空間存在性問題類型的向量解法研究

朱亞倩

(北方民族大學 數學與信息科學學院，銀川 750030)

1 與平行有關的存在性問題

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總結反思：有關是否存在一點使得直線與平面之間滿足平行關系的探索性問題，在解答時，先假設存在這樣的點，再建設空間直角坐標系，設出該點的坐標，由直線與平面的平行關系，轉化為直線的方向向量和平面的法向量的垂直關系。利用向量坐標運算建立所求點坐標的方程。若方程有解，則點存在，否則，點不存在。

2 與垂直有關的存在性問題

例2 如圖2，梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直。AB∥CD∥EF,AB⊥AD，CD=DA=AF=FE=2，AB=4。

(2)

(1)求證：DF∥平面BCE；(2)求二面角C-BF-A的余弦值；(3)線段CE上是否存在點G，使得AG⊥平面BCF？請說明理由。

解：(1)證明：因為CD∥EF，且CD=EF，所以四邊形CDFE為平行四邊形，所以DF∥CE。因為DF不屬于平面BCE，所以DF∥平面BCE。

(2)在平面ABEF內，過A作Az⊥AB。因為平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB。以A為坐標原點AD，AB，Az所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A-xyz。

總結反思：利用向量法求立體幾何中有關垂直的存在性問題，探索在某平面內是否存在某點滿足垂直關系，通常先假設存在，然后再引入參數，用向量方法處理，由條件與結論列出等式，再解出參數，思路簡單，解法固定，操作方便，注意在將點的坐標設為(x,y,z)時，要結合圖形的幾何特征盡量減少x，y，z中未知數的個數。

3 與夾角有關的存在性問題

例3 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為2，BM=MC，試問：棱CC1上是否有一點N，使得異面直線AB1和MN所成的角的度數為45°？

(3)

4 與距離有關的存在性問題

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