促進概念理解的數學表征

黃芬 周云霞

摘要：為了讓學生獲得真正的數學理解，教師應幫助他們通過多種表征，促進概念理解。可引導學生通過動作表征、實物表征、圖式表征、算式表征等，多角度深入理解數學概念。

關鍵詞：小學數學;數學表征;概念理解;可視化

數學概念是數學知識的“細胞”，也是學生學習的基礎。學生對概念的理解和掌握，直接關系到學生數學素養的發展。教師可引導學生通過動作表征、實物表征、圖式表征、算式表征等，多角度深入理解數學概念。

一、動作表征

動作表征是指使用動作反應來表示知識。小學生處于從具體形象思維向抽象思維過渡的階段，動作表征能讓他們觀察和感知到隱藏在動作中的數學概念，并直觀表示該概念。

例如，教學蘇教版小學數學二年級上冊《認識厘米》時，教師設計動手活動，讓學生在動作中感知，在經歷中體驗，進而建立1厘米的概念意象。首先，觀察1厘米的小棒，初步感知1厘米的長度。然后，開展“花兒開”游戲——邊說“花兒開，花兒開，花兒開開，1厘米”，邊比畫1厘米的長度，在反復比畫中，讓花兒開出的長度接近1厘米。

二、實物表征

受年齡、知識、生活經驗等的限制，學生在理解事物時通常會先感知事物的具體形象。實物表征是指用具象化的實物或實物圖形來表示抽象的文字，幫助學生更好地理解概念。

例如，教學蘇教版小學數學三年級上冊《倍的認識》時，在初步認識“倍”的階段，借助紅花和綠花、桃子和蘋果、紅糖和綠糖以及不同顏色的正方形等實物圖形，讓學生通過圈一圈的方式理解“倍”，從而更清晰地理解倍的內涵。

三、圖式表征

圖式表征是指借助可視的、易理解的圖式來表征抽象深奧的數學知識。在課堂教學過程中，教師可以借助圖式表征，豐富學生的感知，發揮學生的主觀能動性，促進概念理解。

例如，《小數的意義》的教學，教師通過問題“0.4元表示什么意思？你能不能運用以前學過的知識和獲得的經驗把這個小數表示出來”，引導學生嘗試用畫圖的方式表達自己對于小數意義的理解。學生呈現了如圖1—圖3所示的多元化表達。利用圖式表征，學生溝通了小數和十進制分數之間的關系，進一步深化了對概念的理解。

四、算式表征

算式表征是指借助不同的正例與反例的算式，抽象出概念本質的一種表征方式。抽象是人們在分析、比較和綜合客觀事物的屬性和特征的基礎上，拋棄非本質屬性并提取其本質屬性的思維過程。借助算式表征，可以幫助學生進行概念抽象，加深對概念的理解。

以《倍數和因數》一課為例，教學片段如下——

師把12個人分成若干小組，每組人數相同，可以怎么分？

（教師拿出12支粉筆請學生演示，一位學生演示，一位學生記錄。學生得到算式2×6=12、3×4=12、12÷2=6、12÷3=4。）

師把這四道算式分分類，可以怎么分？

生乘法算式一類，除法算式一類。

師在算式2×6=12中，2和6是12的因數，12是2和6的倍數。誰來說一說算式3×4=12中的因數和倍數？

生3和4是12的因數，12是3和4的倍數。

師12÷2=6、12÷3=4 這兩個除法算式中，有因數和倍數嗎？

生除法算式中也有因數和倍數。

師因數和倍數在加法算式和減法算式中存在嗎？你能舉例說明嗎？

生不存在。如算式7+5=12，7和5不是12的因數，12也不是7和5的倍數。同理，算式12-5=7，7和5不是12的因數，12也不是7和5的倍數。因此，因數和倍數只在乘法算式和除法算式里有。

師因數和倍數在所有的乘法算式和除法算式中都有嗎？

生不是的。有余數的除法算式，如12÷5=2……2，就不能說5和2是12的因數，12也不是5和2的倍數。倍數和因數所指的都是大于0的整數。

師那到底什么是因數？什么是倍數？

（學生總結。）

學生是一個個獨立的個體，不同的學生個體對概念的定義有個性化的理解或表達，他們對于概念的表示也有不同的選擇。為了讓學生獲得真正的數學理解，教師應幫助他們借助多種表征，深化概念理解。

參考文獻：

[1] 曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[2] 袁慧娟.借助多元表征理解概念本質——基于表征理論的“倍的認識”教學研究[J].小學教學研究，2019（25）.