突破導數套路 注重關鍵能力—2020 年全國卷Ⅰ數學理科21 題分析

>>>韓曉曉

2020 年全國卷Ⅰ數學理科21 題考查導數的應用，將函數與不等式進行了有機結合，打破了常規解答思路，利用轉化與化歸思想，將目標函數轉化為易于處理的新函數，再利用導數進行研究.該題綜合考查了考生的邏輯推理能力、數學建模能力、運算能力以及數學語言表達能力.考生普遍認為此題雖然常規，但卻不容易完整地解答出來.

一、試題解析及學生存在的問題

【2020 年全國卷I，理科21 題】已知函數f(х)=ex+aх2-х.

（1）當a=1 時，討論f（х）的單調性；（2）當х≥0 時，f（х）≥1—2 х3+1，求a 的取值范圍.

第（1）問已知具體函數，求單調區間，難度不大，但要運用數學語言準確進行表達.第（2）問乍看很簡單，方法也很多，但每一種方法都有難點需要突破.下面結合考生的作答情況對兩種思路進行分析.

思路一：參變分離法

學生案例1

該考生采用參變分離的方法進行解答，未能完整解出正確答案，主要存在以下兩方面問題：

1.在參變分離時，由于思維不嚴謹，未對х是否為0 進行分類討論；

2．不能對g（х）的單調性進行準確判斷.

針對g（х）單調性的判斷，有的考生做出了如下解答：

學生案例2

該考生想通過多次求導來研究g（х）的單調性，他發現存在х′O使得h(х′O)=0，g（х）max=g(х′O)，但是由于不知道х′O的具體取值，所以他想用“虛設零點”的辦法，通過х′O滿足h(х′O)=eх′O（2-х′O）+ 1—2（х′O）3-х′O-2=0 將g(х′O)代出來，但由于計算復雜、冗長，未能得出結果.事實上，通過試根可知х′O=2，本題得解.

當導函數g(х′O) 的分子含有三次多項式時，就可以試根，不必經過多次求導.由（2-х）eх，

該考生想到近幾年來解決恒成立問題的一個“好”辦法—“端點效應”，即h（O）=0，則要求h′（0）≥0，又h′（0）=0，則要求h′（0）=1+2a ≥0，由 此 得 到這 個 錯 誤 的結果.實際上，只是本題的必要條件，而不是充分條件，更不是充要條件.將代回不等式中得到就會發現不等式并不是恒成立的，因為х=1時不等式就不成立.這反映了學生在學習時一直在模仿套路，邏輯思維并不是很清楚.

如果想直接分類討論，轉化為求函數的最值，這里介紹一種方法—“指數好朋友”，遇到eх時試將eх放到分母上，即e-х是eх的“好朋友”.采用這個辦法解題需要有很強的邏輯推理能力、運算能力、直觀想象能力等，不如第一種解法思路簡單，所以，對題目合理有效的數學建模是解題的關鍵.

二、導數備考中需要注意的問題

1.規范使用數學語言進行表達.在讀題、審題、作答的過程中，恰當使用文字語言、圖形語言、符號語言進行思維表達，并按需進行適當轉換，這是正確解答數學題目的基礎，也是培養嚴謹邏輯思維能力的基本功.

2.重視數學運算能力.數學運算能力是其他能力實現的基礎.建議高三學生在數學運算過程中，多反思運算的合理性、邏輯性、選擇性、簡捷性，多積累關于導函數處理的運算技巧，切實提高自己的數學運算能力.

3.深切體會導數在研究函數單調性中的工具性作用.對于一個復雜函數，當我們想知道它的幾何性質時，就可以使用導數.對函數性質的研究，往往從函數的單調性開始.且導數的使用，有需即用，不論次數.

4.突破常規套路，提高思維能力.解題過程中要多思考為何這樣做，這樣做的合理性、必要性是什么；多反思此類題目有哪些常規思維方法，這些思維方法有無相通之處.

以上思考、反思的過程，就是提高思維能力的過程.掌握方法，再輔以適當的題目進行訓練，就能達到提高思維能力的效果.