基于最大熵原理的聯合風速風向概率密度函數建模方法

陳友慧，王 淼，劉 巖，高 陽

（1.國網遼寧省電力有限公司經濟技術研究院，遼寧 沈陽110015；2.沈陽工程學院 電力學院，遼寧 沈陽110015）

0 引言

電力系統中的輸電線路和輸電桿塔由于受到風速和風向（即風載荷）長時間的直接作用，會產生傾斜、斷裂、倒塌等事故。因此研究風速、風向的概率分布及其建模，對于輸電線路、輸電桿塔等一次設備的選型、參數設計具有重要的理論和實際意義。

傳統上對于風速、風向的概率分布有三類研究思路。第一類研究主要側重于風速的概率分布模型，如威布爾概率分布及其改進方法[1]～[4]、瑞利概率分布及其改進方法[5]、極值概率分布及其改進方法[6]，[7]、高斯概率分布及其改進方法[8]、帕累托概率密度分布、正態分布、Gamma分布、GEV分布、最大熵分布等[9]。第二類主要側重于風向的概率分布。文獻[10]，[11]得到了風向服從高斯分布的研究成果。文獻[12]～[16]提出了風向服從不同時間級，如秒級、分鐘級、小時級的概率密度函數，但并沒有深入給出各個時間級的概率密度函數。

第三類研究是在建立風速概率密度分布模型的同時，建立風向的概率密度分布模型。文獻[17]指出，忽略風向將會低估建筑結構的疲勞損傷。文獻[18]，[19]從結構頂部加速度響應的均方根值表征的近似解析表達式，提出了風速風向聯合分布的概率模型。文獻[20]，[21]基于Copula函數和帕累托混合模型，提出了多風向極值風速估計方法。文獻[22]～[24]提出了風向頻度概率分布，并通過與風速條件概率分布、諧波函數、對數正態分布聯合，提出了風速風向聯合概率密度分布模型。文獻[25]，[26]基于最大熵原理，建立了極值風速的Gumbel分布和風向的二階混合von Mises分布的聯合概率密度函數。

目前，對于風速、風向概率密度的研究沒有經過最大熵原理單獨、綜合的檢驗，因而與實際仍然具有一定的偏差。對此，本文將最大熵原理應用至風速、風向概率密度推導，繼而演繹至風速風向聯合概率密度分布。

1 基于最大熵的風速概率密度

1.1 最大熵原理

最大熵準則：通常情況下，隨機變量的概率分布一般只能測得其某種均值（如數學期望、方差等）或已知某些限定條件下的值（如峰值、取值個數等）。符合上述值的分布可能存在多種，而其中一種分布的熵最大。選用這種具有最大熵的分布作為該隨機變量的分布，是一種有效的處理方法和準則。最大熵原理用數學模型表示為

式中：x為隨機變量；p（x）為隨機變量的概率密度；S（x）為熵值；αn為p（x）的N階原點矩；N為一個較大的正整數。

1.2 最大熵風速概率密度函數

為了獲得最大熵原理下的風速概率密度函數，設某時刻風速為vt，其對應的風速概率密度函數為p（vt），將其表示至式（1）中可得：

為了求解式（2）的最大值，通常聯合約束條件構造拉格朗日函數：

式中：λ0，λ1，…，λn為拉格朗日乘子。

當式（2）獲得最大值時，式（3）中的拉格朗日函數導數為0。對式（3）進行求導可得：

式（6）即為最大熵原理下的風速概率密度分布模型。其中還存在拉格朗日乘子λ0，λ1，…，λn，可以對式（3）求偏導獲得：

式（7）等式左邊為僅含有拉格朗日乘子的待求量，右邊αi為概率密度函數p（vt）的N階原點矩，可以通過采集樣本計算得到，下面給出計算原理。

根據概率論可知，風速的概率密度分布在其變量范圍內積分為1，即：

由式（11）可以看出：等式左邊存在λ0，λ1，…，λn未知數；右邊是通過實際測量地采集樣本的N階原點矩，可以采取M（M＞N）次測量獲得M個量測方程，采用最小二乘法予以求得。

1.3 最大熵威布爾風速概率密度函數

將風速現有研究成果與實際風速進行檢驗，普遍認為風速服從威布爾分布，模型為

式中：η為比例系數；k為形狀參數。

本文基于式（12）的威布爾風速分布，在最大熵風速概率密度分布基礎上，提出基于最大熵和威布爾分布的風速概率密度函數p（v）。

式中：v為風速；函數f（v，η，k）為式（12）中的威布爾概率分布。

2 高階米塞斯風向概率密度函數

我國有專門的氣象預測站預報風向，對于陸地的風向預報一般采用圓上的16方位表示，而海面上的風向預報一般采用圓上的36方位表示。對于圓上的風向連續概率分布模型，在統計學中一般采用馮米塞斯分布（Von Mises Distribution）（又稱為圓周正態分布），通過采集連續的16方位中的風向數據擬合概率密度函數。嚴格來說，圓周可以均勻劃分為無限個，那么根據多階混合馮米塞斯分布可得概率密度函數為[16]

式中：f（θ）為風向概率密度函數，以圓周上的風向角度θ為變量；N為混合馮米塞斯分布的階數；μi為風向所在的位置；κi為馮米塞斯分布的比例放大參數，κi≥0；ωi為混合馮米塞斯分布的各階權值。

參數κi和μi的計算式分別為[27]

目前已有的研究主要取式（14）中的低階，比如3階、4階、5階等，一般不超過5階。式（14）中的階數越高，模型精度越高，通常取決于風向概率直方圖的峰值數[27]。一般風向概率直方圖的峰值數至少有兩個，為了高精度地擬合風向概率分布，本文采取6階混合馮米塞斯分布，即式（14）中的N=6。

3 風速風向最大熵聯合概率密度函數

3.1 風速風向聯合概率密度函數

風速風向聯合概率密度實際上就是將風速概率密度、風向概率密度依據相關性原理進行表達。

式中：f（v，θ）為風速風向聯合概率密度函數；Δθ為圓周上劃分的風向角度的間隔。

由式（17）表示的風速風向聯合概率密度函數具有一定的假設前提，比如假設風速、風向具有相對獨立性，同一風向的風速概率密度相同等，因而缺乏最大熵的檢驗和校正。

3.2 風速風向最大熵聯合概率密度函數

基于前述最大熵原理，可以推導獲得風速風向的聯合概率密度函數f（v，θ）[28]。

式中：ζ為角度；g（ζ）為ζ的概率密度函數；F（v）為風速的概率分布函數；F（θ）為風向的概率分布函數。

4 算例分析

我國多個地區常年受大風天氣影響，對電網輸電線路和桿塔等一次設備造成極大的沖擊。對此，東北電網已經建成了國內較大型的風電場測風站，用于觀測風速和風向。本文選用東北電網中某大型風電場間隔10min連續5 a的50m高度測風塔獲得的風速、風向測量數據，所有數據均已經轉換為標準值，2017年3月觀測的部分風速數據如圖1所示。風向采用16個風向方位，為了驗證本文提出的高階米塞斯概率密度，需要18組風向數據，對此采用二次數據插值技術獲得18方位風向數據，如圖2所示。圖中以0～360°劃分方向，原16風向是在0～90°，90～180°，180～270°，270～360°之間分別插入3個方向，構成16方向圖，而本文是在此16方向中任意插入2個方向，形成18方向。

圖1 部分風速數據Fig.1 Some wind seed datas

圖2 風向數據圖Fig.2Wind direction datamap

4.1 風速概率密度函數

在前文最大熵原理下分別擬合20m和80m高度的風速概率密度函數的各個參數，結果見表1，為了減少復雜度，計算過程中采用5位小數。

表1 20m和80m高度的概率密度函數參數Table 1 Parameters of probability density function for 20meters and 80meters height

將表1中的各個參數寫入到相應的概率密度函數中，可以獲得確定的概率密度。將傳統最大熵原理的概率密度函數、本文方法獲得的概率密度函數進行對比，采用平均絕對百分比誤差函數MAPE擬合風速數據，結果如表2所示。

式中：yi為第i個實際值；fi為第i個預測值；n為個數。

表2 20m和80m高度概率密度函數擬合結果Table 2 Fitting results of probability density function of 20 meters and 80meters height

由表2可以看出：N取值越大，對應的MAPE越小，說明高階擬合效果更好；本文方法比傳統最大熵原理方法具有更好的精確度。

4.2 風向概率密度函數

本文以實際16風向角度測量數據，使用6階米塞斯風向概率密度函數擬合實際風向數據，對風向概率密度擬合曲線與實際風向數據進行比較，結果如圖3所示。

圖3 風向概率密度擬合曲線與實際風向數據比較Fig.3 Comparison ofwind direction probability density fitting curve with actualwind direction data

由圖3可見，利用風向概率密度函數擬合的曲線與實際測量的風向數據具有一致的分布趨勢。在此情況下，需要進一步檢驗風速風向聯合概率密度函數的建模效果。

4.3 風速風向聯合概率密度函數

通過對風速和風向的建模，以及形成聯合概率密度函數，與實測數據進行檢驗，結果見圖4。

圖4 本文概率密度函數與實測數據比較Fig.4 This paper compares the probability density function with themeasured data

由圖4可以看出，本文提出的風速風向概率密度函數能夠準確地擬合實際風的情況。在1 200～1 300個樣本點出現擬合效果不佳的情況，是由這個階段寒流導致的風速突變較大引起的。

5 結語

實際的風載荷是由風速和風向兩部分構成，因此在研究風載荷對輸電線路和輸電桿塔等一次設備的沖擊時，有必要建立風速風向的聯合概率密度模型。本文基于最大熵原理，構建了風速的概率密度模型及風向的高階米塞斯概率密度模型，進一步形成了最大熵原理下的風速風向聯合概率密度模型，通過仿真，驗證了該模型具有較高的精度。