點的EFA，需要讓上平臺運動到所有要求的六維工作空間。為簡化計算量，給定上平臺低頻平移自由度運動規律與高頻轉角自由度運動規律的復合運動，如表1 所示。以此為仿真規律，仿真總時間為60 s。

表1 復合運動仿真規律

在復合運動中，以時間0.1 s為步距，在MATLAB中編程，計算每個鉸點在所有位姿下的靈敏度EAF值，如圖3 所示。由圖可以看出，不同位姿對應的靈敏度是不一樣的。但靈敏度數值不會相差過大，始終在一個數量級上。取最大值為在該復合運動中鉸點的EAF，如表2 所示。

圖3 位姿位差對鉸鏈鉸點誤差的靈敏度

表2 運動范圍內不同鉸點對應的EAF

當給出位姿誤差（即動平臺運動精度）時，先合理分配位姿誤差，這里考慮工作范圍內，鉸點誤差的占比是一樣的，均勻分配給每個鉸點，則對于鉸點b1，有dqt_b1=dqt/12dqr_b1=dqr/12，其位置誤差在半徑為dqt_b1的包絡球內，姿態誤差在半徑為dqr_b1的包絡球內。根據式（16）可以求出鉸點b1位置誤差：

對鉸點b1，其位置誤差應該在半徑為0.508 μm 的包絡球內。

同理可求出每個鉸點的位置誤差，如表3 所示，可以知道每個鉸鏈在加工與安裝過程中造成的鉸點位置誤差應該在某個包絡尺寸內。

表3 鉸鏈鉸點位置誤差

可以得到，每個鉸點的位置誤差在同個數量級，相差在0.39%以內。在實際應用過程中，可以選取任意鉸鏈鉸點進行計算分析。

4 結語

對于高精度六自由度并聯機構，鉸鏈的加工安裝誤差至關重要。然而位姿誤差與鉸鏈鉸點誤差關系具有非線性強耦合多變量等特點，在給定六自由度并聯機構的六個位姿誤差時，無法直接求解出36 個鉸點誤差。文章基于靈敏度提供了一種鉸點誤差分配方法。該方法計算過程清晰，相對簡單，計算量小，在高精度六自由度并聯機構的鉸鏈加工與安裝中給出精度指導與依據。