對發展學生數學思考的思考

王燕

摘要：數學學科有其獨特的學科育人價值。數學課堂不能僅僅停留在表面的“有意思”，而是應該追求“有意義”的學習建構，促使學生形成“以思為樂” 的積極學習心向，發展數學思考。教師要發揮組織引導作用，通過深度開發教材，變化拓展，為學生提供思考的載體;靈活處理課堂生成，為學生營造思考的場域。

關鍵詞：小學數學;數學思考;教材開發;課堂生成

人之所以偉大，在于其能夠獨立思考和善于思考。數學學科有著獨特的學科育人價值。數學課堂不能僅僅停留在表面的“有意思”，而是應該追求“有意義”的學習建構，促使學生形成“以思為樂” 的積極學習心向，發展數學思考。立足自身的教學實踐經驗，筆者在此提出幾點思考。

一、教材內容再開發，提供思考的載體

教材是小學生數學學習的重要載體。因此，教師應盡可能地挖掘教材，在例題延伸中，激活學生的數學思考;在變式練習中，發展學生的發散思考能力。

（一）例題延伸

例如，蘇教版小學數學五年級下冊教材在講解了分數乘整數的意義和計算法則以后，介紹了“可以先約分，再計算”的方法，但教材中的例子612不能讓學生明顯地感覺到先約分的必要性。為此，在學生掌握了分數乘整數的計算方法并進行了一定練習以后，筆者出示算式 29999×7777，讓學生比一比，看誰算得又對又快。學生眼前一亮，興致勃勃地開始計算，但很快便覺得2與7777相乘計算比較麻煩。這時，筆者引導學生觀察：“題中的數字有什么特點，怎樣算比較簡便呢？”許多學生通過思考，恍然大悟，自覺地運用了先將7777與9999約分，然后再將7和2相乘的方法。

在例題教學后進行延伸，為學生提供自主探究的場域，促其自然得出“分數和整數相乘，先約分再乘比較簡便”這一結論。這顯然比直接告知學生更能激活他們的思考。

（二）變式練習

變式練習，是指改變問題的非本質特征，從而凸顯問題本質特征的練習。在高年段小學數學教學中，尤其要強化變式練習。這就需要教師真正把“用教材教”落到實處，通過改編題目的方式發散學生的思考，并最終歸攏到問題的本質上。這樣，不僅能培養學生的發散思考能力，更能鍛煉學生分析問題和解決問題的能力。

例如，在教學“立體圖形的表面積”時，筆者展開了如下教學：

師（出示圖1、圖2）用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體，哪個長方體的表面積大？大多少？

（學生交流討論解題思路和方法。）

師6個正方體還可以拼成怎樣的立體圖形？拼成的圖形表面積是多少？體積是多少？

生（展示拼法，如圖3）可以拼成這樣，前后兩面合起來是10平方厘米，左右兩面合起來是8平方厘米，上下兩面合起來是8平方厘米，總共是26平方厘米。因為是6個小正方體，所以體積是6立方厘米。

師還可以怎樣拼呢？

（學生展示交流拼法，部分學生拼法如圖4、圖5所示。）

師這么多拼法，在算表面積和體積時，有什么好辦法嗎？

生算表面積時，可以算出前面和后面、上面和下面、左面和右面分別是幾平方厘米，然后加起來;算體積時，有多少個小正方體，面積就是幾立方厘米。

本節課，筆者通過“還可以拼成怎樣的立體圖形？”這一問題，引導學生發散思考，進而讓學生歸攏方法的實質：拼法是非本質特征，無論怎么拼，在求類似立體圖形的表面積時，本質方法是一致的，都是先算一個面的面積，再數數一共有幾個這樣的面，優化得到從前面、左面、上面看分別有幾個面的方法。這樣發散思考的過程中，學生學習的積極性、主體性充分發揮，在深刻理解知識的同時提升了空間想象能力。

二、靈活處理課堂生成，營造思考的場域

（一）在比較中降低思考的坡度

在解決問題時，有些問題的條件是內隱的，需要學生仔細分析與挖掘。部分學生會用自己的方式將問題中隱含的條件顯現，讓內隱的想法外顯，使得問題變得直觀、形象。這需要教師有一雙善于發現的眼睛，抓住學生的“靈光”，引導全班交流，在比較中降低思考的坡度。

有這樣一道題：暑假期間，小林每6天游泳一次，小軍每8天游泳一次，7月31日兩人在游泳池相遇，那么8月幾日他們又會再次相遇？有的學生通過在日歷上按要求圈一圈找出了答案，有的學生通過找最小公倍數的方法解決了問題，有的學生兩種方法都用了。筆者在巡視時發現了一個學生的“特殊”解法（如圖6），據此展開了教學：

師說說看，你為什么列式0+24=24？

生和最小公倍數有關。在此相遇，說明這個時間既是小林游泳的時間，也是小軍游泳的時間，也就是他們倆游泳時間的倍數，即找6和8的最小公倍數。

師為什么要列0+24=24這樣的算式？“0”表示什么？從哪里來的？

生（邊回答邊在日歷上比畫）他們兩人第一次相遇是在7月31日，我們可以理解成8月0日，再過24天所以要加上24，得到下一次相遇的時間是8月24日。

師這道算式中兩個“24”的含義一樣嗎？

生兩個“24”是不一樣的，加數“24”是再過24天，而和“24”是8月24日，是一個日期。

師沒錯，通過“24”與“24”的比較，我們就把一段時間與某一天區分開了，對0+24=24這個算式也理解得更深刻了。如果兩人第一次相遇是在8月7日，那么他們再一次相遇是在幾月幾日？

生7+24=31，8月31日。

師通過比較我們發現，在這種“相遇”問題中，只要用第一次相遇的時間，加上經過的天數，也就是兩個數的最小公倍數，就等于下次相遇的日期。

生老師，還可以再舉一些例子進行驗證，如第一次相遇的日期是8月10日……

可以看出，提出“特殊”解法的學生對這道題的理解很深，能夠利用畫圖、舉例的策略，把一些隱含的條件顯性化，使較難的問題變得形象化、簡單化。而教師及時抓住學生的生成，帶領全班學生感受內隱條件外顯的過程，進而，引導學生通過比較，主動展開思考，發現一類題的解題規律，感受數學思考的樂趣。

（二）在碰撞中擦出智慧的火花

犯錯是每個學生的權利，也是每個學生成長的必然經歷。經歷錯誤、糾正錯誤、反思錯誤，恰恰是學生成長過程中的寶貴財富。在課堂上，錯誤也是學生深入思考的重要資源。借助對錯誤的辨別與反思，學生在對比中掌握知識，在碰撞中擦出智慧的火花。

有這樣一道思考題：“等腰直角三角形的一條邊是8厘米，它的面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？”問題一出，有學生立刻給出了自己的答案（如圖7、下頁圖8）：“等腰直角三角形的一條邊是8厘米，它是直角邊時三角形的底和高都是8厘米，面積是最大的;而當8厘米為等腰直角三角形的斜邊時，面積是最小的。”另一位學生脫口而出：“那兩條邊是5和5。”其他學生連聲附和。對于學生的錯誤，筆者沒有急于否定，而是讓學生靜下心來思考：“別急，可以先畫一畫、算一算。”

五分鐘后，小張同學展示了如圖9的做法并匯報了他的想法：“我同意面積最大是32平方厘米的解法，但我認為，面積最小不是12.5平方厘米，應該是16平方厘米。”

“為什么呢？”其他學生紛紛質疑。小張同學答道：“因為這是一個等腰三角形，要使面積最小，底邊一定是8厘米，作出底邊上的高一定是4厘米，因為兩個底角是45度，那被高分成的兩個小三角形也必然是等腰三角形，最后算出整個三角形的面積就是16平方厘米。”筆者適時引導：“我們來分析一下，為什么12.5平方厘米不對呢？”學生回答：“因為無法證明那條直角邊到底是不是5。”“是啊，無法證明的結果就不能當作條件來使用，這個時候就需要換一個思路了。”筆者這樣小結。就在這樣的碰撞中，學生擦出了智慧的火花，生成了另一種解法：如圖10，最小的等腰直角三角形的面積=8×8÷4=16（平方厘米）。

讓學生“以思為樂”，不僅是通過設計學生感興趣的情境來讓他們“樂學”，也不僅是讓他們停留在淺層的、表面的、流于形式的思考，更重要的是，要促使他們追求對數學深層的、本質的、實質的思考，真正感受到數學的魅力，體驗到“真思”的快樂。這要求教師要發揮組織引導作用，通過深度開發教材，變化拓展，為學生提供思考的載體;靈活處理課堂生成，為學生營造思考的場域。與此同時，在教學中，教師要放慢速度，給予學生思考與整理的時間和空間，讓學生嘗試自主建構數學知識，獲得“數學其實很簡單、一通百通”的體會，做“快樂的數學思想者”。