模型參數擾動對模型預測控制的影響分析

（鄭州鐵路職業技術學院電氣工程學院，河南 鄭州 454000）

近年來，模型預測控制在電力電子與電力傳動領域得到了廣泛的關注[1-2]，應用場景包括電機驅動[3]、逆變器[4]、電力電子變壓器[5]和矩陣變換器[6]等。通常，根據產生控制功率開關的脈沖控制信號的不同，模型預測控制技術可分為兩類，一類利用預測算法產生連續輸出作為調制參考，進而基于脈寬調制（pulse width modulation，PWM）模塊生成固定開關頻率的脈沖控制信號[7]，而另一類模型預測控制直接剔除PWM模塊，使用有限的開關狀態進行成本函數評估，選擇最優開關狀態進行輸出即可，故也稱為有限集模型預測控制（finite control set model predictive control，FCSMPC）[8]。

FCSMPC的優點主要體現在具有快速的動態響應、實現簡單以及可直接處理非線性和多目標約束等[9]。但直接使用系統模型來選擇最優控制輸出會存在建模誤差或參數變化使控制性能發生變化的缺點。因此，誤差分析仍是FCSMPC研究中的一個重點問題[10]。此外，由于FCSMPC的非線性特性，使得線性系統中相關參數擾動的評估分析方法不再適用。有文獻通過研究FCSMPC在不確定情景下的行為，從而基于經驗評估了模型參數不匹配對控制性能的影響，這些研究涉及的應用對象包括整流器[11]、三相電壓源型逆變器[12]和電機驅動變頻器[13]等。文獻[14]對電感參數變化進行了定性分析，并推演出指南以指導減少電感參數不匹配對控制性能影響。而對于負載電阻參數的不確定性，通常將其對FCSMPC運行的影響進行忽略[14-15]。文獻[16]則是關注了負載參數不匹配下對FCSMPC控制性能的影響，并設計了改進方案，但其運算量大、對系統處理器要求較高。上述這些研究主要還是集中在定性分析層面，沒有深入探究參數擾動對FCSMPC運行的影響。此外，研究手段也是主要依靠經驗來對參數擾動的影響進行評估。本文通過數學推導，得到模型參數擾動對FCSMPC控制性能影響的解析表達式，進而可實現模型參數擾動對FCSMPC控制性能影響的定量評估。其中研究對象為三相逆變器的模型預測電流控制器。最后，基于實驗驗證了研究結果。

1 逆變器系統模型和FCSMPC方案

下面引出逆變器數學模型及對應的FCSMPC。同時，為了對比，也對傳統基于空間矢量調制和PI控制器的線性電流控制方案進行了回顧。

1.1 逆變器數學模型

圖1為三相逆變器的電路模型。

圖1 三相逆變器的電路模型Fig.1 Circuit model of three-phase inverter

由圖1可得三相逆變器的動態模型表述為

式中：v為逆變器輸出電壓矢量；va，vb，vc分別為逆變器三相輸出電壓；i為逆變器輸出電流矢量；ia，ib，ic分別為逆變器三相輸出電流；L0，R0分別為電感和電阻；v0為電壓源矢量。

三相兩電平逆變器具有6個非零電壓矢量和2個零電壓矢量。此外，式（1）可擴展至具有任意電平數和不同相數的逆變器，僅對應逆變器拓撲而改變輸出電壓矢量即可。另一方面，式（1）中的數學模型即可表示逆變器帶交流電機負載或逆變器并網，前者電感和電阻元件即代表定子或轉子等效電感和電阻參數，電壓源矢量對應于電機反電動勢；而后者電感和電阻元件對應為濾波器和線路阻抗建模，電壓源矢量則代表電網電壓。設采樣周期為Ts，使用前向歐拉方法進行離散化，可得到離散模型如下：

1.2 FCSMPC算法

FCSMPC算法執行時，在每個采樣周期將計算選擇要應用于逆變器的最優開關狀態組合進行輸出。這是通過系統數學模型來預測和比較每個有效控制動作的行為來實現的，這些動作即是逆變器的輸出電壓矢量狀態。預測通常可在一個或多個采樣周期范圍內進行，當選擇兩步長預測時，意味著在第（k+2）個采樣時刻進行評估預測，這樣做的優點在于可以補償預測控制器中數字化實現所帶來的不可避免的計算延遲。完成預測后，根據所需的控制目標和約束設計定義成本函數并應用于該組預測，并評估各個控制動作，以選擇最優電壓矢量輸出。本文使用的成本函數旨在實現負載電流參考值跟蹤，如下式所示：

通過對式（2）迭代即可得到：

1.3 線性電流控制方案

為了評估建模中參數擾動對FCSMPC控制性能的影響，將FCSMPC方案與基于空間矢量調制和PI控制器的線性電流控制方案進行比較。線性電流控制器在同步旋轉d-q坐標系中實現，可實現零穩態誤差，同時可通過設置前饋項剔除由電感引起的交叉耦合效應。

在s域中PI控制器的傳遞函數如下：

式中：C（s）為PI控制器的傳遞函數；Kp，Ki分別為比例和積分系數。

對PI參數的設定問題，文獻[17]依據系統動態和延遲所帶來的約束下盡可能地擴展閉環系統帶寬的原則進行參數選擇，稱為幅值最優參數整定流程。采用此流程整定參數的線性電流控制方案可與FCSMPC方案進行合理對比，因為FCSMPC具有較為快速的動態響應。為了整定線性電流控制器參數，考慮標稱負載參數R0和L0所對應的動態特性后設置積分系數Ki=L0/R0，此時控制器的零點將抵消來自模型中的主極點。進一步設置比例系數Kp=L0/（2T0），T0為調制和控制算法數字實現引入的等效延遲，該延遲可近似為T0=1.5TSVM，TSVM為空間矢量調制算法中的采樣周期。

如上所述，線性電流控制方案的設計過程也是取決于模型參數。因此，參數不確定性的存在也將影響線性控制器的性能。就穩態性能而言，線性電流控制中的積分項將考慮到負載參數的變化，從而獲得零穩態誤差，但負載參數與其標稱值不同時，控制器設計的零極點對消不再成立，這將引起閉環響應中更高階動態的出現，從而惡化動態響應。

2 模型參數擾動對FCSMPC的影響分析

在下述分析中，為了使表達式更為簡單和緊湊，只分析一步預測的情形，但分析結果可擴展到具有兩步預測的情況。

定義預測誤差如下：

式中：Δ為預測誤差，代表了無參數擾動模型預測的電流值與含參數擾動的模型預測的電流值之間的差值。

將式（2）和式（6）代入到式（7）中可得：

圖2 負載參數擾動時的預測誤差變化曲線Fig.2 Prediction error curves with load parameters disturbance

圖3 矢量相角變化時的預測誤差變化曲線Fig.3 Prediction error curves with vector phase angle changed

3 實驗驗證

為了驗證上述模型參數擾動對FCSMPC算法的影響分析，搭建了如圖4所示的實驗平臺，開展了相關實驗以說明負載電阻和電感參數擾動對FCSMPC控制性能的影響。實驗采用了FCSMPC控制方案與線性電流控制方案對比的方式進行。圖4中主要的實驗裝置包括一臺型號為丹佛斯VLT5008的電壓源型三相逆變器、三相阻感負載、dSPACE1103實時仿真系統和上位機。其中FCSMPC算法和線性控制算法均基于dSPACE1103實時控制器實現。線性電流控制器中空間矢量調制模塊的采樣周期TSVM=250 μs，故FCSMPC控制器中的采樣周期設置為Ts=50 μs，這使得在標稱負載參數條件下獲得的平均開關頻率與線性電流控制器相當。實驗系統其他主要參數為：直流側電壓Vdc=100 V，直流鏈路電容Cdc=2 400 μF，逆變器額定輸出電流inorm=5.5 A，額定頻率fnorm=50 Hz，標稱負載電阻R0=10 Ω，標稱負載電感L0=10 mH，負載反電動勢幅值VEM=2 V，負載反電動勢頻率fEM=50 Hz，采樣周期Ts=50 μs。

圖4 實驗裝置構成Fig.4 Composition of experimental devices

3.1 負載參數擾動下的穩態性能分析

首先，基于實驗平臺進行了穩態實驗，FCSMPC控制器中的電感參數設置為L0=10 mH，而實際負載電感分別設置為5 mH，10 mH和15 mH。實驗中設置不同的電流參考值，并同時進行了線性電流控制器的測試。圖5為負載電感參數誤差下的實驗結果匯總。

圖5 負載電感參數誤差下的實驗結果匯總Fig.5 Summary of experimental results under load inductance parameter error

由圖5可知，線性電流控制器能夠在所有測試條件下實現零穩態誤差，這是因為其設置了積分項。另一方面，FCSMPC控制器在|i*|低于0.2（標幺值）時具有更大的穩態誤差，即使實際負載電感參數與模型參數保持一致，這是因為FC-SMPC控制器中僅僅將電流跟蹤作為控制目標導致的。此外，負載電感參數誤差對預測控制器的穩態誤差有一定的影響，并在實際電感值低于模型中電感值的情況下趨于嚴重。

與負載電感擾動類似，將FCSMPC控制器中的電阻參數設置為R0=10 Ω，而實際負載電阻分別設置為5 Ω，10 Ω和20 Ω進行了第二組測試，實驗結果如圖6所示。圖6實驗結果顯示，與負載電感參數擾動的情況不同，當R/R0=2且參考電流增大時，線性電流控制器出現飽和導致了較大的穩態誤差，但對應FCSMPC在此種情況下具有更小的穩態誤差，因為其受線性調制范圍限制。同時類似于電感參數擾動，FCSMPC的穩態誤差也受電阻參數擾動的影響，并在參考電流較小的情況下更為嚴重。

圖6 負載電阻參數誤差下的實驗結果匯總Fig.6 Summary of experimental results under load resistance parameter error

進一步設置兩組負載參數擾動，即L/L0=1.5和R/R0=2，以及L/L0=0.5和R/R0=0.5，進行輸出電流總諧波含量iTHD的對比分析，結果如圖7所示。

圖7 負載參數擾動下的電流諧波分析Fig.7 Current harmonic analysis under load parameters disturbance

圖7中，負載參數擾動對FCSMPC控制器和線性電流控制器的穩態諧波控制性能均有負面影響，因為負載電阻和電感參數決定了負載電流的動態特性，從而影響了與諧波含量密切相關的紋波特性。圖7a為L/L0=1和R/R0=1時，即參數準確的情況下逆變器輸出電流參考值不同時的iTHD，圖7b為L/L0=1.5和R/R0=2時，即建模參數偏小的情況下的iTHD分布，對比兩者可看出，實際負載參數大于模型參數時，輸出電流THD是減小的。圖7c為L/L0=0.5和R/R0=0.5時，即建模參數偏小的情況下的iTHD分布，對比圖7b可看出，兩種控制器的輸出電流THD都將顯著增大。

3.2 負載參數擾動下的動態性能分析

圖8、圖9分別為FCSMPC控制器和傳統線性電流控制器在不同負載電感參數擾動下的a相參考電流ia階躍動態響應結果。由于實際電感參數對電流濾波特性有很大影響，故圖8c和圖9c中的電流紋波較大，同時FCSMPC控制器更為明顯。如前述分析，當建模電感參數大于實際負載電感時，FCSMPC的預測誤差將受到更大影響，圖8c中的實驗結果也證實了這一論述。盡管隨著負載電感參數的擾動，FCSMPC出現了明顯的電流紋波，但FCSMPC的動態響應基本不受影響。但根據圖9所示的實驗結果顯示負載電感參數的擾動對線性電流控制器的動態響應造成了不利影響，這是因為線性電流控制器的控制參數是基于負載參數整定的。綜上，圖8、圖9實驗波形表明，FCSMPC控制器和傳統線性電流控制器相比，在涉及負載電感參數較大擾動，即L/L0=0.5時，FCSMPC出現了明顯的電流紋波，即諧波增多、穩態性能欠佳，其原因是實際電感值低于模型中電感值的情況下，FCSMPC控制器每個步長的預測誤差偏大，從而在成本函數計算時，有一定的概率沒有得到最優的電壓矢量進行輸出，從而造成了諧波性能下降。但是FCSMPC控制器的動態性能并沒有受到影響，反之傳統線性電流控制器在涉及負載電感參數較大擾動時，電流紋波較小，即諧波增加不明顯，但是動態性能受到影響。

圖8 負載電感參數擾動下的動態響應（FCSMPC控制器）Fig.8 Dynamic response under disturbance of load inductance parameters（FCSMPC controller）

圖9 負載電感參數擾動下的動態響應（線性電流控制器）Fig.9 Dynamic response under disturbance of load inductance parameters（linear current controller）

圖10、圖11分別為FCSMPC控制器和傳統線性電流控制器在不同負載電阻參數擾動下的a相參考電流階躍動態響應結果。

圖10 負載電阻參數擾動下的動態響應（FCSMPC控制器）Fig.10 Dynamic response under disturbance of load resistance parameters（FCSMPC controller）

圖11 負載電阻參數擾動下的動態響應（線性電流控制器）Fig.11 Dynamic response under disturbance of load resistance parameters（linear current controller）

對比圖10、圖11可以看出，在不同負載電阻參數擾動下，包括參數匹配的情況下，FCSMPC的動態響應是明顯快于線性電流控制器的。同時，如圖11c所示，當負載電阻參數只有其標稱值的50%時，線性電流控制器的動態響應呈現出更高的超調和振蕩。綜上，圖10、圖11實驗波形表明，FCSMPC控制器和傳統線性電流控制器相比，在涉及負載電阻參數較大擾動時，兩者的穩態性能沒有受到太大影響，但是傳統線性電流控制器出現了較大的超調和振蕩，故動態性能明顯不如FCSMPC控制器。

4 結論

本文研究了模型參數擾動對FCSMPC控制策略的影響，研究基于三相二電平逆變器的電流預測控制開展，現總結主要結論如下：

1）理論推導表明，FCSMPC的預測誤差不僅取決于模型中各個負載參數的不確定性，還取決于逆變器當前步長的負載電流值和輸出電壓值，尤其是當2個矢量方向完全相反時，預測誤差達到最大。

2）通過與線性電流控制器的對比動靜態實驗結果表明，在負載電阻參數擾動下，FCSMPC的穩態誤差將增加，而負載電感參數的變化導致較大的電流紋波，尤其在預測模型高估實際電感值時趨于嚴重。但當負載參數不匹配的情況下，FCSMPC的動態階躍響應比線性電流控制器的魯棒性更好。

考慮到模型中電感值與實際電感值不匹配導致FCSMPC控制器預測誤差偏大，進而使得穩態性能下降的問題，進一步的研究方向為：在FCSMPC控制器每次迭代中計算預測誤差，優化電壓矢量輸出，從而改善和加強控制器的魯棒性。